北师大版六年级数学上册 第4单元 单元知识梳理与易错精讲(教师版+学生版)

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第4单元 分数的应用 · 知识梳理与易错精讲单 元 知 识 梳 理单元核心问题面对一道分数应用问题，怎样准确判断单位“1”、选择数量关系式、正确计算并检验？一、学习目标1. 能准确判断分数应用问题中每一步的单位“1”，正确列式解决连续求一个数的几分之几的问题2. 能根据“比”字确定比较标准，求“一个数比另一个数多（少）几分之几”和“求比一个数多（少）几分之几的数”，并解释单位“1”变化引起的差异3. 能按与整数一致的计算顺序完成分数混合运算，正确运用运算律并检验结果二、重点• 单位“1”的判断与变化• “多（少）几分之几”的数量关系式• 分数混合运算的运算顺序、运算律与检验三、难点• 连续问题中单位“1”的转移与中间量的衔接• 比较标准不同导致分率不同（增加19≠减少19）• 分率与具体量的区分学习支架分数应用问题类型与数量关系对照表连续求一个数的几分之几——线段图（图书角）水结成冰的对照线段图（45cm³→50cm³）分率与具体量的对照单位“1”判断对照表解分数应用问题五步法1. 读题：圈出“是、比、的”等关键位置，标出已知量与所求量2. 定准：说出每一步的单位“1”是谁3. 画图或写数量关系式：先画单位“1”，再画出它的几分之几4. 列式计算：需要时把除法转化为乘倒数，能约分先约分5. 检验作答：把结果代回题目，看是否符合“多、少、还剩”等表述四、知识要点1. 连续求一个数的几分之几——每一步的单位“1”都在变气象小组有12人，摄影小组的人数是气象小组的13，航模小组的人数是摄影小组的34，航模小组有多少人？这类问题要连续两次“求一个数的几分之几”。第一步：摄影小组的人数是气象小组的13，单位“1”是气象小组的12人，12人的13是4人；第二步：航模小组的人数是摄影小组的34，单位“1”变成了摄影小组的4人，4人的34是3人。注意每一步的单位“1”都不同：中间量（摄影小组人数）既是上一步的结果，又是下一步的单位“1”，不能跳过。判断单位“1”的方法：“A是B的几分之几”，“是”字后面的B就是单位“1”；“B的几分之几”，“的”字前面的B就是单位“1”。列式时可以分步乘，也可以先把两个分率合并再乘：13×34=14，再求12×14=3（人）。两种方法可以互相检验。做完后把结果逐步还原（3÷34=4，4÷13=12），能还原就说明每一步的单位“1”都找对了。2. 分数混合运算的顺序与除以分数分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序一样：有括号时先算括号里面的，没有括号时先算乘除、后算加减，同级运算按从左到右的顺序依次计算。分数除法要先转化为乘法：除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。例如12÷34=12×43=16，只把除号后面的数取倒数，被除数不变。计算时先约分再乘，可以使计算更简便；结果要化成最简分数。做完后可以再检查一遍：一看运算顺序对不对，二看除数有没有取倒数，三看有没有约分约尽、结果是不是最简分数。教材第50页专门提醒“注意哟！除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数”，这是分数除法中最容易出错的一步。3. 求“一个数比另一个数多（少）几分之几”求“一个数比另一个数多（少）几分之几”，用相差量除以单位“1”的量。以“水结成冰”为例：有45cm³的水，结成冰后体积约为50cm³。冰的体积比原来水的体积约增加了几分之几？先求相差量：50−45=5（cm³）；题目说“比原来水的体积”，所以单位“1”是水的体积45cm³，列式：(50−45)÷45=5÷45=545=19。也可以用第二种方法：先算冰的体积是原来水的体积的几分之几，50÷45=109，再减去1：109−1=19。两种方法结果一致。判断单位“1”的口诀：“比”字后面的量是比较的标准，把它看作单位“1”。生活中的“提高、降低、增产、减产”等问题都可以这样转化：服装店以每套80元的价格购进一批服装，后来以每套110元的零售价出售，零售价比进价提高了几分之几？进价80元是单位“1”，(110−80)÷80=3080=38。4. 单位“1”不同，分率就不同同样是相差5cm³，换一个比较对象，结果就不同。“水的体积比冰的体积少几分之几？”这次“比冰的体积”，单位“1”变成冰的体积50cm³：(50−45)÷50=5÷50=550=110。为什么不是19？因为19是以水的体积45cm³为单位“1”得到的，110是以冰的体积50cm³为单位“1”得到的。所以“水结成冰，体积增加19”不能反过来写成“冰化成水，体积减少19”——增加的分率以水的体积为单位“1”，减少的分率应以冰的体积为单位“1”。解题时先圈出“比谁”，再确定单位“1”；比较对象换了，单位“1”就要跟着换。利用这个道理还可以判断：“一件商品先提价110再降价110”不会回到原价，因为两次的单位“1”分别是原价和提价后的价格，并不相同。5. 求“比一个数多（少）几分之几的数是多少”求“比一个数多（少）几分之几的数”，数量关系是：现量＝原量×(1±分率)。试一试：18dm³的水冻成冰后，体积增加19，冰的体积是多少立方分米？这里水的体积18dm³是单位“1”。方法一，先算增加的量：18×19=2（dm³），再加回原来的量：18+2=20（dm³）。方法二，先算冰的体积是原来水的体积的几分之几：1+19=109，再乘单位“1”的量：18×109=20（dm³）。求“比一个数少几分之几的数”同样处理：如20dm³的冰化成水后体积约减少110，水的体积是20×(1−110)=20×910=18（dm³）。做题时先想清楚“多（少）的是谁的几分之几”，再决定乘1+几分之几还是乘1−几分之几；如果问题问“还剩多少”，还要先算剩余的分率（1−已用分率），再用它乘单位“1”的量。6. 整数的运算律在分数运算中同样适用整数的运算律在分数运算中同样适用。乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律都可以用来使分数计算更简便。例如59×17+59×19，两个乘法里有相同的因数59，用乘法分配律：59×(17+19)=59×36=20，比逐项算完再相加简便得多。简算的要点：先观察算式结构，找出相同的因数或能凑整的组合，再决定用哪条运算律；分数乘法先约分再乘，结果化成最简分数。要注意：除法没有分配律。形如24÷(13+16)的算式不能拆成24÷13+24÷16，必须先算括号里面的：13+16=26+16=12，24÷12=48。检验简算是否正确，可以按原来的运算顺序再算一遍，比较两次结果是否一致。7. 整理与检验：画图是好方法教材“我的收获”引导我们像整理知识网络一样复习本单元：一条主线是计算——分数混合运算的运算顺序、运算律，与整数运算一致；另一条主线是解决问题——理解数量关系，计算并检验结果，其中“画图是好方法”。解决分数应用问题一般按五步走：第一步读题，圈出“是、比、的”等关键位置，标出已知量与所求量；第二步定准，说出每一步的单位“1”是谁；第三步画图或写数量关系式，画线段图时先画单位“1”，再按分率分份；第四步列式计算，需要时把除法转化为乘倒数，能约分先约分；第五步检验作答，把结果代回题目，看是否符合“多、少、还剩”等表述。教材“问题银行”还提出了一个值得思考的问题：第七次全国人口普查，全国人口比第六次人口普查增长了5.38%，5.38%是什么数？和分数有联系吗？百分数表示一个数是另一个数的百分之几，5.38%可以写成5.38100这样的分数形式，所以百分数是一种特殊形式的分数，二者有着密切的联系。易错汇总易错点 1【错因】没有意识到中间量既是上一步的结果，又是下一步的单位“1”，把两步关系误当成并列关系。【自检方法】做完后把答案逐步还原：100÷23=150，150÷56=180；还原不回去就说明单位“1”找错了。易错点 2【错因】把比较的对象和比较的标准弄反了；分率的分母必须是单位“1”的量。【自检方法】把算出的分率代回检验：24×(1−14)=18；还原不出题意就改除以“比”字后面的量。易错点 3【错因】比较标准（单位“1”）变了，同一个相差量对应的分率随之改变。【自检方法】回到线段图：先看相差的5cm³与谁比，再写算式，不要凭“反过来”想当然。易错点 4【错因】看到“用去几分之几”就套减法，没有区分分率与具体量：分率本身不是长度。【自检方法】看分数后面有没有单位：有单位直接相减，没有单位先求“单位“1”的量×分率”。易错点 5【错因】把“多出来的量”当成了“现在的量”，忽略了“现在的量＝原量＋多出的量”。【自检方法】检验：用结果减去原量，看差是不是原量的19；不是就说明只算了增加的部分。易错点 6【错因】记住了乘法分配律的形式，忽略了它只对“乘”成立；除法没有分配律。【自检方法】拆开前后各算一遍并比较结果；对照“有括号先算括号里面的”口诀检查运算顺序。易错点 7【错因】只记住“求部分量用单位“1”的量乘分率”，没有先判断题目问的是已用的还是剩下的。【自检方法】把结果代回题目读一遍：算出的量对应“还剩”还是“用了”？再用“已用＋剩余＝总量”核对。易错点 8【错因】把“除以一个数等于乘这个数的倒数”记成了“除以一个数等于乘一个数”，漏掉了取倒数这一步。【自检方法】写除法转乘法时检查两件事：除号变乘号了吗？除数变成它的倒数了吗？只改一个就是错的。五、易错精讲【例1】学校图书角有故事书180本，科技书的本数是故事书的56，漫画书的本数是科技书的23。漫画书有多少本？【解题思路】连续两次“求一个数的几分之几”。第一步的单位“1”是故事书180本；第二步的单位“1”变成第一步的结果——科技书。可以先算科技书，再算它的23。【解答】方法一（分步列式）：科技书：180×56=150（本）；漫画书：150×23=100（本）。方法二（先合并分率）：56×23=59，180×59=100（本）。检验：100÷23=150，150÷56=180，逐步还原正确。答：漫画书有100本。【易错点】第二个23是“科技书的”，不是“故事书的”，不能列成180×23；中间量（科技书150本）既是上一步的结果，又是下一步的单位“1”。【例2】一项工程原计划12天完成，实际10天完成。（1）实际比原计划少用几分之几？（2）原计划比实际多几分之几？【解题思路】两问的相差量相同（都是2天），但比较对象不同。先圈出“比”字后面的量：第（1）问比原计划，除以12；第（2）问比实际，除以10。【解答】相差量：12−10=2（天）。（1）2÷12=212=16。（2）2÷10=210=15。检验：12×(1−16)=10，10×(1+15)=12，两个分率都还原正确。【易错点】两问的单位“1”不同——同一个相差量除以不同的比较标准，得到的分率不同；不能只算一遍就两问共用。【例3】一件上衣原价300元，先提价110，再降价110，最后的售价是多少元？与原价相比，是贵了还是便宜了？【解题思路】两次变化的单位“1”不同：提价110以原价300元为单位“1”，降价110以提价后的价格为单位“1”。不能想当然认为“提价110再降价110”会回到原价。【解答】提价后：300×(1+110)=300×1110=330（元）；降价后：330×(1−110)=330×910=297（元）。297