四川省双流中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1.本试卷共8道单选题，3道多选题，3道填空题，5道解答题.
2.选择题部分用2B铅笔填涂，非选择题部分用0.5mm黑色墨迹签字笔书写.
3.考试结束后，将试卷，答题卡，草稿纸交回.
一、单项选择题.（共8题，每5题，共40分）
1. 的求导结果（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复合函数的求导法则求解.
【详解】.
2. 已知等比数列中，，，则等于（ ）
A. B. 4C. D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】由等比数列的性质可得，，即可得解.
【详解】设数列的公比为，
数列为等比数列，且，，
又，，.
故选：C.
【点睛】本题考查了等比数列通项公式和性质的应用，属于基础题.
3. 设是可导函数，且，则（ ）
A. 2B. C. -1D. -2
【答案】B
【解析】
【详解】
，即 .
4. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）

A. 有极大值B. 有极小值
C. 有极大值D. 有极小值
【答案】A
【解析】
【详解】由图可知，当时，，而，则；
当时，，而，则；
当时，，而，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则有极大值，无极小值.
5. 下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）中阴影三角形的个数为1，记为，图（2）中阴影三角形的个数为3，记为，以此类推，，，…，数列构成等比数列.设的前n项和为，若，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】依题意可得，再求出，即可得到方程，解得即可；
【详解】解：易知，所以，由，得，所以.
故选：C
6. 记为数列的前n项和.若，则（ ）
A. 有最大项，有最大项
B. 有最大项，有最小项
C. 有最小项，有最大项
D. 有最小项，有最小项
【答案】A
【解析】
【分析】利用二次函数的性质可判断得有最大项，再分析的正负情况可判断得有最大项，从而得解.
【详解】根据题意，，
对于二次函数，，其开口向下，对称轴为，
则当时，取得最大值，
所以当时，有最大值为16，所以有最大项.
又由可解得，
则当时，，当时，，当时，，
所以当或8时，最大，
则有最大项，有最大项.
故选：A.
7. 定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，利用导数研究单调性，比较函数值的大小.
【详解】由，得．
设函数，则，
所以在上单调递减，从而，
即，即．
8. 已知函数在内不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由于函数在不是单调函数，则在内存在极值点，求导即可得结果．
【详解】由于函数在不是单调函数，
则在内存在极值点，所以在内有解，
即在内有解，
．
故选：D
二、多选题.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分）
9. 下面正确的是（ ）
A. 在等比数列中，若，，则
B. 等差数列的前项和为，且，则的最大值为
C. 在等差数列中，若，，则
D. 在等比数列中，若，，则
【答案】AB
【解析】
【分析】由等比中项的性质可得A正确；由等差数列的性质可得B正确；由等差的性质可得C错误；由等比数列下标的性质可得D错误；
【详解】对于A，因为为等比数列，所以，故A正确；
对于B，因为，，而，
所以的最大值为，故B正确；
对于C，因为为等差数列，所以，
所以，故C错误；
对于D，因为为等比数列，所以，故D错误；
故选：AB.
10. 已知，且，则（ ）
A. 存在，使得
B. 对任意，都有
C. 对任意，都存在，使得
D. 若过点可以作曲线的两条切线，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出，结合可解出，即有的解析式，
对A，根据单调性与的符号即可判断；
对B，根据单调性，得出函数凹凸性，即可判断；
对C，为割线斜率，根据单调性，可知上是否存在平行于割线的切线，则有，即可判断；
对D，设函数的切线方程，代入可得，此时有两条切线等价于方程有两个互异实根，令，讨论的单调性、最值，即可判断的范围.
【详解】，故，，，
再由，可得，，故，
，故在上单调递增，
对A，在上单调递增且，故不存在，使得，A错；
对B，，在上单调递增，故在上增加得越来越快，图像下凸，故对任意，都有，B对；
对C，由上得，图像下凸，故图像上任意一条割线AB，必存在与AB平行，切点为的切线，此时，即，故C对；
对D，设切点为，则切线方程为，将代入得：，要有两条切线，则方程有两个互异实根，
令，则，则当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，故，
当时，；当时，，
故只需，即可使有两个互异实根，故D对.
故选：BCD
11. 定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数的极大值点和极小值点分别为，且有，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 方程有三个根
C. 若关于的方程在区间上有两解，则或
D. 若函数在区间上有最大值，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】依题意可得的对称中心为，即可得到，从而求出、的值，再利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，即可画出函数图象，最后根据图象一一分析即可.
【详解】对于三次函数，则，，
若，令，则（、为的两根，为三次函数的两个极值点），
令，则，所以，
依题意的极大值点和极小值点分别为，且有，
所以的对称中心为，
对于A，由，可得，，
所以，即，解得，故A正确；
对于B，因为，，
当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
则的图象如下所示：

由图可知与有且仅有个交点，所以方程有三个根，故B正确；
对于C，又，若关于的方程在区间上有两解，
即与在区间上有两个交点，则，故C错误；
对于D，由，
若函数在区间上有最大值，则，解得，即，故D正确.
故选：ABD
三、填空题.（15分）
12. 已知数列的通项公式为，则_________.
【答案】18
【解析】
【分析】将4代入通项公式，即得.
【详解】因为，所以.
13. 函数过的切线方程为_______________．
【答案】或
【解析】
【分析】分点是切点和点不是切点两种情况讨论，再分别求出这两种情况时的切线的斜率即可求出对应的切线方程．
【详解】由，
又，则点在函数的图象上，
又，
当是切点时，切线的斜率为，
此时函数的切线为，即；
当不是切点时，设切点为，，
则切线的斜率为，
整理得，解得，或（舍去），
则切线的斜率，
此时函数的切线为，即．
综上，切线方程为或．
14. ，当时，的极值点个数_________；当不确定的时候，的极小值点个数可能为_________.
【答案】 ①. 0 ②. 0
【解析】
【分析】根据极值点与导数的关系确定．
【详解】不论为何值，恒成立，
所以单调递增，无极值，当时，极值点个数为0，当不确定的时候，的极小值点个数也为0.
四、解答题.（77分）
15. 已知数列的前项和为，其中为常数，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若是等差数列，求和的取值范围，然后求出这个等差数列公差．
【答案】（1）
（2）可以是任何实数，，
【解析】
【分析】（1）利用与分段求通项，区分和两种情况求出；
（2）已知是等差数列，利用公差的性质，解出参数条件，同时得到公差表达式即可．
【小问1详解】
数列通项与前项和的关系是，
当时，代入题设相减，
对于，，
综上可得，．
【小问2详解】
对于，此时是等差数列，
公差为，
此时需要保证第一项和后面的项，构成等差数列，
因此，计算后得，
故可以是任何实数．
16. 已知.
（1）求；
（2）讨论的单调性，直接写出答案，不用写出过程；
（3）求在上可能的极值点个数.（用含的式子表示，写出最后答案即可）
【答案】（1）
（2）若增区间，减区间；若，增区间，减区间；，无单调性
（3）（表示为向下取整数.）
【解析】
【分析】小问（1）直接运用复合函数求导公式求解；小问（2）运用小问（1）的求导结果对进行讨论；小问（3）运用极值点与导数的关系将的值与题目要求的定义域内进行求解.
【小问1详解】
因为，所以，
【小问2详解】
由（1）可知，故对讨论，
当时，为常数函数，不单调;
当时, ，则单调递增，
即，则，
故；
，则单调递减，
即，则，
故；
当时, ，则单调递增，
即，则，
故；
，则单调递减，
即，则，
故；
【小问3详解】
由（1）可知，
极值点要满足，即，
得，解得，
当时，为常数函数，无极值点；
当时，当时，，
故讨论即可，因为，故，
解得，故极值点的个数为（向下取整）
17. 已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用已知条件建立等量关系式求出数列的通项公式．
（2）结合题意利用分组求和法与错位相减法求和即可.
【小问1详解】
由题意，设等差数列的公差为，
等比数列的公比为，，则 解得，
所以数列的通项公式，的通项公式为.
【小问2详解】
由题意得，
则数列的前项和
，
设，
则，
则
，
所以，所以.
18. 有一不等式：，.
（1）能否给出两个区间，使得“且”与“，”互为充要条件?说明理由.(注意均为非空开区间)
（2）求的最大值；
（3）当，对于所有整数都有吗?请说明理由.
【答案】（1）不能，理由如下：当可得，由可得，这两个投影范围可以求出，但与之间存在约束条件；例如虽然满足投影范围，但不满足原不等式(例如取)，因此可行域不是矩形区域.故不存在独立的范围.
（2）
（3）令，需要验证，对于任意整数均有;
当时，，成立；当，，成立
当令
则，则故对所有
均成立；当左边，故不等式成立
综上，对于所有整数均成立.
【解析】
【分析】（1）通过举出反例说明结果；
（2）将问题化成两方程的公共点问题，并将化成函数，求这个函数的最大值问题；
（3）将a与b的值代入，并对x分类讨论进行求解.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
若直线与曲线没有公共点，那么恒成立，
因在时有最小值，可适当向上平移直线仍然使得不等式成立，
从而会更大，故最大值时直线与曲线必有公共点，但是不能相交，
设直线与曲线切于，则：
则，令，
，当时，，
当时，，
当时，，
故当时，取最大值，.
【小问3详解】
略
19. 设，已知定义在上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．
（1）求；
（2）求的单调区间；
（3）设，函数，求证：．
【答案】（1）
（2）单调递增区间是，，单调递减区间是
（3）证明：由，
得，，
令函数，则，
由（1）知，当时，，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
因此，当时，，得，即，
令函数，则，
由（1）知，在上单调递增，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
因此，当时，，即，
所以．
【解析】
【分析】（1）根据导数的运算规则求导；
（2）利用导数判断函数单调性；
（3）分别把、构成两个单变量函数，通过导数分析单调性、极值，结合零点条件确定函数符号，最终得出乘积小于0．
【小问1详解】
由，可得，
进而可得．
【小问2详解】
，解得或，
当x变化时，，的变化情况如下表：
所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是．
【小问3详解】x
+
－
+
↗
↘
↗