辽宁大连市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

这是一份辽宁大连市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷（含解析）试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：（120分钟满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求.
1. （ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先将化小为，然后利用角的终边与单位圆的交点坐标求解余弦值.
【详解】，
而为第四象限角，且其终边与单位圆的交点坐标为，
故．
故选：A.
本题考查利用单位圆求三角函数值，属于基础题.
2. 已知复数（其中i为虚数单位），则（ ）
A. 5B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复数的四则运算并结合复数的模即可求解.
【详解】，
则.
3. 设，表示两条不重合的直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，，则
【答案】D
【解析】
【详解】若，，，则或异面，故A错误；
若，，则或相交或，无法推出，故B错误；
若，，，，若相交，则，
若，则无法判断，故C错误；
若，，，过直线作平面，，
，，过直线作平面，，
，，，，，
，，故D正确．
4. 已知向量，，若与垂直，则（ ）
A. 13B. C. 11D.
【答案】A
【解析】
【详解】，若与垂直，则，
即：，解得：.
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将化为，根据同角三角函数基本关系，切化弦，即可得出结果。
【详解】因为，所以，
因此.
故选：C.
6. 某函数在一个周期内的图像，此函数的解析式可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图像，可得，结合周期公式可求得，代入最高点坐标可求得，即可得函数解析式.
【详解】根据函数图像可知，
周期，所以，
所以，将最高点坐标代入可得
，所以，
解得，
当时，，
所以.
7. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为（ ）
A. 80米B. 100米C. 112米D. 120米
【答案】B
【解析】
【分析】结合题意表示出，再利用余弦定理建立方程，求解高度即可.
【详解】设，由题意得，而，
得到，在中，，，
由余弦定理得，解得，故B正确.
故选：B.
8. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为的正方形，，，分别是棱，的中点，是侧面内的一个动点，若平面，则动点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取中点 构造平面，通过线面垂直判定证明平面，结合在面内确定轨迹为线段，再由中位线求出 长度得到轨迹长.
【详解】如图，取棱PD的中点G，连接FG，EG．
因为F，G分别是棱AD，PD的中点，所以．
因为平面ABCD，所以平面ABCD．
因为平面ABCD，所以．
由正方形的性质易证．
因为平面EFG，平面EFG，，
所以平面EFG，则平面EFG．
因为M是侧面PCD内的一个动点，所以动点M的轨迹为线段EG．
因为，所以．
因为E，G分别是棱CD，PD的中点，所以，
即动点M的轨迹长度是．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用二倍角公式和两角和差公式求解即可.
【详解】，A正确；
，B正确；
，C错误；
，D正确；
故选：ABD
10. 已知平面向量，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若在上的投影向量为，则
D. 若与夹角为锐角，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用向量垂直时的坐标公式判断选项A；根据已知条件，利用向量线性运算的坐标形式，建立等量关系判断选项；根据投影向量的公式，代入坐标求值即可判断选项；根据向量夹角为锐角可得数量积大于，验证共线时的的取值，即可判断选项.
【详解】解：选项A，， ，
又，，，
解得，A正确；
选项B，，，
，解得，B正确；
选项C，在上的投影向量为，则，所以，
代入坐标得，化简得，易知方程无解，C错误；
选项D，与夹角为锐角，，解得，
若与共线，则，解得，
而当时，取不到，因此与夹角为锐角时，，正确.
11. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A. 不存在点P，使得平面
B. 一蚂蚁从点A出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为
C. 三棱锥的体积为
D. 三棱锥的外接球表面积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】取中点，利用面面平行判定定理可得平面平面，则可利用面面平行性质定理得A；将平面展开后计算可得B；借助等积转换计算可得C；将三棱锥补形后可得D.
【详解】对A：取中点，连接、，由为中点，则，
又平面，平面，故平面，
由为中点，则，
又平面，平面，故平面，
又，、平面，则平面平面，
则当点在线段上时，由平面，可得平面，
故存在点，使得平面，故A错误；
对B：将平面与平面沿展开，使其位于同一平面如下图：
则从到的最短距离为，故B正确；
对C：，故C正确；
对D：取、、中点、、，连接成四边形，
三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，
故即为该外接球直径，故半径为，
则外接球表面积为，故D正确.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 在平面直角坐标系中，角的始边落在x轴正半轴上，点在角的终边上，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用三角函数定义求出，然后利用二倍角公式可得.
【详解】由题可得，所以.
13. 将函数的图像向左平移后得到函数的图像，且函数的图像关于直线对称，则________.
【答案】##
【解析】
【分析】由图象的平移变换可得到的表达式，结合其对称轴，即可求得的表达式，即得答案.
【详解】将函数的图象向左平移后得到函数的图象，
所以，
函数的图像关于直线对称，则，
解得，又，所以，.
14. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则__________，的最小值为__________．
【答案】 ①. 3 ②. ##
【解析】
【分析】第一空，利用余弦定理角化边，再化简计算即得；第二空，利用余弦定理将用表示，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】在中，由及余弦定理，得
，因此；
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：3；
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 已知函数，
（1）求函数的单调递减区间
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用三角恒等变换化简函数为正弦型标准式，再结合正弦函数单调递减区间解不等式得到的单调减区间；
（2）先根据范围求出内层角范围，得到值域，再将绝对值恒成立不等式转化为关于的不等式组，解出的取值范围.
【小问1详解】
由，，
解得，，
故函数的单调递减区间为，．
【小问2详解】
由得，
则，
所以．
由得在上恒成立，
所以
解得，即m的取值范围是．
16. 如图，在正方体中，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）在图中作出平面和底面ABCD的交线，并求平面将正方体分成两部分的体积之比.
【答案】（1）
在正方体中，且，且，
且，所以，四边形为平行四边形，
所以.
又平面，平面，
平面.
（2）
7∶17
【解析】
【分析】（1）由正方体的性质及线面平行的判定定理可得；
（2）利用平面基本事实3，作出与的交点可得平面和底面ABCD的交线，求出正方体被平面分得的三棱台的体积，根据正方体的体积，求得另一部分的体积，即可得两部分体积比.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
在正方形中，直线与直线相交.
延长，交于点，连接，
，平面，则平面.
，平面，平面.
平面平面，则平面和底面ABCD的交线为，
设，则如图平面和底面ABCD的交线为，
连接，则为平面和平面的交线.
由为的中点，得为的中点，.
所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台.
解法一：设正方体的棱长为2.
.
另一部分几何体的体积为.
两部分的体积比为7∶17.
解法二：设正方体的棱长为2，所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台，
所以.
另一部分几何体的体积为，
两部分的体积比为7∶17.
17. 已知的内角的对边分别为，且．
（1）求．
（2）若，且 边上的中线长为，求的面积．
（3）若角的平分线长为，求的面积的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理即可求解；
（2）在中使用余弦定理计算，再由面积公式即可求解；
（3）由，结合基本不等式即可求解.
【小问1详解】
由余弦定理，又，
代入可得： ，
又，故
【小问2详解】
记边上的中线为，则，
在中，由余弦定理得，
化简可得：，解得或（舍），
所以.
【小问3详解】
设角平分线交于，，
由得：
，
化简得 ，由基本不等式得，
解得： ，当且仅当 时等号成立，
故面积最小值.
18. 如图，直三棱柱中，，若，分别是，的中点.
（1）求证：平面
（2）求证：平面平面
（3）设是中点，求直线与平面所成角的正弦值
【答案】（1）法一：取中点H，连接HG，HF，
，H，F分别为，和中点．
，，，从而，
平面ABC，平面ABC，平面ABC，平面ABC，
平面ABC，平面ABC，平面HGF，平面HGF，
与HF在平面HGF内且相交，平面平面ABC，
平面HGF，平面.
法二：连接，
为中点，为中点，为中点，，
平面ABC，平面ABC，平面ABC．
（2）在直棱柱中，平面ABC，
平面ABC，，
不妨设，，，，
，，
又与在平面内且相交，平面，
平面，平面平面．
（3）
【解析】
【分析】（1）法一：取中点H，连接，，利用线面平行的判定定理证得平面，平面，进而利用面面平行的判定定理得平面平面，最后利用面面平行的性质定理证明即可；
法二：连接，根据中位线的性质得，然后利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）利用棱柱性质得，根据勾股定理得，进而利用线面垂直的性质定理得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可；
（3）连接，，利用线面角的定义得即为所求的线面角，在直角三角形中求解正弦值即可；
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
【小问3详解】
连接MB，，
平面ABC，直线BM为直线在平面ABC内的射影，
是与平面ABC所成的角，
在中，，
，
故．
19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为S.
（1）若，，求C；
（2）求证：；
（3）求的最小值.
【答案】（1）
（2）
，
当且仅当时等号成立；
因为，所以
此时，当且仅当是等边三角形时等号成立
则，即.
（3）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理及三角形面积公式结合题意可得，据此可得答案；
（2）由基本不等式，三角函数值域，利用作差法可完成证明；
（3）由结合正弦定理和余弦定理可得，然后由（2）中结论可得答案.
【小问1详解】
由，
，联立得
则，因为，，
所以，即；
【小问2详解】
略
【小问3详解】
因为
所以.
当且仅当是等边三角形时等号成立.