四川省双流中学2025-2026学年高三下学期模拟考试（二）数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省双流中学2025-2026学年高三下学期模拟考试（二）数学试卷（Word版附解析），共6页。试卷主要包含了 已知数列是等差数列，，则， 已知随机变量的分布列为， 已知函数，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1. 开考前，请先将自己的姓名、准考证号、座位号涂写在答题卡上.
2. 选择题部分用2B铅笔填涂、非选择题部分用0.5mm黑色墨迹签字笔书写.
3. 考试结束后、将答题卡交回即可.
4. 在最后几天的时间里，请同学们沉住气！加油！
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，求解即可.
【详解】根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，
即.
故选：C.
2. （ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的四则运算求解即可.
【详解】
故选：C.
3. 正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A. B. 3C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：B.
4. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 直线是图象的一条对称轴
C. 图象的对称中心为D. 将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象
【答案】C
【解析】
【分析】利用图象求得的解析式，再结合三角函数的对称轴，对称中心，以及图象变换与解析式的关系，对选项进行逐一分析和判断即可.
【详解】由图可知，的最大值为，又，故；
又，故，又，故，
则；
根据，可得，
则，
又，故当时，满足题意，则；
对A：，故A错误；
对B：令，解得，
令，解得，故B错误；
对C：令，解得，故图象的对称中心为，C正确；
对D：将的图象向左平移个单位长度后，
则得到图象对应的函数为，故D错误；
故选：C.
5. 过直线上的点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线关于直线对称，则直线与直线垂直，再联立直线与直线即可求解.
【详解】圆的圆心为，半径为,
因为直线关于直线对称，
则直线与直线垂直，
所以直线的方程为，即，
由解得，，
所以点的坐标为.
故选：D.
6. 已知数列是等差数列，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可.
【详解】由，得，设，为非零实数，则，
因为数列是等差数列，
所以，…，是以为首项，为公差的等差数列，
所以，解得，
所以，
故选：A
7. 已知随机变量的分布列为
当在上变化时，的数学期望的变化情况为（ ）
A. 单调递增B. 先减后增
C. 单调递减D. 先增后减
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定的分布列求出的数学期望，再结合二次函数的性质逐项判断作答.
【详解】依题意，，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以的数学期望是先增后减.
故选：D
8. 已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】不等式为(*)，
当时，(*)式即为，，
又（时取等号），
（时取等号），
所以，
当时，(*)式为，，
又（当时取等号），
（当时取等号），
所以，
综上．故选A．
【考点】不等式、恒成立问题
【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分）
9. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上，且，则（ ）
A.
B. 点到直线的距离为
C. 的面积为
D. 直线与仅有一个公共点
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根据抛物线焦点与准线的位置关系，由求出的值，确定抛物线方程及的坐标；设出点的坐标，结合与抛物线方程，求解的坐标；逐一验证各选项：计算点到准线的距离判断B，计算的面积判断C，联立直线与抛物线方程，通过判别式判断D.
【详解】抛物线的焦点，
准线，准线与轴交点.
，故，A选项正确.
点到直线的距离，故B错误.
抛物线方程为，，.
设，由，得，
解得，，即.
中，，到轴的距离为，
面积，故C正确.
取，，直线的斜率，方程为.
联立，得，即，，
故直线与抛物线仅有一个公共点，由对称性，取时结论一致.
所以D正确.
10. 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 若为奇函数，则
B. 的图象关于直线对称
C. 若，则的单调递增区间为
D. 当时，在上单调递增
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，求定义域，根据奇函数性质求出；B选项，计算出，B正确；C选项，，解不等式求出单调递增区间；D选项，求导，得到，其中，解不等式求出单调递增区间.
【详解】A选项，的定义域为，
若为奇函数，则，解得，A错误．
B选项，，
所以的图象关于直线对称，B正确．
C选项，若，则．
令，解得，
所以的单调递增区间为，C正确．
D选项，
，
当时，，故．
令，即，解得，
所以的单调递增区间为，D正确．
故选：BCD
11. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．他在1261年所著的《详解九章算法》给出图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示．杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．根据以上材料，则下列说法正确的是（ ）

A. 第10行所有数字的和等于1024
B. 第10行所有数字的平方和等于
C. 若第n行的第i个数记为，则
D. 记每一行的第个数组成的数列称为第k斜列，该三角形数阵前2024行中第k斜列各项之和为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据杨辉三角对应的题图分析，结合二项式定理、组合数的性质及运算判断各项的正误即可.
【详解】对于A，由图分析知，杨辉三角的第n行是的展开式中二项式系数，，
所以，第10行所以数字的和为，A对；
对于B，由，则，
所以，对于含项，左侧为，右侧为，
所以，第10行所有数字的平方和，B对；
对于C，第行的第个数为，则，故，C对；
对于D，由，
所以，三角形数阵前2024行中第k斜列各项之和为，
时，三角形数阵前2024行中第1斜列各项之和为2024，而，
综上，时三角形数阵前2024行中第k斜列各项之和为，D错.
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，满足，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
13. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________．
【答案】##
【解析】
【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解.
【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，

因为，
则，
故，则，
所以所求体积为.
故答案为：.
14. 曲线与曲线公切线（切线相同）的条数为_____________．
【答案】1
【解析】
【分析】由已知，分别根据两函数的解析式，设出切点写出共切线方程，然后利用待定系数法找到与之间的关系，消掉得到一个关于的函数关系，然后设出函数，利用导数研究函数的单调性和零点即可完成求解.
【详解】由已知，的导数为，的导数为，
设公切线在函数切点为（），函数的切点为，
则切线为，，两切线相同，
则有，消去，整理得，
记，则，
当时，，递减，
且，，
因此在上只有一解，即方程只有一解，
因此所求公切线只有一条．
故答案为：1.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列中，，且，，依次成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若，求的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
(1)由求出公差，由等比数列的性质求出，即可得出数列的通项公式；
(2)由(1)得出数列的通项公式，利用裂项求和法求解即可.
【详解】解：（1）设数列的公差为，
因为，所以，解得
因为，，依次成等比数列，所以，
即，解得
所以.
（2）由（1）知，
所以，
所以，
由，
得
【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用裂项求和法求数列的和，属于中档题.
16. 已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.
【解析】
【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；
（2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.
【详解】（1）当时，，，
令，解得，令，解得，
所以的减区间为，增区间为；
（2）若有两个零点，即有两个解，
从方程可知，不成立，即有两个解，
令，则有，
令，解得，令，解得或，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
且当时，，
而时，，当时，，
所以当有两个解时，有，
所以满足条件的的取值范围是：.
【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线和直线有两个交点，利用过点的曲线的切线斜率，结合图形求得结果.
17. 如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体 ，如图．
1若，证明：平面；
2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】1由正方形的性质推导出，结合，可得平面，由此，再由，能证明平面；2过作交于点，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，可得，利用向量垂直数量积为零求出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出结果．
【详解】1由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，，
由已知得，，平面
又平面BDE，，
又，，平面
2在图2中，，，，即面DEFC，
在梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE，
由题意得，，由勾股定理可得，则，，
过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，
以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
．
设平面ACD的一个法向量为，
由得,取得，
设，则m，，，得
设CP与平面ACD所成的角为，
．
所以
【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，以及空间向量的应用，是中档题．空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
18. 设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线（，），与轴交于点、与交于点，、分别是曲线与线段上的动点.
（1）用表示点到点的距离；
（2）设，，线段的中点在直线上，求的面积；
（3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据抛物线性质，即可求出点到点的距离；
（2）根据题意得到点的坐标，即可得到线段的中点的坐标，从而得到直线方程，再联立抛物线和直线方程即可得到点的坐标，进而即可求出的面积；
（3）设，分和两种情况讨论，通过在矩形中，，，当，求出点的坐标，并判断是否在上；当时，要使得点在上，设，并代入以上条件计算，看是否能求出的值，进而即可得出结论.
【小问1详解】
由曲线的焦点线，准线为，
所以根据抛物线性质，点到点的距离.
【小问2详解】
当时，得，，
由，则，即，
所以线段的中点为，
又，所以直线方程为，
联立，整理得，解得，或（舍去），
所以的面积.
.
【小问3详解】
存在，已知，设，，
①若，则，
因为在矩形中，，，
所以，，
又不在曲线上，则此情况不成立；
②若，则PF的斜率，
因为在矩形中，，则，得，
所以直线QF为，
当时，Q点纵坐标，得，
所以，，
因为在矩形中，，
设，则，
所以，得到，
要使得点在上，则将代入，
得到，解得，
又，得，即.
.
19. 现有一批产品，每件产品是否合格相互独立，每件产品合格的概率均为p．在某次抽样中，经统计抽取的100件产品中，恰有98件合格品．
（1）以频率估计概率，若从该批产品中再抽取10件，记合格品的数量为X，求X的期望；
（2）在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取值．设X为与未知参数m有关的离散型随机变量，其中m的取值范围为S．若对已知结果，存在，且对任意，有成立，则称为m的一个极大似然估计值．
①请根据此次抽样，求p的极大似然估计值．
②在实际操作中往往采用多次独立抽样来求参数的极大似然估计值，现对该批产品进行m次独立抽样，每次从中抽取n个产品，记录合格品数分别对应为，，…，，请根据这m次独立抽样结果，求p的极大似然估计值．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据二项分布的期望公式即可得到答案；
（2）①记合格品的数量为X，则，设，求导，根据导数研究单调性和最值，即可得到答案；
②．两边同时取自然对数并整理得：令，求导，根据导数研究单调性和最值，即可得到答案.
【小问1详解】
估计合格率，则，；
【小问2详解】
①从这批产品中抽取100件产品，记合格品的数量为X，则，
所以，设，
，
因为，当时，在上位单调递增函数；
当时，在上位单调递减函数，
所以当时，有最大值，即p的极大似然估计值为．
②，则，，2，3，…，m
设：．
两边同时取自然对数并整理得：
，
令，
，
，时，，此时单调递增，
时，，此时单调递减，．
所以时，最大，此时取得最大值．
因此，p的极大似然估计值为．
1
2
3
6