福建漳州市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（含解析）

这是一份福建漳州市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（含解析），共6页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第二册第一章（导数）、第二章（空间向量与立体几何）．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在空间直角坐标系中，点A0,2,5，B−1,3,4，则BA= （ ）
A. 1,−1,1B. −1,1,−1C. 1,1,1D. −1,5,9
【答案】A
【解析】
【详解】因为A0,2,5，B−1,3,4，
所以BA⃗=1,−1,1.
2. 已知函数fx=x10+2x−1 ，则的导函数f'x= （ ）
A. 10x9+2xB. 10x9+1xC. x10ln10+1xD. 10x9+1x−1
【答案】B
【解析】
【详解】由题意得fx=x10+2x−1 ，得到f'x=10x9+1x.
3. 已知函数的极值点为0，则a= （ ）
A. 0B. C. 23D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用极值点的导数为0求解参数，注意检验.
【详解】，
因为，所以a=23．
当a=23时，由得，由得，
由得，
所以fx的极小值点为0，故．
4. 在空间直角坐标系中，O 是平面ABC 外一点，平面ABC 的一个法向量为n=1,2,2，的面积为3，且OA=−3,1,2，则三棱锥的体积为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据点到平面距离的向量公式，求出点O 到平面的距离，再结合锥体体积公式计算即得.
【详解】因为OA→=−3,1,2，平面ABC 的一个法向量为n=1,2,2，
所以点O 到平面的距离d=OA→⋅n→n→=−3×1+1×2+2×212+22+22=1 ，
又的面积S△ABC=3 ，
所以三棱锥的体积VO−ABC=13S△ABC·d=13×3×1=1 .
5. 若函数gx=fxe3x−1为减函数，则必有（ ）
A. f'x≤fxB. f'x≥fx
C. f'x≤3fxD. f'x≥3fx
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求得g'x=f'(x)−3f(x)e3x−1，结合，即可求解.
【详解】由函数gx=fxe3x−1，可得g'x=f'(x)⋅e3x−1−f(x)⋅(e3x−1)'(e3x−1)2=f'(x)−3f(x)e3x−1，
因为函数为减函数，可得，即f'(x)−3f(x)e3x−1≤0 ，
又因为e3x−1>0 ，所以f'(x)−3f(x)≤0 ，即f'x≤3fx.
6. 某企业的一个产品的月均产量y （单位：百件）与月份数xx∈N*的关系式为y=x3−6x2+95 ，则该企业这个产品的月均产量的最小值为（ ）
A. 56件B. 63件C. 5600件D. 6300件
【答案】D
【解析】
【详解】可知y'=3x2−12x=3xx−4，
在00 时，，单调递增，
则.
令，t≥1 ，则，
因为在上单调递增，
所以当t=1 时，取得最小值，且最小值为0.
故的最小值为0.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在四面体P−ABC 中，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【详解】
，故A正确，C错误；
，故B错误，D正确.
10. 若，则的取值可以为（ ）
A. -10B. C. -4D. 1
【答案】ABD
【解析】
【分析】将问题转化为，设函数 ，由求解.
【详解】若，则，
设函数 ，则，
，
令，得单调递增，
令，得 单调递减．
因为，当x→0 时，，
所以，
故，解得．
ABD选项符合题意.
11. 在空间直角坐标系中，已知正四面体SABC 的四个顶点的坐标为，，，，点在四面体SABC 外接球的球面上，且CN⊥ 平面，点在四面体SABC 内切球的球面上，则下列结论正确的有（ ）
A. mnt=83
B. 的最大值是最小值的2倍
C. 四面体SABC 外接球的体积为108π
D. 当取得最小值时，点的坐标为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据外接球体积公式、勾股定理、空间向量坐标的线性表示等知识逐项计算判断即可.
【详解】四面体SABC 的直观图如图所示．设顶点在底面ABC 上的射影为，连接SD ，
则SD⊥ 平面ABC ，连接CD 并延长，交于点，易得为的中点．
因为，所以，所以，
则，则，A正确．
设四面体SABC 外接球的球心为O1，则O1在SD 上，设，
则，解得，所以四面体SABC 外接球的半径为3，
四面体SABC 外接球的体积为，C错误．
易得四面体SABC 内切球的半径，内切球的球心为O1，
则的最大值为，最小值为3−1=2 ，B正确．
因为平面ABC ，所以，
又因为，所以，
解得或（舍去），．
当取得最小值时，，即，
得，D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在标准正交基底i,j,k下，已知向量m=3i+4j−5k，n=−2i−j+3k，则向量2m−n在j上的投影长为________．
【答案】9
【解析】
【详解】由已知，2m−n=23i+4j−5k−−2i−j+3k=8i+9j−13k，
则2m−n的坐标表示为8,9,−13，j的坐标表示为0,1,0，
则向量2m−n在j上的投影长为9 .
13. 在空间直角坐标系中，已知A0,1,2，B2,3,2，C3,3,1，则点到直线的距离为________．
【答案】
【解析】
【详解】由题意得AB=(2,2,0) ，BC=(1,0,−1) ，
|BC|=12+02+(−1)2=2，
AB⋅BC=2×1+2×0+0×(−1)=2 ，
向量在直线上的投影长度为|AB⋅BC||BC|=22=2，
故点到直线的距离为
d=|AB|2−(2)2=(22+22+02)−2=8−2=6.
14. 若a6−2a4+2a2≥8b−22b+1+2b+1a>0,b>0，则lnab的取值范围是________．
【答案】ln22,+∞
【解析】
【分析】观察不等式两边结构相同，构造函数f(x)=x3−2x2+2x ，利用单调性将不等式转化为a2≥2b，再取对数求范围.
【详解】令f(x)=x3−2x2+2x （x>0 ），则f'(x)=3x2−4x+2=3x−232+23>0 ，故在上单调递增.
左边：a6−2a4+2a2=(a2)3−2(a2)2+2a2=f(a2) ；
右边：8b−22b+1+2b+1=23b−2⋅22b+2⋅2b=f(2b) .
由题意f(a2)≥f(2b) ，所以a2≥2b.
两边取自然对数得2lna≥bln2 ，即lnab≥ln22，则lnab的取值范围为ln22,+∞.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
15. 已知函数.
（1）求值；
（2）求在上的极值.
【答案】（1）
（2）极小值为，无极大值
【解析】
【小问1详解】
，
则.
【小问2详解】
当x∈0,π2时，令，得，
令，得，则在0,π3上单调递减，
令，得，则在上单调递增，
所以在上的极小值为，在上无极大值.
16. 将正方体ABCD−A1B1C1D1截去三棱锥后得到如图所示的几何体，且为AC 的中点．
（1）证明：平面．
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理求解即可.
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值，进而可求得其正弦值.
【小问1详解】
取的中点，连接A1M ，．
易证，且，
又为AC 的中点，所以，且，
则四边形是平行四边形，所以．
因为平面，平面，所以平面．
【小问2详解】
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设AB=2 ，则，，，，，，．
设平面的法向量为，则
令，得．
设平面的法向量为，则
令，得．
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为．
17. 已知函数fx=a3x−lnx ．
（1）当a=2 时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
【答案】（1）y=7x+1
（2）当a≤0 时，fx在0,+∞上单调递减；
当a>0 时，fx在0,1a3上单调递减，在1a3,+∞上单调递增
【解析】
【分析】（1）当a=2 时，求得f'x=8−1x，结合导数的几何意义，即可求解；
（2）求得f'x=a3x−1x，分a≤0 和a>0 ，两种情况讨论，即可求解.
【小问1详解】
当a=2 时，fx=8x−lnx ，可得f'x=8−1x，
则f'1=7 ，且f1=8 ，即切线的斜率为，切点为(1,8) ，
所以曲线在点1,f1处的切线方程为y−8=7x−1，即y=7x+1 ．
【小问2详解】
由函数fx=a3x−lnx ，其定义域为0,+∞，且f'x=a3−1x=a3x−1x，
当a≤0 时，，则fx在0,+∞上单调递减；
当a>0 时，令，可得x=1a3，
令，得0a ．
【答案】（1）当a=2 ，x∈0,+∞时，fx=ex−e−x−2x ，
f'(x)=ex+e−x−2≥2−2=0 ，当且仅当ex=e−x，即 时，等号成立，
所以f'(x)≥0 ，f(x) 在0,+∞上单调递增．
又f0=e0−e0−0=0 ，所以当x≥0 时，fx≥f0=0 ，即fx≥0 ．
（2）当 时，f(x) 的零点个数为1，当 时，f(x) 的零点个数为3
（3）由fx0=0 ，得ex0−e−x0=ax0，即a=ex0−e−x0x0．
要证ex0+1>a ，只需证ex0+1>ex0−e−x0x0，
即证x0ex0+1>ex0−e−x0，即证x0ex0+x0−ex0+e−x0>0 ，
设kx=xex+x−ex+e−x，x>0 ，
则k'(x)=ex+xex+1−ex−e−x=xex+1−e−x．
因为x>0 ，所以xex>0 ，1−e−x>0 ，
所以k'(x)>0 ，kx在0,+∞上单调递增．
又k0=0+0−1+1=0 ，且，所以kx0>k0=0 ，
即x0ex0+x0−ex0+e−x0>0 ，故ex0+1>a 得证．
【解析】
【分析】（1）利用函数f(x) 在区间[0,+∞) 上的单调性，把fx≥0 转化为f(x) 在区间[0,+∞) 上最小值不小于0；
（2）讨论参数与函数f(x) 单调性的关系，结合奇偶性及函数图像变化即可判断零点个数；
（3）通过f(x0)=0 可得a=ex0−e−x0x0，要证ex0+1>a ，只需证ex0+1>ex0−e−x0x0，即证x0ex0+x0−ex0+e−x0>0 ，通过构造函数kx=xex+x−ex+e−x,x>0 ，利用导数证明函数k(x) 的最小值大于0即可得证.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
因为f−x=e−x−ex+ax=−fx，所以f(x) 为上的奇函数,
f'(x)=ex+e−x−a ，
当 时，f'(x)≥2−a≥0 ，f(x) 在(0,+∞) 上单调递增,
又f(0)=0 ，所以f(x) 的零点个数为1，
当 时，令f'(x)=0 ，即ex+e−x=a ，
设t=ext>0，则t+1t=a ，即t2−at+1=0 ，
解得t=a±a2−42，即x1=lna−a2−42，x2=lna+a2−42，
又因为a−a2−42⋅a+a2−42=1 ，a+a2−42>a2>1 ，
所以0