第45讲 抛物线及其性质（精讲）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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题型目录一览
一、知识点梳理
一、抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
二、抛物线的方程、图形及性质
三、抛物线的其他性质
1.点与抛物线的关系
（1）在抛物线内（含焦点）．
（2）在抛物线上．
（3）在抛物线外．
2.焦半径：抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．
3.的几何意义：为焦点到准线的距离
4.焦点弦：①若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）． （2）．
②焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．
5.抛物线的弦
若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则
（1）弦长公式：
（2）
（3）直线AB的方程为
（4）线段AB的垂直平分线方程为
【常用结论】
1.切线方程和切点弦方程
抛物线的切线方程为，为切点
切点弦方程为，点在抛物线外
与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．
2.抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．
对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．
3.弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：
4.焦点弦的常考性质
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2），
（3）；
（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
二、题型分类精讲
题型一 抛物线的定义及焦半径公式的应用
策略方法 抛物线定义的应用
(1)利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋eq \f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq \f(p,2)．
【典例1】（单选题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为3，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【典例2】（单选题）O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．8
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考模拟预测）已知抛物线上的点到其焦点的距离为4，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2023·江西·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（ ）
A．4B．C．D．3
3．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，是C上一点，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2023秋·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习）已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（2023·吉林长春·统考模拟预测）已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（ ）
A．B．1C．D．2
6．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）若抛物线（）上一点到焦点的距离是，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023秋·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
8．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．
9．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东方红大桥、涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的拱顶可近似地看作抛物线的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为（ ）
A．6B．C．D．
10．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A，B两点，且，则（ ）
A．2B．C．D．4
11．（2023·海南·海南中学校考模拟预测）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和距离之和的最小值是（ ）
A．B．2C．D．3
12．（2023秋·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（ ）．
A．13B．12C．10D．8
13．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）若是抛物线的焦点，是抛物线上任意一点，的最小值为1，且是抛物线上两点，线段的中点到轴的距离为， 则（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，，是C上两点，若则（ ）
A．B．C．D．2
15．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，则的最小值是（ ）
A．10B．9C．8D．5
16．（2023春·内蒙古赤峰·高三校考阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C的准线与坐标轴相交于点P，点，且的面积为2，若Q是抛物线C上一点，则周长的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
17．（2023秋·陕西西安·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点在C的内部，若点B是抛物线C上的一个动点，且周长的最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
18．（2023·河南·校联考二模）设F为抛物线的焦点，点M在C上，点N在准线l上，且平行于x轴，准线l与x轴的交点为E，若，则梯形的面积为（ ）
A．12B．6C．D．
19．（2023秋·广东江门·高三校联考阶段练习）已知圆与轴相交于E，F两点，与抛物线相交于A，B两点，若抛物线的焦点为，直线与抛物线的另一个交点为，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
20．（2023秋·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
二、多选题
21．（2023·河北·校联考模拟预测）若抛物线上一点到焦点的距离是它到直线的距离的8倍，则该抛物线的焦点到准线的距离可以为（ ）
A．B．C．D．
22．（2023·全国·高三专题练习）（多选）抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标为（ ）
A．(3，2)B．(3，－2)
C．(－3，2)D．(－3，－2)
23．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若，则（ ）
A．B．
C．D．
24．（2023秋·广东肇庆·高三德庆县香山中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为为上一点，则下列命题或结论正确的是（ ）
A．若与轴垂直，则
B．若点的横坐标为2，则
C．以为直径的圆与轴相切
D．的最小值为2
三、填空题
25．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）设为抛物线的焦点，点在上，过作轴的垂线，垂足为，若，则 .
26．（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）已知抛物线上一点到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则 ．
27．（2023·全国·高三专题练习）设P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与点P到直线的距离之和的最小值为 ．
28．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线，过其焦点F的直线l与其交与A、B两点，，其准线方程为 ．
29．（2023春·河北承德·高三兴隆县第一中学校考阶段练习）已知点，过抛物线．上一点P作的垂线，垂足为B，若，则 ．
30．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于不同的两点，.若，则 .
31．（2023·河南·校联考模拟预测）已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为，准线与轴交于点，且，则 .
32．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若，则
33．（2023秋·上海普陀·高三上海市宜川中学校考阶段练习）为抛物线上一点，其中，F为抛物线焦点，直线l方程为，，H为垂足，则 ．
34．（2023秋·河南·高三校联考开学考试）抛物线焦点为，准线上有点是抛物线上一点，为等边三角形，则点坐标为 ．
35．（2023·广西柳州·统考模拟预测）抛物线的焦点为，准线为，,是抛物线上的两个动点，且满足.设线段的中点在上的投影为，则的最大值是 .
36．（2023·福建厦门·厦门一中校考三模）已知点，关于坐标原点对称，，过点，且与直线相切，若存在定点，使得当运动时，为定值，则点的坐标为 .
37．（2023·全国·高三专题练习）已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为 ．
38．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知抛物线的焦点为，过作抛物线的切线，切点为，，则抛物线上的动点到直线的距离与到轴的距离之和的最小值为 ．
题型二 抛物线的标准方程
策略方法 求抛物线标准方程的方法
(1)先定位：根据焦点或准线的位置．
(2)再定形：即根据条件求p．
【典例1】求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)顶点在原点，准线方程为；
(2)顶点在原点，且过点；
(3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上；
(4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的准线方程为，则该拋物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，则此抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）抛物线的焦点关于其准线对称的点为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·新疆·统考三模）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·吉林白山·统考模拟预测）若抛物线的焦点到准线的距离为3，且的开口朝左，则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·河南·襄城高中校联考三模）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（ ）

A．B．C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知为抛物线上第一象限的一点，以点B为圆心且半径为12的圆经过C的焦点F，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知拋物线C：焦点为F，准线为l，点在C上，直线AF与l交于点B，则（ ）
A．1B．C．D．2
9．（2023·全国·高三专题练习）设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若，，则抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知是抛物线的准线，为的焦点，分别为和上的两点，与轴交于点，且四边形的面积为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·全国·高三专题练习）抛物线的焦点是F，点A是该抛物线上一点，O是坐标原点，的外接圆的圆心在C上，且该圆周长等于，则p的值是（ ）
A．6B．4C．3D．2
13．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点．以为直径的圆与双曲线的右支交于P点，且以为直径的圆与直线相切，若，若双曲线C与抛物线有共同的右焦点，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
14．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知抛物线与直线有公共点，则的值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
16．（2023秋·江苏连云港·高三校联考阶段练习）设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则抛物线C的方程为（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·全国·高三专题练习）阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.其中给出了抛物线一条经典的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.此性质可以解决线段和的最值问题，已知抛物线，是抛物线上的动点，焦点，，下列说法正确的是（ ）

A．的方程为B．的方程为
C．的最小值为D．的最小值为
三、填空题
18．（2023·北京朝阳·高三专题练习）已知抛物线C经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于2，请写出一个满足条件的C的标准方程 ．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的准线方程为，则 .
20．（2023·山东青岛·统考一模）已知O为坐标原点，在抛物线上存在两点E，F，使得是边长为4的正三角形，则 ．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的的准线与轴交于点，，是的焦点，是上一点，，则 .
22．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线同时满足以下三个条件
①的顶点在坐标原点；②的对称轴为坐标轴；③的焦点在圆上．
则的方程为 ．（写出一个满足题意的即可），
23．（2023·北京丰台·统考二模）在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40米，碎片距离爆炸中心的最远水平距离为80米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为 米．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与抛物线：的准线相交于点A，O为坐标原点，若则抛物线的方程为 .
25．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线上一点的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为 ．
26．（2023秋·广东广州·高三仲元中学校考阶段练习）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，的准线与轴相交于点，为上的一点，直线与直线相交于点，若，，则的标准方程为 ．
27．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，第九章“勾股”讲述了勾股定理及一些应用，将直角三角形的斜边称为“弦”，短直角边称为“勾”，长直角边称为“股”，设点F是抛物线的焦点．l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若的“勾”，“股”，则抛物线的方程为 ．
28．（2023·山东聊城·统考三模）已知抛物线：的焦点为，点在轴上，线段的延长线交于点，若，则 ．
29．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，过点作轴的垂线交抛物线于点A，且满足，设直线交抛物线于另一点，则点的纵坐标为 ．
30．（2023·福建厦门·厦门一中校考三模）已知点，关于坐标原点对称，，过点，且与直线相切，若存在定点，使得当运动时，为定值，则点的坐标为 .
31．（2023·陕西西安·统考三模）焦点为的抛物线上有一点，为坐标原点，则满足的点的坐标为 ．
32．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知抛物线C：，O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），且，直线AO交抛物线的准线于点C，△AOF与△ACB的面积之比为4：9，则p的值为 ．
题型三 抛物线的性质
策略方法 抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
【典例1】（单选题）下列关于抛物线的图象描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．开口向右，焦点为
C．开口向上，焦点为D．开口向右，焦点为
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）抛物线的准线方程是，则实数的值为（ ）
A．B．C．4D．
2．（2023·全国·高三专题练习）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：，一条平行于x轴的光线，经过点，射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若，则抛物线C的准线方程是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·河南洛阳·高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习）距离拱顶4米时，水面的宽度是8米，则抛物线C的焦点到准线的距离是（ ）

A．1米B．2米C．4米D．8米
4．（2023·全国·高三专题练习）数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，且点在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ）
A．B．（0，－1）C．D．
5．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，则的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·甘肃兰州·统考模拟预测）已知点在圆上，其横坐标为，抛物线经过点，则抛物线的准线方程是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知圆与抛物线相交于M，N，且，则（ ）
A．B．2C．D．4
8．（2023·吉林·统考二模）已知抛物线的焦点F与椭圆的一个焦点重合，则下列说法不正确的是（ ）
A．椭圆E的焦距是2B．椭圆E的离心率是
C．抛物线C的准线方程是x=-1D．抛物线C的焦点到其准线的距离是4
9．（2023秋·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标（ ）
A．有最大值，无最小值B．无最大值，有最小值
C．无最大值，无最小值D．有最大值，有最小值
10．（2023春·全国·高三专题练习）已知函数且的图象过定点，若抛物线也过点，则抛物线的准线方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·河南濮阳·濮阳一高校考模拟预测）焦点为的抛物线上有一点，为坐标原点，则满足的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·全国·高三专题练习）过点作抛物线的切线，，切点分别为，，若的重心坐标为，且P在抛物线上，则的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
14．（2023春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（ ）
A．B．64C．D．80
15．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则（ ）
A．4B．8C．10D．16
16．（2023·全国·高三专题练习）已知点分别为抛物线与圆上的动点，且的最小值为，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·全国·高三专题练习）抛物线与圆交于、两点，圆心，点为劣弧上不同于、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是
A．B．C．D．
二、多选题
18．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4D．准线方程为
19．（2023秋·广东揭阳·高三普宁市第二中学校考阶段练习）设为抛物线：（）的焦点，为坐标原点，为上一点，且，则（ ）
A．
B．
C．直线的斜率为
D．的面积为
20．（2023秋·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．此抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是
B．若，则点到轴的距离为3
C．是准线上一点，是直线与的一个交点，若，则
D．
21．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高三校考阶段练习）已知抛物线：的焦点在直线上，点在抛物线上，点在准线上，满足轴，，则（ ）
A．B．直线的倾斜角为
C．D．点的横坐标为
22．（2023·广东东莞·校考三模）已知抛物线，为坐标原点，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．抛物线的准线方程为B．直线一定过抛物线的焦点
C．线段长的最小值为D．
三、填空题
23．（2023·全国·高三专题练习）若抛物线经过点，则其准线方程是 .
24．（2023·全国·高三专题练习）若点在抛物线（a≠0）上，则该抛物线的焦点到其准线的距离为 ．
25．（2023秋·天津河西·高三统考期末）已知抛物线上一点 到其焦点的距离为 5，则该抛物线的准线方程为 ．
26．（2023春·甘肃兰州·高三校考开学考试）已知抛物线：恰好经过圆：的圆心，则抛物线C的焦点坐标为 .
27．（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 .
28．（2023·北京·高三专题练习）若三个点中恰有两个点在抛物线上，则该抛物线的方程为 .
29．（2023秋·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为 .
30．（2023秋·浙江绍兴·高三浙江省上虞中学校考开学考试）已知抛物线：与圆：，直线：与抛物线交于，两点，与圆交于，两点，若，则抛物线的准线方程为 .
题型四 与抛物线有关的距离和最值问题
策略方法
抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解。
【典例1】（单选题）已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（单选题）抛物线的顶点为原点，焦点为，则点到抛物线上动点的距离最小值为（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023秋·云南红河·高三开远市第一中学校校考开学考试）已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．（2023·河南·校联考模拟预测）设F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，点Q在准线l上，满足轴．若，则（ ）
A．2B．C．3D．
3．（2023秋·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（ ）．
A．13B．12C．10D．8
4．（2023春·河南开封·高三统考期末）已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（ ）
A．5B．C．2D．3
5．（2023秋·陕西西安·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点在C的内部，若点B是抛物线C上的一个动点，且周长的最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）已知抛物线的焦点为，为上的动点，为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）已知是抛物线上一动点，是圆上一点，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知F为抛物线的焦点，P为该抛物线上的动点，点，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
9．（2023秋·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
10．（2023·河南焦作·统考模拟预测）已知为抛物线的准线上一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）点为抛物线上任意一点，点为圆 上任意一点，为直线的定点，则的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，点A在C上，点B满足（O为坐标原点），且线段AB的中垂线经过点F，则＝（ ）
A．B．1C．D．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知A，F为抛物线的焦点，点M在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点在抛物线上运动，过点引直线，与圆相切，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．8
15．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，则的最小值是（ ）
A．10B．9C．8D．5
16．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则（ ）
A．B．C．3D．9
17．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，点，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
18．（2023秋·山东德州·高三统考期末）曲线上有两个不同动点，动点到的最小距离为，点与和的距离之和的最小值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点（在的右边），为上一点，，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．5
二、多选题
20．（2023秋·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）为抛物线上的动点，动点到点的距离为（F是的焦点），则（ ）
A．的最小值为B．最小值为
C．最小值为D．最小值为
21．（2023秋·福建厦门·高三福建省厦门第六中学校考期末）已知A（a，0），M（3，-2），点P在抛物线上，则（ ）
A．当时，最小值为1
B．当时，的最小值为3
C．当时，的最小值为4
D．当时，的最大值为2
22．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）设F是抛物线C：的焦点，直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．若点，则的最小值是5D．若倾斜角为，且，则
23．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的准线为，焦点为F，点是抛物线上的动点，直线的方程为，过点P分别作，垂足为A，，垂足为B，则（ ）
A．点F到直线的距离为B．
C．的最小值为1D．的最小值为
三、填空题
24．（2023秋·上海普陀·高三上海市宜川中学校考阶段练习）为抛物线上一点，其中，F为抛物线焦点，直线l方程为，，H为垂足，则 ．
25．（2023·全国·高三专题练习）已知点 是坐标平面内一定点， 若抛物线的焦点为， 点是抛物线上的一动点， 则的最小值是 .
26．（2023·江苏无锡·校联考三模）已如，是抛物线上的动点（异于顶点），过作圆的切线，切点为，则的最小值为 .
27．（2023·全国·高三专题练习）已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为 ．
28．（2023秋·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）过点的直线交抛物线于两点，点的坐标为. 设线段的中点为则的最小值为 .
29．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）已知抛物线，圆，点，若分别是，上的动点，则的最小值为 .
30．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于两点，若为该抛物线上一点，为圆上一点，则的最小值为 .
31．（2023·上海·高三专题练习）已知抛物线：，圆：，点M的坐标为，P、Q分别为、上的动点，且满足，则点P的横坐标的取值范围是 ．
32．（2023·全国·高三专题练习）已知为抛物线上的一个动点，直线，为圆上的动点，则点到直线的距离与之和的最小值为 ．
33．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，点N是抛物线C的对称轴与它的准线的交点，点M是抛物线上的任意一点，则的最大值为 ．
①抛物线的定义及焦半径公式的应用
②抛物线的标准方程
③抛物线的性质
④与抛物线有关的距离和最值问题
图形
标准
方程
顶点
范围
，
，
，
，
对称轴
轴
轴
焦点
离心率
准线方程
焦半径