2025--2026学年辽宁大连育明高级中学高一下学期期中考试数学试卷-含解析

这是一份2025--2026学年辽宁大连育明高级中学高一下学期期中考试数学试卷-含解析，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 的值为
A. B. C. D.
2. 若复数，则（ ）
A. 5B. 4C. D. 2
3. 函数图象的对称中心是（ ）
A. B.
C. D.
4. 若，则（ ）
A. B. 2C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 由瑞士著名建筑大师马里奥博塔设计的清华大学艺术博物馆整体为长方体造型，长方体是该建筑的直观图，当身高为 m人（忽略眼睛到头顶的距离）站在点处（的延长线上）时可以估测点、点的仰角，现测得楼宽长为m，此人估测得点的仰角为，点的仰角为，则估测教学楼的高为（ ）（单位：m)
A. B.
C. D.
7. 已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 若是垂心，且，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A. 的解析式可以为
B. 将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则
C. 的对称中心为
D. 若，则
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B. 平面向量和 满足， 在上的投影向量为，则在上的投影向量为
C. 若 是的外心，且，，则
D. 平面向量，， 满足，且，则为等腰三角形
11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，下列结论正确的是 （ ）
A.
B. 若， ，则有两解
C. 当时为直角三角形
D. 的取值范围是
第Ⅱ卷（共92分）
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则________.
13. 若，，且，，则______；
14. 已知， ， 是平面向量， 是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 ________ ．
四、解答题：本题共5个小题，共77分．
15. 已知向量，，满足，，.
（1）求向量，所成的角的大小；
（2）若，求实数的值.
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
（1）求角A的大小；
（2）若D为BC中点， ， ，求边a；
（3）若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值．
17. 已知向量， ，其中，设函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的值；
（3）若对，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
18. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）常数＞0，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；
（3）将函数的图象向左平移个单位，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再保持图象上点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到函数的图像，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数m的取值范围.
19. 定义：设为坐标原点，若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．
（1）若向量为函数的伴随向量，求的坐标；
（2）若函数为向量的伴随函数，在中，内角的对边分别为，恰好为函数的最大值．
（ⅰ）若，的角平分线交于点，，求的最大值；
（ⅱ）若，在锐角中，求的范围．
数学
满分150分 时间120分钟
第Ⅰ卷（共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 的值为
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：因为．
2. 若复数，则（ ）
A. 5B. 4C. D. 2
答案：A
解析：
解答过程：由题意，，
于是.
3. 函数图象的对称中心是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
解答过程：令，得，
故函数图象的对称中心是.
4. 若，则（ ）
A. B. 2C. D.
答案：B
解析：
思路：利用平方关系将原式化成弦的齐次式，再化弦为切，解方程即得.
解答过程：两边取平方得，，
则，
两边同除以得，
整理得到，解得，
故选：B．
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：利用三角函数的诱导公式对进行化简，结合已知条件求解.
解答过程：因为 ，所以，
因为 ，所以，
所以


==.
故选：D.
6. 由瑞士著名建筑大师马里奥博塔设计的清华大学艺术博物馆整体为长方体造型，长方体是该建筑的直观图，当身高为 m人（忽略眼睛到头顶的距离）站在点处（的延长线上）时可以估测点、点的仰角，现测得楼宽长为m，此人估测得点的仰角为，点的仰角为，则估测教学楼的高为（ ）（单位：m)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：设出长方体建筑物的上底面与点的高度差为，利用三角函数求出，，再利用勾股定理即可求出，进而可求得.
解答过程：设长方体建筑物的上底面与点的高度差为，
可得，，
在直角三角形中，，即，
解得，
所以，
所以.
故选：D.
7. 已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据给定条件，利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，并求出的零点，结合给定区间上无零点列出不等式组求解.
解答过程：函数，
由，得，解得，
由在内没有零点，得，
而，解得，此时且，
即，因此或，则或，
所以的取值范围是.
8. 若是垂心，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：利用垂心的性质，连接并延长交于，得到，把已知条件中的式子化简，得到，再两边同乘以，利用数量积、正弦定理进行整理化简，得到，再把化为，整理后得到值.
解答过程：在中，，
由，
得，
连接并延长交于，
因为是的垂心，所以，，
所以
同乘以得，
因为，所以
由正弦定理可得
又，所以有，
而，
所以，
所以得到，
而，所以得到，
故选：D.
方法提示：
本题考查了平面向量线性运算、数量积、正弦定理、两角差的余弦公式、诱导公式、三角形垂心性质等知识综合运用，采用数形结合的思想方法．属于难题．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A. 的解析式可以为
B. 将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则
C. 的对称中心为
D. 若，则
答案：AD
解析：
思路：由正弦函数图象求正弦函数解析式的方法可判断；利用三角函数的图象变换可判断；根据正弦函数的对称中心的求法可判断；利用换元法，结合三角函数的性质可判断.
解答过程：对于：由图知，，所以，
过点，所以，
可取，则，故正确；
对于：由知，
将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，可得，
再向左平移个单位，得到的图象，
则，
,
二者不相等，故错误；
对于：由知，所以，
解得，所以的对称中心为，故错误；
对于：，令，
则，因为，
则，，所以，
即，即，
所以，故正确.
故选：.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B. 平面向量和 满足， 在上的投影向量为，则在上的投影向量为
C. 若 是的外心，且，，则
D. 平面向量，， 满足，且，则为等腰三角形
答案：CD
解析：
思路：由向量的夹角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可判断A；根据在上的投影向量公式可求得，再利用在上的投影向量公式即可判断B；利用的外心性质结合向量运算即可判断C；根据向量的运算性质可得为的垂线且在的角平分线上，从而可判断D.
解答过程：对于A，已知，，且与的夹角为锐角，
可得，且与不共线，，
即有，且，
解得且，则实数的取值范围是，故A不正确；
对于B，，所以，，
因为在上的投影向量为，
所以，则在上的投影向量为，故B不正确；
对于C，因为是的外心，所以(为的外接圆半径)，
又因为，所以，即，
同理可得，
两式相减得，即有，故C正确；
对于D，由于，即，，
得，即为的垂线，
又由于，表示与同向的单位向量，
表示与同向的单位向量，
以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，其对角线平分内角，
所以在的角平分线上，
所以为等腰三角形，故D正确.
11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，下列结论正确的是 （ ）
A.
B. 若， ，则有两解
C. 当时为直角三角形
D. 的取值范围是
答案：AC
解析：
思路：利用正弦定理、诱导公式、二倍角公式及辅助角公式化简求解即可判断A；利用余弦定理求解即可判断B；通过余弦定理及可得或（舍），再利用正弦定理即可判断C；化简得，结合的取值范围即可判断D.
解答过程：对于A， ，
由及正弦定理得，，
由诱导公式得，，
因为，所以，所以，
，，
即，
所以或，即（舍）或，故A正确；
对于B，由余弦定理得，即，整理得，
由，所以或（舍），即有一解，故B错误；
对于C，因为，所以，
两边平方得，即，
由余弦定理得，
所以，即，解得或（舍），
，则，由正弦定理有，解得，
故为直角三角形，故C正确；
对于D， ，
因为，所以，所以，所以，
所以的取值范围是，故D错误.
第Ⅱ卷（共92分）
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则________.
答案：
解析：
思路：利用诱导公式先化简，再将弦化为切即可求解.
解答过程：由题意有：，
故答案为：.
13. 若，，且，，则______；
答案：
解析：
思路：先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，再根据的范围确定其具体值.
解答过程：因，所以.
所以，
因为，，，
所以，
所以
因为，，所以.
在这个区间内，时，.
故答案为：.
14. 已知， ， 是平面向量， 是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 ________ ．
答案：##
解析：
思路：根据向量坐标运算可得的终点对应的轨迹圆和的的终点轨迹所在射线，进而将问题转化为直线上的点到圆上点的最小距离，利用点到直线的距离公式结合圆的半径求解.
解答过程：因为是单位向量，所以可令，设，
由，可得：，整理得：，
即的终点轨迹是以为圆心，半径的圆.
因为非零向量与夹角为，所以的终点在射线上，
故的几何意义是：射线上的点到圆上点的距离，最小值为圆心到射线的距离减去圆半径.
由点到直线的距离公式，圆心到直线的距离：，
垂足为，在射线上，因此最小距离为：.
四、解答题：本题共5个小题，共77分．
15. 已知向量，，满足，，.
（1）求向量，所成的角的大小；
（2）若，求实数的值.
答案：（1），（2）
解析：
思路：（1）由题意可知，，变形整理得，求解即可.
（2）由题意可知，，解方程即可.
解答过程：（1）
，即
则，即
（2），，
即
方法提示：本题考查向量的数量积运算，属于中档题.
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
（1）求角A的大小；
（2）若D为BC中点， ， ，求边a；
（3）若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值．
答案：（1）
（2） （3）6
解析：
思路：（1）由正弦定理以及两角和的正弦公式可得；
（2）利用以及余弦定理可得；
（3）利用正弦定理得，结合三角函数求值域.
（1）因为，所以由正弦定理可得，
在中， ，
所以，
即，
因为，所以，
因为，所以；
（2）因为，
所以，
，
又，所以，所以，
又因为，所以．
（3）由正弦定理得，可得， ，
，
，
因为是锐角三角形，且，则，
得，得，，， 故的周长最大值为6．
17. 已知向量， ，其中，设函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的值；
（3）若对，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案：（1）；
（2）；
（3）．
解析：
思路：（1）整理函数的解析式代入已知点求解即可.
（2）结合（1）代入可得，进而根据三角恒等变换求解，再由两角差的正切展开公式求解.
（3）将所给不等式等价转化，将其化成恒成立问题，进而设，将函数化成，再利用函数单调性求得参数范围.
（1）依题意，，
．
由得，
即．
又，所以．所以．
（2）由已知得，，则，
解得，，
（3）因为在恒成立，
则，
而，
，
，
所以，
即在恒成立，
记，

又；
设，则在上单调递增，
，
，即．
故的取值范围为．
18. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）常数＞0，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；
（3）将函数的图象向左平移个单位，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再保持图象上点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到函数的图像，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数m的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）答案见解析
解析：
思路：（1）化简，所以，即可得出答案.
（2）先求出的递增区间，又因为函数在区间上是增函数，当时，有，解不等式即可求出答案.
（3）求出，由题意求出，讨论和，使得成立，即可求出实数m的取值范围.
（1），.
（2）.由得，
的递增区间为
在上是增函数，当时，有.
，解得，的取值范围是.
（3）由题，存在非零常数，对任意的成立，在上的值域为在上的值域为
当时，，1为的一个周期，即1为最小正周期的整数倍，
所以，即
当时，
由诱导公式可得，即
所以当时，；
当时，.
19. 定义：设为坐标原点，若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．
（1）若向量为函数的伴随向量，求的坐标；
（2）若函数为向量的伴随函数，在中，内角的对边分别为，恰好为函数的最大值．
（ⅰ）若，的角平分线交于点，，求的最大值；
（ⅱ）若，在锐角中，求的范围．
答案：（1）
（2）（ⅰ）（ⅱ）
解析：
思路：（1）应用和角正弦公式展开，再由伴随向量的定义写出；
（2）（i）根据已知及辅助角公式得，，结合已知求得，，再由三角恒等变换、等面积法、基本不等式求的范围，即可得；（ii）根据已知及（i）得，应用正弦边角关系、三角恒等变换得且，利用余弦函数的性质求范围.
（1）由已知，所以；
（2）（i）根据题意，由知，，
利用辅助角公式得，其中，
不妨令为锐角，当时，取到最大值，即，
则，同理
由二倍角公式得：，
如图，由三角形面积可得：，
所以，
由余弦定理得，
因为，所以，
则，当且仅当时取等号.
（ii）由，结合（i），，
利用正弦定理边化角可得，其中，，
所以，
，
且，则，
所以，
由于三角形是锐角三角形，则，得，故，
所以，易知.