2025--2026学年辽宁省大连市红旗高级中学高一下学期期中考试数学试卷-含解析

这是一份2025--2026学年辽宁省大连市红旗高级中学高一下学期期中考试数学试卷-含解析，共23页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知某扇形的圆心角为，其所对的弦长为，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知平面向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D. 或
5. 若向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
7. 已知的三个角的对边分别为，且是边上的动点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，点在边上运动，当取到最小值时，点满足，则的外接圆半径为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.）
9. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则为锐角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，，这样的三角形有两个，则a的取值范围为
10. 已知函数与x轴交于A，B两点，且线段AB长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好为奇函数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，函数的部分图象，则（ ）

A.
B. 将图象向右平移后得到函数的图象
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知角的终边上有一点P的坐标是，，则______________________．
13. 在中，，则______.
14. 已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值为____________．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 单位向量，满足.
（1）求与夹角的余弦值：
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
16. 已知，，且，，求：
（1）的值；
（2）的值．
17. 在锐角中，内角的对边分别为，的面积为，且，.
（1）求的面积最大值.
（2）求的取值范围.
18. 已知向量，，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）若函数在有三个不同的零点从小到大依次为，求的值.
19. 的内角的对边分别为，若.
（1）求；
（2）若，的面积为.
（i）求；
（ii）边上一点，记面积为，面积为，当达到最小值时，求的长.
数学
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知某扇形的圆心角为，其所对的弦长为，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：设该扇形的半径为，依题意可得，再由扇形面积公式计算可得.
解答过程：设该扇形的半径为，因为扇形的圆心角为，其所对的弦长为，则，
则该扇形的面积为.
故选：B.
2. 已知平面向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据向量垂直得到方程，解出即可.
解答过程：因为，则，即，解得.
故选：D.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：运用辅助角公式及二倍角公式，结合角的变换求解即可.
解答过程：因为，所以，即，
所以，
所以，
故选：C.
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D. 或
答案：B
解析：
思路：借助可得，结合所处象限可得，即可得，即可得解.
解答过程：由，
，即，
，为钝角，
，，
，
，
则，
，，
则.
故选：B.
5. 若向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用数量积来计算投影向量即可.
解答过程：因为，，由可得：，
以向量在向量上的投影向量为．
故选：C．
6. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
答案：A
解析：
思路：利用诱导公式将变为正弦型函数，再根据三角函数平移规则判断即可.
解答过程：因为，
所以将函数向左平移个单位长度得到：
，故A符合题意；
将函数向左平移个单位长度得到：
，故B不符合题意；
将函数向右平移个单位长度得到：
，故C不符合题意；
将函数向右平移个单位长度得到：
，故D不符合题意；
故选：A
7. 已知的三个角的对边分别为，且是边上的动点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：利用余弦定理计算先得，确定为直角三角形，再利用平面向量数量积公式结合二次函数的性质计算即可.
解答过程：由余弦定理可知，
所以，即为直角三角形，.
设，则，
则，
显然时，.
故选：D
8. 在中，点在边上运动，当取到最小值时，点满足，则的外接圆半径为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：求出的长，进而求出的长，得出点的位置，利用正弦定理即可求出的外接圆半径.
解答过程：由题意，
过 作 , 垂足为，
，
在Rt 中, ,
,
∴，
当 取得最小值时,取得最大值,
, 此时,
∵，
∴ 为 中点, ,,
设外接圆半径为 ,
由正弦定理得，
∴，
故选：D.

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.）
9. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则为锐角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，，这样的三角形有两个，则a的取值范围为
答案：AD
解析：
思路：对于ABC，由正弦定理边角互化结合题意可判断选项正误；对于D，由余弦定理可得，然后由关于c的方程有两个不同正根可判断选项正误.
解答过程：对于A，由正弦定理可得：，又三角形中“大边对大角”，则，故A正确；
对于B，由正弦定理边角互化可得：，
则C为钝角，即为钝角三角形，故B错误；
对于C，由正弦定理边角互化可得，
或，则为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，由余弦定理可得，
因这样的三角形有两个，则对应方程有两个正数解，则，
解得，故D正确.
故选：AD
10. 已知函数与x轴交于A，B两点，且线段AB长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好为奇函数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：AC
解析：
思路：根据周期性可得，根据图象变换可知，结合奇函数性质分析求解.
解答过程：由题意知，函数的最小正周期为，则，得，
所以，
将函数的图象向左平移个单位长度，
可得的图象，
因为为奇函数，则，，即，，
当时，，符合题意；当时，符合题意.
故选：AC.
11. 如图，函数的部分图象，则（ ）

A.
B. 将图象向右平移后得到函数的图象
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为
答案：ACD
解析：
思路：根据给定的函数图象，利用五点法作图求出，再结合正弦型函数图象与性质逐项分析判断.
解答过程：对于A，观察图象，，的最小正周期，解得，
由，得，而，则，
所以，A正确；
对于B，将图象向右平移后得到函数，B错误；
对于C，当时，，而正弦函数在上单调递增，
因此在区间上单调递增，C正确.
对于D，函数的图象对称轴为，
当与关于直线对称时，的最大值与最小值的差最小，
此时，，当为偶数时，，而，
当为奇数时，，而，最大值与最小值的差为1；
当或时，
函数在上单调，最大值与最小值的差最大，
，当或时均可取到等号，
所以最大值与最小值之差的取值范围为，D正确.
故选：ACD
方法提示：思路点睛：给定的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最高（低）点定A，求出周期定，由图象上特殊点求.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知角的终边上有一点P的坐标是，，则______________________．
答案：
解析：
思路：根据三角函数的定义，求得，再利用诱导公式和三角函数的基本关系式，即可求解.
解答过程：由角的终边上有一点P的坐标是，可得，
则.
故答案为：.
13. 在中，，则______.
答案：##
解析：
思路：先根据正弦定理得到三边的比例，再根据余弦定理求出角，进而可得.
解答过程：因为，
由正弦定理得，
不妨设，则，，
由余弦定理得：，
因，所以，
，
故答案为：
14. 已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值为____________．
答案：6
解析：
思路：设函数的最小正周期为，根据题意分析得出，其中，可得出，利用函数的单调性可得出的取值范围，可得出的可能取值，然后对的值由大到小进行检验，可得结果.
解答过程：设函数的最小正周期为，
因为是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，
则，其中，所以，，，
因为函数在区间上单调，则，所以，.
所以，的可能取值有：、.
当时，，，
所以，，则，
，，所以，，
当时，，所以，
函数在上单调，符合题意；
的最大值为.
故答案为：
方法提示：关键点点睛：本题考查三角函数中的最值的求解，解题的关键在于利用函数的周期确定的表达式与取值范围，再进行检验即可.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 单位向量，满足.
（1）求与夹角的余弦值：
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用向量数量积的运算法则求得，再由模长与数量积求得与夹角的余弦值；
（2）由题意得且与不共线，从而得到关于的不等式组，解之即可得解.
（1）因为，，
所以，即，则，
则，即与夹角的余弦值.
（2）因为与的夹角为锐角，
所以且与不共线，
当与共线时，有，即，
由（1）知与不共线，所以，解得，
所以当与不共线时，，
由，得，
即，解得，
所以且，即实数的取值范围为.
16. 已知，，且，，求：
（1）的值；
（2）的值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）先利用两角和的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式结合商数关系化弦为切即可得解；
（2）先利用利用二倍角的余弦公式结合商数关系化弦为切求出，再利用两角差的正弦公式求出的正弦值，并求出的范围，即可得解.
（1）由，
解得，
所以；
（2），
由，，得，
所以
，
因为，，
所以，所以，
又，，
所以，所以，
所以，
所以．
17. 在锐角中，内角的对边分别为，的面积为，且，.
（1）求的面积最大值.
（2）求的取值范围.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由余弦定理、向量数量积定义以及三角形面积公式求出边c和角C，再结合基本不等式可得，最后求出的面积的最大值.
（2）由正弦定理得，再由平面向量数量积的定义及三角恒等变换知识化简后转化为求三角函数的取值范围.
（1）因为，
所以，
又因为，得，
所以，又，得，
由余弦定理得，即，
所以，
由基本不等式得，
故，解得，当且仅当时，等号成立，
；
当且仅当时，的最大值为.
（2）由正弦定理得，
所以，又，所以，
，
因为为锐角三角形，
所以，，解得，
则，，
.
18. 已知向量，，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）若函数在有三个不同的零点从小到大依次为，求的值.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由向量数量积的坐标运算、二倍角公式和辅助角公式得，由周期得的解析式；
（2）由正弦函数的单调递减区间，得到的单调递减区间；
（3）由，解得或，依题得，由正弦函数的图象得和关于直线对称，从而得到，即可求解..
（1），
因为的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，
所以该函数的最小正周期，则，
所以.
（2）由得，
所以的单调递减区间是.
（3）由得或，
即或，
由，可得，
由得，解得；
所以在上有两个不同的解，由图知，，
且，即，
所以，
所以.
19. 的内角的对边分别为，若.
（1）求；
（2）若，的面积为.
（i）求；
（ii）边上一点，记面积为，面积为，当达到最小值时，求的长.
答案：（1）
（2）（i）；（ii）
解析：
思路：（1）由正弦定理可得，进而得出，即可得出答案；
（2）根据面积公式可推得，然后根据余弦定理可求得；设，，推得，.代入，根据“1”的代换，即可根据基本不等式得出取最小值时的值，进而得出.根据余弦定理，在中，求出.然后在中，根据余弦定理，即可求出的长.
（1）由正弦定理以及可得，.
因为，所以.
又，所以.
（2）（i）由已知可得，，所以.
由余弦定理可知，，
所以，.
（ii）设，，则.
所以，则，所以.
同理可得，.
所以.
当且仅当，即，时取等号.
所以，.
又在中，有，
在中，有，
所以，.