四川省双流中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省双流中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）试卷主要包含了 函数等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.开考前，请先将自己的姓名、准考证号、座位号涂写在试卷和答题卡上.
2.选择题部分请用 2B 铅笔填涂，非选择题部分用 0.5mm 黑色墨迹签字笔书写.
3.考试结束后，将试卷，答题卡，草稿纸一并交回.
4.不要折叠，污染答题卡，否则可能会影响网络评卷.
5.试卷和答案电子版将在所有考试结束后公布在班级群里.
一．单选题.（共 40 分）
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合 ，再根据集合的交集运算即可解出.
【详解】因为 ，所以 ，
故选：D.
2. 在 中， ， ，则 （ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由余弦定理结合已知条件可得 ，从而可得 ，又由 可知 为等
边三角形，从而可求出 的值
【详解】由余弦定理得： ，
又 ， ，
，
，
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，
．
故选：B．
【点睛】此题考查余弦定理的应用，属于基础题
3. 若复数 为纯虚数，则实数 的值为（ ）
A. 2 B. 2 或 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算作答.
【详解】因为复数 为纯虚数，则有 ，解得 ，
所以实数 的值为 .
故选：C
4. 已知 、 表示两条不同的直线， 、 表示两个不同的平面，则（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据各选项中的已知条件判断各选项中线线、线面、面面的位置关系，由此可得出合适的选项.
【详解】对于 A 选项，若 ， ，则 或 或 或 与 斜交，A 选项错误；
对于 B 选项，若 ， ，则 或 或 与 相交，B 选项错误；
对于 C 选项，若 ， ，则 ，C 选项正确；
对于 D 选项，若 ， ，则 与 平行或相交，D 选项错误.
故选：C.
5. 已知直线 的方向向量为 ，点 在 上，则点 到 的距离为（ ）
A. B. 4 C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】先求出向量 ，再计算 与 夹角的余弦值，进而得到正弦值，最后利用距离公式求出点 到
直线 的距离.
【详解】点 ，点 ，所以 . .
根据向量点积公式可得：
因为 ，所以：
且 ，
则点 到直线 的距离为 .
故选：C.
6. 若抛物线 y2=2px（p>0）的焦点是椭圆 的一个焦点，则 p=
A. 2 B. 3
C. 4 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于 的方程，即可解出 ，或者利用检验排除的方法，
如 时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除 A，同样可排除 B，C，故选 D．
【详解】因为抛物线 的焦点 是椭圆 的一个焦点，所以 ，
解得 ，故选 D．
【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．
7. 函数 （ ）的单调递增区间是（ ）
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A. B.
C. D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】求导可得 ，求 即可得解.
【详解】 （ ），
令 ，解得 ，
故 在 上单调递增，
故选：B．
8. 小 A 第一天吃巧乐兹的概率是 0.24，第一天喝雪碧的概率是 0.7，如果第一天吃巧乐兹，第二天喝雪碧的
概率是 0.98；如果第二天喝雪碧，第二天不吃巧乐兹的概率是 0.3，请问小 A连续两天吃巧乐兹的概率（
）
A. 0.16464 B. 0.15
C. 0.189993 D. 题目条件不足，无法求出最后答案
【答案】D
【解析】
【分析】分别用字母表示事件，根据条件概率及全概率公式分析求解.
【详解】记 表示第一天吃巧乐兹，则 ，
表示第一天喝雪碧，则 ，
表示第二天吃巧乐兹； 表示第二天不吃巧乐兹，
表示第二天喝雪碧.
则 ， ，
所以 .
连续两天吃巧乐兹=第一天吃巧乐兹且第二天也吃巧乐兹，
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由 ， ，所以只需求 .
在第一天吃巧乐兹的前提下，第二天分两种互斥情况：第二天喝雪碧、第二天不喝雪碧.
所以
已知 ， ，
,
但题目未给出条件概率 ，故无法完成计算.
二.多选题.（每道题 6 分，全选对得 6 分，选对但不全得部分分，有选错得 0 分，共 18 分）
9. 函数 的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ）
A. 的最小正周期为
B. 是 的最小值
C. 在区间 上的值域为
D. 把函数 的图象上所有点向右平移 个单位长度，可得到函数 的图象
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用图像过点 ，求得函数解析式为 ，利用正弦型函数的周期判断 A
；利用 可判断 B；利用正弦型函数的值域可判断 C；利用图像的平移可判断 D.
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【详解】函数 的图像过点 ，可得 ，
即 ，则 ，即 ，
所以函数解析式为
对于 A，函数的周期 ，故 A 正确；
对于 B， ，故 B 正确；
对于 C， ， ，利用正弦函数的性质知 ，可得
，故 C 错误；
对于 D，函数 的图象上所有点向右平移 个单位长度，可得到函数
的图象，故 D 正确；
故选：ABD
10. 一个袋子中有大小和质地相同的 4 个球，其中有 2 个红色球（标号为 1 和 2），2 个白色球（标号为 3 和
4），从袋中不放回地依次随机摸出 2 个球．设事件 “两个球颜色不同”， “两个球标号的和为奇数”，
“两个球标号都不小于 2”，则（ ）
A. A 与 B 互斥 B. A 与 C 相互独立
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析 A，由相互独立事件的定义分析 B，由古典概型的计算公式分析
C、D，综合可得答案．
【详解】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出 2 个球，则
，
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，
，
所以有 ，
，
对于 A， ，事件 A、B 可以同时发生，则 A、B 不互斥，A 错误；
对于 B， ，A、C 相互独立，B 正确；
对于 C， ，C 正确；
对于 D， ，D 错误．
故选：BC．
11. 已知 是直角三角形， 是直角，内角 、 、 所对的边分别为 、 、
，面积为 ，若 ， ， ， ，则（ ）
A. 是递增数列 B. 是递减数列
C. 存在最大项 D. 存在最小项
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意推出 ，从而说明 ，利用三角形面积公式推出 ，构造
数列从而求得 ，由此可判断 A,B 由 结合 可求得 、
，对数列 中的奇数项和偶数项构成的数列的单调性以及项的符号进行分析，确定数列
的最大项和最小项，可判断 CD.
【详解】由题意知： ，
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故 ，即 ，即 ，
所以 ，则 ，
故 ， ，
由 得： ，
即 ，所以 ，
则 ，而 ，
故 ，则 ，
所以 ，由于 随 的增大而减小，
故 是随 的增大而增大，
由题意知 ，故 是递增数列，故 A 正确；
同理 随 的增大而增大， 是递增数列，B 错误；
又 ，由于 ， ，且 ，
所以， 是首项为 ，公比为 的等比数列，故 ，
所以， ，
因为 ， ，故 ， ，
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所以， ，
所以， ，其中 ，
，其中 ，
因为数列 随着 的增大而减小，数列 随着 的增大
而增大，
故数列 随着 的增大而减小，故 为数列 中所有正项中最大的，
同理可知数列 随着 的增大而增大，故 为数列 中所有负项中最小的，
综上所述，数列 的最大项为 ，最小项为 ，CD 均对.
故选：ACD.
【点睛】本题综合考查了数列的单调性问题以及数列的最大项和最小项问题，综合性较强，难度较大，解
答时要结合几何知识，能熟练的应用数列的相关知识作答，关键是要注意构造新数列解决问题.
三.填空题.（共 15 分）
12. 曲线 ，如果是双曲线，需要满足的条件_____
【答案】
且
【解析】
【详解】根据双曲线的定义，需满足 且 ，
解得 且 .
13. 解方程 _____.
【答案】
或 ， （等价表示为 或 ， ）
【解析】
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【详解】由题意得 ，
可知 ，即 ， .
，
可知 或 ，
当 时， ， ，此时 ，符合条件；
当 时，因为 ，
所以 ，解得 ， ，
即 ， ，此时 ，符合条件.
综上所述， 或 ， .
14. 一个正方体的边长为 4，这个正方体能够放下________个半径为 1.2 的球
【答案】2
【解析】
【分析】证明沿着体对角线放球，放球的个数最多.
【详解】因为球的半径为 1.2，所以直径为 2.4，若沿着棱的方向放球，因为 ，
所以只能放一个；
若沿着体对角线的方向放球，则可以放两个球，两球球心 在 上，两球切点为 的中点 ，如
图（1），
则 .
过 作截面，得如图（2）平面图形，过 作 于 ，
则 ，所以 .
根据对称性可知沿着体对角线可以放两个半径为 1.2 的球.
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四.解答题.（共 77 分）
15. 已知
（1）求
（2）一个函数的一阶导函数和再次求导的函数能帮助我们确定什么？说说你的观点.
（小提示：本道题目若使用高等数学知识解答，你需要做简单说明；我们希望你用已有的知识尝试解答，
第二问一阶导函数和二阶导函数分别写 2 条你的发现即可，也可以写你在解决导数压轴题时什么时候会用
到二阶导，什么时候会用到一阶导，阅卷老师会综合作答质量进行评分）
【答案】（1） （ 为任意常数）；
当 时， （ 为任意常数），
当 时， （ 为任意常数，高中阶段默认 时可仅写前者）.
（2）一阶导数的 2 条核心作用：
1.判断函数单调性、求解单调区间：若 ，原函数 在区间上单调递增；
，原函数单调递减.
2.寻找原函数极值点、最值点： 令 得到驻点，结合左右导数符号变化，区分极大值点、极小值点；
再结合定义域区间，可求出函数在闭区间上的最大值与最小值.
应用：导数大题第一问求单调区间、证明不等式时，第一步一定求一阶导数判断增减性.
二阶导数的 2 条核心作用：
1.判断原函数的凹凸性，确定拐点 ，原函数图像下凸（凹函数）；
，原函数图像上凸（凸函数）；二阶导数变号的点就是凹凸性改变的拐点.
应用：不等式放缩、泰勒不等式证明、凹凸性偏移类压轴题，必须用二阶导数.
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2.研究一阶导数自身的单调性，解决隐零点问题 一阶导数式子复杂，无法直接解方程 时，
我们对一阶导数再次求导得到二阶导，研究 的增减，锁定一阶导数零点的范围，也就是隐零点法.
应用：高考导数压轴最难的隐零点题型，是二阶导数最典型的使用场景.
【解析】
【分析】（1）根据导数的公式及运算法则，利用导数的逆运算求解原函数；
（2）根据导数应用的相关结论分析.
【小问 1 详解】
（ 为任意常数）；
当 时， （ 为任意常数），
当 时， （ 为任意常数，高中阶段默认 时可仅写前者）.
【小问 2 详解】
一阶导数的 2 条核心作用：
1.判断函数单调性、求解单调区间：若 ，原函数 在区间上单调递增； ，原函数单
调递减.
2.寻找原函数极值点、最值点： 令 得到驻点，结合左右导数符号变化，区分极大值点、极小值点；
再结合定义域区间，可求出函数在闭区间上的最大值与最小值.
应用：导数大题第一问求单调区间、证明不等式时，第一步一定求一阶导数判断增减性.
二阶导数的 2 条核心作用：
1.判断原函数的凹凸性，确定拐点 ，原函数图像下凸（凹函数）；
，原函数图像上凸（凸函数）；二阶导数变号的点就是凹凸性改变的拐点.
应用：不等式放缩、泰勒不等式证明、凹凸性偏移类压轴题，必须用二阶导数.
2. 研究一阶导数自身的单调性，解决隐零点问题 一阶导数式子复杂，无法直接解方程 时，
我们对一阶导数再次求导得到二阶导，研究 的增减，锁定一阶导数零点的范围，也就是隐零点法.
应用：高考导数压轴最难的隐零点题型，是二阶导数最典型的使用场景.
16. 在 中，角 所对的边分别为 .已知
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（1）若 ， ，求 的面积；
（2）若 ，求 的周长的取值范围；
（3）若 为锐角三角形，且 ，求 的周长的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先由正弦定理并结合条件可得 ，再由三角形的面积公式可得；
（2）先由正弦定理将边化为 ， ，进而可得 ，再由 的范
围可得周长的范围；
（3）由（2）的分析得 ，再由锐角三角形得 ，进而可得三角形周长范围.
【小问 1 详解】
根据正弦定理，将等式 化为 ，
又 ，代入化简得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，结合 ，所以 .
又因为在 中， ， ， ，
由三角形面积公式得 .
因此 的面积为 .
【小问 2 详解】
由（1）分析知 ，且 ，由正弦定理 ，
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得 ， ，且 ， .
所以
，
由 ，得 ，故 .
所以三角形的周长 .
因此周长的取值范围为 .
【小问 3 详解】
因为 为锐角三角形，且 ，由（1）分析知 ，
由（2）分析得 ， ，且 ，
因为 为锐角三角形， .
所以
，
由 ，得 ，故 .
所以三角形的周长 .
因此周长的取值范围为 .
17. 如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ，
， 是线段 上的动点.
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（1）证明： ；
（2）若 是线段 的中点，求平面 与平面 夹角的余弦值；
（3）设直线 与平面 所成角为 ，求 的取值范围.
【答案】（1）由已知 ，得 ；
又因为 底面 ， 底面 ，故 ；
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，故 .
（2）
（3） 或不存在
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得 平面 ，再由线面垂直的定义可得；
（2）建立空间直角坐标系，通过解三角形得 ，再分别求两个平面的法向量，并用向
量法求两个平面的夹角可得；
（3）先设 ，再由向量法求得线面角 ，若 时，
， ，此时 的值不存在；若 时，由同角三角函数关系得
，再分 和 两种情况讨论，并结合函数
， 的单调性可得 的取值范围.
【小问 1 详解】
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略
【小问 2 详解】
因为 底面 ， 底面 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，因此 两两垂直.
因此以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图：
则 .
在 中， ， ，所以 为等边三角形，所以 .
又因为 ， ，所以 .
在 中， ， ， ，
所以 ， .
因此 ，因为 是 中点，故 .
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ， ，令 ，得 ，
所以平面 的法向量 .
设平面 的法向量为 ， ， ，
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则 ， ，令 ，则 ，
所以平面 的法向量 .
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 .
故平面 与平面 夹角的余弦值为 .
【小问 3 详解】
设 在 上，设 ，且 ，
得 ， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ， ，
令 ，则 ，所以 .
因为 ，平面 的法向量为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，因此 ，
若 ，则 ，得 ， ，解得 .
当 时， ，此时 ，所以 的值不存在；
当 时， ，此时 ，所以 ，
所以 ，
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得 ，
① 时， ，
因为函数 在 单调递减，且 ， ，
所以 ，因此得 ；
② 时， ，
因为函数 在 单调递增，且 ， ，
所以 ，因此得 .
综上所述，当 时， 的值不存在；当 时， .
因此 的取值范围是 或不存在.
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18. 硬币问题是概率学的一个有意思的问题，请根据所学，回答以下问题：
（1）如果做抛硬币实验 1000 次（假设硬币质地均匀，就是正常的硬币，没有其他因素干扰），发现 563 次
都是正面，能否说明抛出硬币正面的概率并不是 ，我们平时对此的储备知识有误？请结合你所学的知识，
说说你的看法.
（2）一个赌徒抛 20 次硬币都是正面（假设硬币质地均匀，就是正常的硬币，没有其他因素干扰），请问第
21 次硬币是正面的概率能否被计算？请说明理由.
（3）赌徒从两枚硬币中选一枚：A 币两面都是正面，B 币是公平币（抛出正面和反面概率均为 1/2）.赌徒
选了其中一枚，连抛 20 次全是正面，请问第 21 次是反面的概率？
【答案】（1）不能说明抛出硬币正面的概率不是 ，
因为抛硬币正面朝上的概率 是理论值， 是大量重复实验后频率的稳定值，
实际实验中，频率会因实验次数有限而围绕概率上下波动，具有随机性，
1000 次实验有 563 次正面，频率为 ，
与 的偏差在合理范围内，不能仅凭有限次实验结果否定理论概率
（2）第 21 次硬币是正面的概率能被计算，为 ，
因为硬币质地均匀，每次抛硬币的结果相互独立，
即前一次的结果不会影响下一次抛硬币的结果，
所以第 21 次硬币是正面的概率仍为 ，该概率可以通过理论计算得出
（3）第 21 次是反面的概率为
设事件 为连抛 20 次全是正面，选中 A 币为事件 ，选中 B 币为事件 ，
， ， ，
，
，
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第 21 次是反面的概率为 .
19. 函数性质研究是高中数学学习中非常重要的一环，我们可以通过已有的知识去推出新的结论.请回答下
面问题：
（1）将 向上、下、左、右分别平移 2 个单位，其平移后的函数解析式分别是什么？（请直接写出答
案）
（2）以（1）为基础，将函数 的图象绕原点 逆时针旋转 （ ），求 问 ：当 为______
时，旋转后的图象仍能表示为 的形式；当 为______时，旋转后的图象关于 轴对称．当
函数 按照 旋转后，再按照（1）的平移规律，试求出向上、下、左、右分别平移 个单
位后的表达式．
（3）（i）根据（1），（2）的探究过程，写出你发现的结论（写出 条不同方面的，只要合理即可，我们
鼓励不同、新奇的看法）．
（ii）探究小组小明在想：如果把函数 绕原点旋转任意角度，旋转后的表达式还能求出来吗？他查
阅资料得知：在平面直角坐标系中，将任意一点 绕原点 逆时针旋转 ，旋转后对应点记为
，有
请根据这个知识写出旋转后图象满足的方程，并说明什么时候能写成单一函数 的形式．
【答案】（1）向上平移 个单位： ；向下平移 个单位： ；向左平移 个单位：
；向右平移 个单位： ．
（2）① 或 ；② 或 ；③向上平移 个单位： ；向下平移 个单位： ；向
左平移 个单位： ；向右平移 个单位： ．
（3）（i）二次函数平移不改变开口方向和形状，仅改变顶点位置；二次函数旋转后是否仍能表示为
与旋转角有关；
（ii）旋转后的图象满足
当 ，即 （ ）时，旋转后的图象能写成单一函数 的形式；
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当 时，一般不能在整个定义范围内写成单一函数 的形式．
【解析】
【分析】（1）直接利用二次函数平移规律求解．
（2）旋转 或 后，图象仍是开口向上或向下的抛物线，能够写成 的形式，且关于 轴对称；
旋转 后得到 ，再按平移规律写出表达式．
（3）先由旋转公式反解原坐标，再代入原函数 ，得到旋转后的方程．
【小问 1 详解】
向上平移 个单位，得到 ；向下平移 个单位，得到 ；
向左平移 个单位，得到 ；向右平移 个单位，得到 ．
【小问 2 详解】
函数 绕原点旋转 时，仍为 ；绕原点旋转 时，图象变为 ．
这两种情况下，旋转后的图象均能写成 的形式，且均关于 轴对称．
当 按照旋转角 旋转后，得到 ．
再平移 个单位：向上平移 个单位，得到 ；
向下平移 个单位，得到 ；
向左平移 个单位，得到 ；
向右平移 个单位，得到 ．
【小问 3 详解】
（i）略
（ii）由旋转公式 反解得
因为原图象满足 ，所以旋转后的图象满足
当 ，即 时，上式可化为单一函数形式．
若 ，则 ；
若 ，则 ．
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当 时，上式关于 是二次方程，一般对应两个分支，因此整体上不能写成单一函数 的形
式．