【期中复习】苏教版2019必修第二册2023-2024学年高一下册数学 专题02 三角恒等变换（考点讲解）

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要点一　利用正弦、余弦定理解三角形
1.已知三角形的任意两个角和一边，可结合三角形内角和定理及正弦定理解此三角形.2.已知三角形的两边和其中一边的对角，这个三角形解的情况是不确定的.如已知△ABC的边长a，b和角A，根据正弦定理求角B时，可能出现一解、两解、无解的情况，这时应借助已知条件进行检验，务必做到不漏解、不多解.
由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，得9＝a2＋c2－ac.
解　在△ABC中，由正弦定理得，
代入数据化简得：b2－9b＋20＝0，∴b＝4或b＝5.若b＝4，而在△ABC中，a＝4，∴△ABC为等腰三角形，且A＝B，又C＝2A，且A＋B＋C＝180°，
这与已求出的c＝6相矛盾，故要舍去.经检验b＝5满足题意.综上，b的值为5.
要点二　利用正弦、余弦定理解决三角形面积问题
求三角形的面积需知道三角形的边及角，因此求三角形的面积与正、余弦定理的应用密切相关，常见的三角形面积公式有以下几种：辨析，判断正误
所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，
又0°(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围.
又由(1)知A＋C＝120°，
由于△ABC为锐角三角形，故0°要点三　正弦、余弦定理在实际问题中的应用
正、余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用正、余弦定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验.
【例3】　某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20 海里的A处，并正以30 海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
解　设相遇时小艇航行的距离为s海里，
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.解　设小艇与轮船在B处相遇.则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cs(90°－30°)，
此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30 海里/时.
【训练3】　为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量.A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图).飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离.请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.
解　①需要测量的数据有：从A点观测M，N点的俯角α1，β1，从B点观测M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示).
第二步：计算AN.在△ABN中，由正弦定理得
第三步：计算MN.在△AMN中，由余弦定理得
法二　第一步：计算BM.在△ABM中，由正弦定理得
第二步：计算BN.在△ABN中，由正弦定理得
第三步：计算MN.在△BMN中，由余弦定理得
要点四　利用正、余弦定理判断三角形形状
根据已知条件(通常是含有三角形的边和角的等式或不等式)判断三角形的形状时，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解.
【例4】　在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状.解　法一　由正弦定理及已知得2sin B＝sin A＋sin C，∵B＝60°，∴A＋C＝120°，∴2sin 60°＝sin(120°－C)＋sin C，
∴sin(C＋30°)＝1.∵0∴(a－c)2＝0，∴a＝c，又B＝60°，∴△ABC为等边三角形.
∴sin Ccs C＝sin Bcs B，即sin 2C＝sin 2B，∵B，C均为△ABC内角，∴2C＝2B或2C＋2B＝180°，即B＝C或B＋C＝90°，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
要点五　正、余弦定理与其它知识的综合
对于正、余弦定理的综合问题，首先要熟练使用正、余弦定理，其次要根据条件，合理选用三角函数公式，达到简化问题的目的.利用正、余弦定理解三角形问题时，常与平面向量、三角恒等变换等知识结合给出问题的条件，这些知识的加入，一般只起“点缀”作用.
设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a2＝b2＋c2－2bccs A，所以a2＝b2＋c2－bc＝7.又sin B＝3sin C，所以b＝3c.故7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1.
解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.　
　　　　　　在△ABC中，若lg sin A－lg cs B－lg sin C＝lg 2，则该三角形的形状是(　　)A．等腰三角形　　B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
正、余弦定理在实际应用中应注意的问题(1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图．(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等．(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形.
(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据,尽量减少计算中误差的积累．(5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的精确度确定答案并注明单位．　
正、余弦定理与三角函数综合应用的求解策略(1)首先要熟练使用正、余弦定理，其次要根据条件，合理选用三角函数公式，达到简化问题的目的．(2)利用正、余弦定理解三角形问题时，常与平面向量等知识结合给出问题的条件，这些知识的加入，一般只起“点缀”作用，难度较小，易于化简．　
3．在△ABC中，已知sin2A＝sin2B＋sin2C，且sinA＝2sin B cs C，则△ABC的形状是(　　)A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形