四川省双流中学2026届高三上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省双流中学2026届高三上学期期中考试数学试卷（Word版附解析），文件包含四川省双流中学2026届高三上学期期中考试数学试题Word版含解析docx、四川省双流中学2026届高三上学期期中考试数学试题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
测试时长：120 分钟 满分：150 分
一､单选题.（共 40 分）
1. 已知命题 ： ， ，那么 是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】由特称命题的否定，直接判断得出答案.
【详解】解：已知命题 ： ， ，
则 为： ， .
故选：B.
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合 ，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为 ，而 ，
所以 ．
故选：C．
方法二：因为 ，将 代入不等式 ，只有 使不等式成立，所
以 ．
故选：C．
第 1页/共 16页
3. 复数 ，则 z 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算，化简复数 ，进而可求虚部.
【详解】 ，
故 的虚部为 ，
故选：B
4. 在锐角三角形 中， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理即可求解.
【详解】解：在锐角三角形 中， ，由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，且 ，故 .
故选：A.
5. 已知空间中三点 ，则点 到直线 的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间中点到直线的距离的向量公式求解.
【详解】因为
依题意得 ， ，
第 2页/共 16页
则点 到直线 的距离为 .
故选：A.
6. 圆 上到直线 的距离为 的点共有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】
求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.
【详解】圆 可变为 ，
圆心为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离 ，
圆上到直线的距离为 的点共有 个.
故选：C.
【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.
7. 已知数列 满足 ，且 ，则数列 的前 50 项和为（ ）
A. 24 B. 26 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据递推公式求解数列的周期性，由周期性即可求解.
【详解】数列 满足 ， ，
可得 ， ， ，⋯，
所以 ，所以数列 的前 50 项和为：
第 3页/共 16页
．
故选：C．
8. 已知定义在 上的函数 的导数为 ， ，且对任意的 满足 ，则不
等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构建 ，根据题意分析可知 在 上单调递减，结合函数单调性解不等式.
【详解】构建 ，则 ，
因为 ，则 ，即 ，
可知 在 上单调递减，且 ，
由 可得 ，即 ，解得 ，
所以不等式 的解集是 .
故选：A．
点睛】关键点点睛：根据 构建 ，进而利用导数判断函数单调性，结
合单调性解不等式.
二､多选题.（共 18 分）
9. [多选题]已知函数 的最小正周期为 ，则该函数的图象（ ）
A. 关于点 对称 B. 关于直线 对称
C. 关于点 对称 D. 关于直线 对称
第 4页/共 16页
【答案】AD
【解析】
【分析】根据周期可计算出 的值，然后根据余弦型函数的对称中心和对称轴对应的函数值的特点判断各
选项的正误．
【详解】由已知可得 ，所以 ．
因为 ，所以 是对称中心，A 正确．
因为 ，所以直线 不是对称轴，B 错误．
因为 ，所以 不是对称中心，C 错误．
因为 ，所以直线 对称轴，D 正确，
故选 AD．
10. 下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A 选项，利用组合数连乘式计算即可；对于 B、C 选项，利用组合数的性质
计算；对于 D 选项，利用二项式定理即可求解所给式子.
【详解】对于 A 选项， ，
，所以 ，则 A 选项正确；
对于 B 选项，
，则 B 选项错误；
第 5页/共 16页
对于 C 选项， ，则 C 选项正确；
对于 D 选项， ，则 D 选项正确,
故选：ACD.
11. 已知函数 是奇函数，对于任意的 满足 （其中 是
函数 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】构造函数 ，其中 ，结合奇偶性的定义判断奇偶性，利用导数判断函数
在 的单调性，然后利用函数 的单调性判断出各选项的正误.
【详解】构造函数 ，其中 ，则 ，
因为对于任意的 满足
当 时， ，则函数 在 上单调递增，
又函数 是奇函数，
所以 ，所以 在 上为偶函数，
所以函数 在 上单调递减，
第 6页/共 16页
，则 ，即 ，即 ，
化简得 ，A 选项错误；
同理可知 ，即 ，即 ，
化简得 ，B 选项正确；
，且 即 ，即 ，
化简得 ，C 选项正确，
，且 即 ，即 ，
化简得 ，D 选项错误，
故选：BC
【点睛】本题考查利用函数的单调性判断函数不等式是否成立，解题时要根据导数不等式的结构构造合适
的函数，利用函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
三､填空题.（15 分）
12. 函数 的定义域为__________.
【答案】
第 7页/共 16页
【解析】
【分析】由解析式可得 ，求解即可.
【详解】由题意可得 ,故 ，即 .
故函数 的定义域为 .
故答案为: .
13. 将一钢球放入底面半径为 的圆柱形玻璃容器中，水面升高 ，则钢球的半径是______ .
【答案】3
【解析】
【分析】
设球的半径为 cm，由球的体积 等于水面升高的体积，即可列方程求钢球半径.
【详解】由题意知：水面升高的体积等于钢球的体积，设钢球的半径为 cm，则：
，解得： ，
故答案为：3
14. 已知函数 ， ，若关于 的不等式 有解，则 的最小
值是__________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】参变分离可得 有解，令 ， ，利用导数求出
，即可求出参数的取值范围，从而得解.
【详解】由 得 ，显然 ，
第 8页/共 16页
所以 有解，
令 ，则 ，
令 ，则 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ，则 ，即 的最小值是 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到 有解，再构造函数，利用导
数求出 .
四､解答题.（77 分）
15. 记 是公差不为 0 的等差数列 的前 n 项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的 n 的最小值．
【答案】(1) ；(2)7.
【解析】
【分析】(1)由题意首先求得 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前 n 项和 表达式，然后求解二次不等式即可确定 n 的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不 零，故： ，
数列的通项公式为： .
第 9页/共 16页
(2)由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，
解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为 .
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数
列的有关公式并能灵活运用.
16. 如图，边长为 的菱形 中， ， 分别为 的中点，沿 将 折起，
使得平面 平面 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）在棱 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成的角最大？若存在，求 的长度，若
不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）存在； 的长度为 .
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质可得 平面 ，由面面垂直的判定可得结论；
（2）以 为坐标原点可建立空间直角坐标系，设 ，利用线面角的向量求
法可得 ，可知当 时， 最大，此时 最大，由此可得 .
【小问 1 详解】
证明：在菱形 中， ， 为 的中点， ，
平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ， 平面 平面 ．
第 10页/共 16页
【小问 2 详解】
由（1）知： 两两互相垂直，则以 为坐标原点，射线 分别为 轴，建立如图
所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
，设 ，
， ，
轴 平面 ， 平面 的一个法向量 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
， 当 时， 取得最小值， 取得最大值 ，
又 在 上单调递增， 当 时， 取得最大值，
此时 ，即 的长度为 ．
17. 某企业因技术升级，决定从 2023 年起实行新的绩效方案.方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满
意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有三个除颜色外完全相同的小球，其中 1 个黑球，2 个白球.企业所有员工从袋子中有放回地
随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式 I 回答问卷，否则按方式 II 回答
第 11页/共 16页
问卷”.
方式 I：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“ ”，否则画“ ”；
方式 II：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“ ”，否则画“ ”.
当所有员工完成问卷调查后，统计画 ，画 的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工
对新绩效方案的满意度的估计值.其中，
（1）若该企业某部门有 9 名员工，用 表示其中按方式 I 回答问卷的人数，求 的数学期望；
（2）若该企业的所有调查问卷中，画“ ”与画“ ”的比例为 ，试估计该企业员工对新绩效方案的满意
度.
【答案】（1）4 （2） .
【解析】
【分析】（1）根据题意分析可得方式 I 回答问卷的人数 ，利用二项分布的期望的公式运算求
解；
（2）根据题意结合条件概率公式和全概率公式运算求解．
【小问 1 详解】
每次摸到白球的概率 ，摸到黑球的概率为 ，
每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率 .
则该部门 9 名员工中按方式 I 回答问卷的人数 ，
所以 的数学期望 ．
【小问 2 详解】
记事件 为“按方式 I 回答问卷”，事件 为“按方式 II 回答问卷”，事件 为“在问卷中画○”．
由（1）知 ， ， ．
∵ ，
第 12页/共 16页
由全概率公式 ，
则 ，解得 ，
故根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为 ．
18. 已知椭圆 的离心率是 ，点 在 上．
（1）求 的方程；
（2）过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的
中点为定点．
【答案】（1）
（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据题意列式求解 ，进而可得结果；
（2）设直线 的方程，进而可求点 的坐标，结合韦达定理验证 为定值即可.
【小问 1 详解】
由题意可得 ，解得 ，
所以椭圆方程为 .
【小问 2 详解】
由题意可知：直线 的斜率存在，设 ，
联立方程 ，消去 y 得： ，
则 ，解得 ，
第 13页/共 16页
可得 ，
因为 ，则直线 ，
令 ，解得 ，即 ,
同理可得 ，
则
，
所以线段 的中点是定点 .
【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；
也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
第 14页/共 16页
19. 已知函数 .
（1）当 时，判断函数 的单调性；
（2）已知 对任意 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）在 上单调递增；（2） .
【解析】
【分析】（1）先由 得 ，对其求导，根据导数的方法即可判断出函数单调性；
（2）先由题中条件，将不等式化为 恒成立，令
，对其求导，根据导数的方法求出其最小值，即可得出结果.
【详解】（1）当 时，
在 上单调递增
（2） 等价于 ，
所以 ，
令 ，
则 ，
令 ，则
在 上单调递增，
又 ，
时， ，即 ， 单调递减；
第 15页/共 16页
时， ，即 ， 单调递增；
，
.
【点睛】思路点睛：
由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造
函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构造函数，根据导数
的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.
第 16页/共 16页