北师大版（2024）五年级上册（2024）图形与几何精品随堂练习题

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本课核心问题
怎样把全册图形与几何的知识整理成网络，并用它解决综合问题？
一、学习目标
1. 能运用“三角形内角和是180°”求出未知角的度数，并用三边关系判断三条线段能否围成三角形
2. 能说出平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导思路（转化），并正确计算它们的面积
3. 会用分割法或添补法计算组合图形的面积，会用数方格的方法估计不规则图形的面积
4. 能用数对表示点的位置，并能正确画出图形平移后的位置、写出平移后各点的数对
二、重点
• 三角形内角和是180°，三角形任意两边之和大于第三边
• 平行四边形、三角形、梯形面积公式以及底和高的对应
• 组合图形面积的两种思路：分割求和、添补求差
• 用数对确定位置与图形平移的规律
三、难点
• 三角形、梯形面积计算中漏掉“÷2”，以及底和高的对应关系
• 平移后数对的变化规律：左右平移改列、上下平移改行
学习支架
平面图形面积公式整理表
图形与几何知识网络表
宣传墙平面图（例2）
方格纸（例3）
组合图形面积的解题步骤
1. 观察图形由哪些基本图形组成
2. 选择分割法或添补法
3. 分别求出各部分图形的面积
4. 分割相加，或添补求差
四、知识要点
1. 三角形的内角和与三边关系
探索方法回顾：量一量、拼一拼——把三角形的三个角撕下来拼在一起，正好拼成一个平角，说明三角形内角和是180°。关键结论：1. 任意三角形的内角和都是180°，已知两个角就能求出第三个角。2. 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。判断三条线段能否围成三角形，只要看较短两边之和是否大于最长边。3. 按角分类：三个角都小于90°的是锐角三角形，有一个角是90°的是直角三角形，有一个角大于90°的是钝角三角形。易错点：两条短边之和等于第三边时不能围成三角形，必须是“大于”。
2. 平面图形的面积公式与推导
所有面积公式都在“转化”中推导出来：把新图形变成学过的图形。平行四边形：沿高剪开，平移拼成长方形，面积不变，S＝底×高；三角形：两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，三角形面积等于拼成的平行四边形面积的一半，S＝底×高÷2；梯形：两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，S＝(上底＋下底)×高÷2。易错点：三角形、梯形面积公式中的“÷2”不能漏；底和高必须对应，高是指底边上的高。
3. 组合图形的面积
组合图形由几个基本图形拼合而成，求面积常用两种思路：1. 分割法：把组合图形分成几个基本图形，分别求出面积后相加；2. 添补法：把组合图形补成一个大的基本图形，用大图形面积减去补上的部分面积。解题步骤：观察图形结构→选择分割或添补→分别计算→求和或求差。注意：分割、添补后的部分必须是学过的基本图形。
4. 估计不规则图形的面积
不规则图形（如树叶、手掌轮廓）的面积可以用数方格的方法估计：每个小方格的边长表示1厘米，一格就是1平方厘米。数格规则：满格的按1格算，不满一格的按半格（0.5格）估算，把两部分加起来，得到面积的近似值。
5. 三角形面积的逆用
由S＝底×高÷2可以逆向推出：底＝面积×2÷高，高＝面积×2÷底。直角三角形中两条直角边互为底和高，所以知道面积和一条直角边，就能求出另一条直角边。计算顺序是先乘2再除以已知边，顺序不能颠倒。
6. 用数对确定位置与图形的平移
数对（列，行）：第一个数表示第几列，第二个数表示第几行，先列后行。平移规律：图形平移时，形状、大小不变，每个点移动的方向和格数相同。向左平移：列数减，行数不变；向右平移：列数加，行数不变；向上平移：行数加，列数不变；向下平移：行数减，列数不变。易错点：左右平移改变的是第一个数（列），上下平移改变的是第二个数（行），不要弄反。
7. 平行四边形面积的实际应用
解决实际问题时，先根据“底×高”求出平行四边形面积，再根据数量关系列式。例如：每平方米的价钱（单价）×面积＝总价；每平方米用砖块数×面积＝总块数。单位要对应：面积单位是平方米，单价是元/平方米，总价单位才是元。
五、典型例题
【例1】
在一个三角形中，∠A＝40°，∠B＝75°。（1）∠C是多少度？（2）这个三角形按角分是什么三角形？（3）如果这个三角形的两条边分别是4厘米和6厘米，第三条边是整厘米数，第三条边可能是多少厘米？
【解答】（1）三角形内角和是180°：∠C＝180°−40°−75°＝65°。（2）三个角分别是40°、75°、65°，都小于90°，所以这是一个锐角三角形。（3）第三边必须大于两边之差、小于两边之和：6−4＝2（厘米），6＋4＝10（厘米），即第三边要大于2厘米、小于10厘米。第三条边是整厘米数，所以可能是3、4、5、6、7、8、9厘米，共7种可能。答：∠C是65°，这是锐角三角形，第三条边可能是3至9厘米中的任意整厘米数。
【点拨】第（1）问用内角和求角；第（2）问要把三个角分别与90°比较；第（3）问用三边关系确定取值范围。求角、分类、判断三边三个知识点串在一起，正是总复习的综合要求。
【例2】
学校宣传墙由两部分组成：下面是一个长6米、宽3米的长方形，上面是一个底6米、高2米的三角形。如果每平方米需要油漆0.5千克，粉刷这面墙一共需要多少千克油漆？
【解答】第一步，观察图形：这面墙是长方形和三角形的组合图形，用分割法，总面积＝长方形面积＋三角形面积。第二步，求长方形面积：6×3＝18（平方米）。第三步，求三角形面积：6×2÷2＝6（平方米）。第四步，求组合图形面积：18＋6＝24（平方米）。第五步，求油漆用量：24×0.5＝12（千克）。答：粉刷这面墙一共需要12千克油漆。
【点拨】组合图形求面积先想“分割还是添补”，分割后各部分必须是学过的图形，三角形面积记得除以2。算出面积后，再用“每平方米用量×面积＝总用量”解决实际问题。
【例3】
方格纸上有一个三角形，三个顶点分别是A(3,2)、B(7,2)、C(6,4)。把这个三角形先向左平移3格，再向上平移2格，写出平移后三个顶点A′、B′、C′的数对。
【解答】第一步，向左平移3格：左右平移只改变列数（第一个数），列数减3，行数不变。A(3,2)→A₁(0,2)，B(7,2)→B₁(4,2)，C(6,4)→C₁(3,4)。第二步，向上平移2格：上下平移只改变行数（第二个数），行数加2，列数不变。A₁(0,2)→A′(0,4)，B₁(4,2)→B′(4,4)，C₁(3,4)→C′(3,6)。答：平移后三个顶点的数对是A′(0,4)、B′(4,4)、C′(3,6)。
【点拨】数对“先列后行”：左右平移改第一个数，上下平移改第二个数。可以分两步写，也可以两步合并——向左3格再向上2格，就是列数减3、行数加2。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 一个三角形中，已知两个角分别是35°和55°，第三个角是（________）°，这个三角形按角分是（________）三角形。
2. 一个三角形的两条边分别是4厘米和6厘米，第三条边是整厘米数，最长是（________）厘米，最短是（________）厘米。
3. 一个平行四边形的底是8厘米，高是3厘米，它的面积是（________）平方厘米。
4. 一个三角形的底是6厘米，高是4厘米，它的面积是（________）平方厘米。
5. 计算梯形的面积：上底4厘米，下底6厘米，高5厘米。
6. 三角形的任意两边之和都大于第三边。（ ）
7. 两个面积相等的三角形一定能拼成一个平行四边形。（ ）
8. 把图形向上平移4格，图形上每个点数对中的第二个数都增加4。（ ）
9. 估计不规则图形的面积：每个小方格的边长表示1厘米，满格有18格，不满一格的约有10格，这个图形的面积大约是（________）平方厘米。
10. 用数对表示位置时，先写（________）再写（________）；第4列第2行用数对（________）表示。
★★ 能力提升
11. 下面每组线段（单位：厘米）中，能围成三角形的是（________）。
A. 2、3、5 B. 3、4、7
C. 4、5、8 D. 4、4、9
12. 一块直角三角形玻璃的面积是72平方厘米，其中一条直角边是12厘米，另一条直角边是多少厘米？
13. 在方格纸上描出点A(1,2)、B(5,2)、C(3,5)，依次连接成三角形ABC。把这个三角形先向上平移2格，再向右平移3格，画出平移后的三角形，并写出平移后三个顶点的数对。
方格纸
14. 小区里有一块平行四边形空地，底边是25米，高是12米，要铺满草皮。每平方米草皮35元，铺满这块空地一共需要多少元？
★★★ 拓展延伸
15. 一块长方形空地长30米、宽20米。从这块空地的一个角挖掉一个底为12米、高为10米的三角形鱼塘，剩余部分种草，种草的面积是多少平方米？
16. 一个等腰三角形的顶角是70°，它的一个底角是多少度？如果等腰三角形的一个底角是70°，顶角是多少度？
17. 方格纸上有一个平行四边形，四个顶点分别是A(1,2)、B(5,2)、C(4,5)、D(0,5)。（1）求这个平行四边形的面积（每个小方格的边长表示1厘米）。（2）把这个平行四边形向右平移4格，写出平移后四个顶点的数对。
参 考 答 案
第1题：90；直角
【解析】第三个角＝180°−35°−55°＝90°，有一个角是直角的三角形是直角三角形。
第2题：9；3
【解析】第三边必须大于两条边的差（6−4＝2厘米）、小于两条边的和（6＋4＝10厘米），整厘米数只能是3至9厘米。
第3题：24
【解析】S＝底×高＝8×3＝24（平方厘米）。
第4题：12
【解析】S＝底×高÷2＝6×4÷2＝12（平方厘米），不要漏掉除以2。
第5题：25
【解析】S＝(上底＋下底)×高÷2＝(4＋6)×5÷2＝25（平方厘米）。
第6题：√
第7题：×
【解析】面积相等只能说明大小相同，形状不一定相同；只有两个完全相同的三角形才能拼成一个平行四边形。[错因:理解]
第8题：√
【解析】数对中第一个数表示列、第二个数表示行；向上平移行数增加、列数不变，所以第二个数都增加4。
第9题：23
【解析】不满一格的按半格估算：18×1＋10×0.5＝23（平方厘米）。
第10题：列；行；(4,2)
【解析】数对先列后行，(4,2)表示第4列第2行。
第11题：C
【解析】4＋5＝9＞8，任意两边之和大于第三边，能围成三角形。A、B中两边之和等于第三边，D中4＋4＜9，都不能围成。[错因:理解]
第12题：12厘米。直角三角形中两条直角边互为底和高，由面积公式逆推：72×2÷12＝144÷12＝12（厘米）。答：另一条直角边是12厘米。
【解析】直角三角形两条直角边分别作底和高，由面积公式逆推：高（另一条直角边）＝面积×2÷底，先乘2再除以已知边，顺序不能反。[错因:方法]
第13题：A′(4,4)、B′(8,4)、C′(6,7)。先上移2格：行数加2；再右移3格：列数加3。
【解析】A(1,2)→A′(4,4)，B(5,2)→B′(8,4)，C(3,5)→C′(6,7)。先在方格纸上标出平移后的各点，再依次连接；平移后图形形状、大小不变。[错因:方法]
第14题：10500元。25×12＝300（平方米），300×35＝10500（元）。答：铺满这块空地一共需要10500元。
【解析】先求平行四边形面积：S＝底×高＝25×12＝300（平方米）；再求总价：单价×数量＝35×300＝10500（元）。[错因:计算]
第15题：540平方米。长方形面积30×20＝600（平方米），三角形鱼塘面积12×10÷2＝60（平方米），种草面积600−60＝540（平方米）。答：种草的面积是540平方米。
【解析】这是“添补法”思路：先看完整的长方形面积，再减去挖掉的三角形面积。计算三角形面积时注意除以2，漏除会得到600−120＝480的错误结果。[错因:计算]
第16题：55°。(180°−70°)2＝55°，第一个问题中底角是55°。第二个问题：等腰三角形两个底角相等，顶角＝180°−70°×2＝40°。
【解析】等腰三角形两个底角相等。已知顶角求底角：（180°−顶角）÷2；已知底角求顶角：180°−底角×2。两种问法形成易错对比，审题时先判断已知的是顶角还是底角，再选择算式。[错因:理解]
第17题：12平方厘米。底AB占4格、高3格，面积4×3＝12（平方厘米）。向右平移4格，列数都加4：A′(5,2)、B′(9,2)、C′(8,5)、D′(4,5)。
【解析】（1）平行四边形的底是A(1,2)到B(5,2)的距离，共4格；高是A、B所在行到C、D所在行的距离，共3格，S＝4×3＝12（平方厘米）。（2）向右平移4格只改变列数：数对中的第一个数都加4，第二个数不变。[错因:方法]图形
面积公式
推导方法（转化思想）
长方形
S＝长×宽
数方格或摆一摆直接得到
平行四边形
S＝底×高
沿高剪开，平移拼成长方形
三角形
S＝底×高÷2
两个完全相同的三角形拼成平行四边形，取一半
梯形
S＝(上底＋下底)×高÷2
两个完全相同的梯形拼成平行四边形，取一半
板块
核心内容
关键结论
三角形
内角和、三边关系、按角分类
内角和180°；任意两边之和大于第三边
平面图形面积
平行四边形、三角形、梯形的面积
转化推导；三角形、梯形要除以2
组合图形与估算
分割法、添补法、数方格
分割求和或添补求差；满格1格、不满格按半格
位置与运动
数对、平移
先列后行；左右平移改列、上下平移改行