安徽宿州市2025−2026学年高二下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份安徽宿州市2025−2026学年高二下学期期末考试数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知数列为等差数列，若，，则数列的公差为（ ）
A．B．C．D．
3．现将某市一热门饮品店月份销售的“柠檬水”的利润额统计如下表所示，且根据表中数据，通过最小二乘法求得与的经验回归方程为，则当时，利润额的残差为（ ）
A．B．C．D．
4．暑假期间，小明和小红打算从黄山、九华山、宏村、天柱山四个安徽著名景点中各随机挑选2个进行游玩，则两人所选不同景点的总数为3的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知各项均为负数的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知，为同一随机试验的两个随机事件，且，，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知随机变量，则（ ）
参考数据：若，则，，．
A．B．
C．D．
11．已知函数，则（ ）
A．若，，则函数在上的最大值和最小值分别为4和0
B．若，，则曲线关于中心对称
C．若，，过点仅能够作两条直线与曲线相切
D．若恰有两个不同的零点，则
三、填空题
12．若首项为2的数列满足，则________．
13．小明、小强等5人组队参加的比赛，其中1人作为替补，为了了解他们的位置，小明和小强去问体育老师，体育老师对他们两人说：“虽然我还没有决定最终的位置顺序，但你们一定都不是第一棒”，对小强说“你不是替补”，基于体育老师的话，这5人的位置排列的种数为________．
14．已知在平面直角坐标系中，点，，点，在轴上的投影分别为，，点在直线上的投影为，直线与交于点．则点的轨迹方程为________．
四、解答题
15．如图，已知正方体，其中点为线段上靠近的三等分点，点为直线，的交点．
（1）若，求，，的值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
16．已知数列的前项和为，其中．
（1）若，记数列的前30项和为，求证：；
（2）求的最大值；
17．甲、乙、丙三人参加拼豆游戏，主办方规定，在一定的时间内完成拼豆的可获得额外奖励，已知甲、乙、丙三人在规定时间内完成拼豆的概率分别为，，，且三人是否在规定时间内完成拼豆不相互影响．
（1）求恰有1人在规定时间内完成拼豆的概率；
（2）若该游戏分为3轮，记3轮中在规定时间内至多有1人完成拼豆的轮数为，求的分布列以及数学期望．
18．已知函数．
（1）若，求在上的最大值；
（2）已知，，求证：函数在上单调递增；
（3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
19．已知椭圆：，椭圆：，在内部，且，的离心率相同；分别过椭圆的右顶点与上顶点任作椭圆的一条切线，．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求直线，的斜率之积的绝对值；
（3）若，直线过第二、四象限，过定点的直线与椭圆交于，两点，与交于点．若，求点的坐标．
参考答案
1．【答案】C
【详解】，当时，，
所以曲线在点处的切线斜率为．
2．【答案】A
【详解】．
3．【答案】C
【详解】当时，，
所以时，利润额的残差为.
4．【答案】D
【详解】两人各选2个景点的方法数是，
所选不同景点的总数为3，则其中一个景点重复，方法数是，
所以概率为.
5．【答案】B
【详解】设等比数列的公比为，易知，
，代入，，
得 ，化简得，
解得或（舍去），
所以 .
6．【答案】A
【详解】，
，得.
7．【答案】A
【详解】函数定义域，导数，
由题意可知当时，导数恒成立，
即，所以在时恒成立.
令函数，
则，
令函数，则导数，
当时，，所以函数在上单调递增，
所以当，，所以函数在上单调递增，
所以，
所以.
8．【答案】B
【详解】如图所示，以为直径的圆的方程为（其中），
不妨设圆和渐近线的交点在第一象限，
联立，解得.
由直径所对圆周角为直角，可知，故是直角三角形.
由，可得，
即，
整理得，
所以，解得.

9．【答案】ABD
【详解】对于选项A，由题意，A正确；
对于选项B，令得，
所以，B正确；
对于选项C，令得，
所以，C错误；
对于选项D，由得，
令得，，D正确.
10．【答案】ACD
【详解】由正态分布的定义，可得均值，方差，即标准差，
选项A：正态曲线关于对称，因此，A正确.
选项B：，由参考数据，可得：
，B错误.
选项C：即或，
由，
因此：，C正确.
选项D：，，
因此：
，D正确.
11．【答案】ABD
【详解】对于A，若，，则，
求导可得，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，上单调递增，
又因为，
所以函数在上的最大值和最小值分别为4和0，故A正确；
对于B，若，，则，所以，
设的对称中心为，则，
所以，
化简得，所以，
解得，，故B正确；
对于C，若，，则，，
设切点，切线斜率：，
所以切线方程为.
将代入化简得，
令，则，
令，得，令，得
所以在单调递增，在单调递减，
且，，时，，时，，
所以有三个根，
即过点能够作三条直线与曲线相切，故C错误；
对于D，若恰有两个不同的零点，则有一个重根，设重根为，另一根为,
即，
所以，解得，
则，
令，则，，
令，解得.
所以在上单调递减，上单调递增，
且，所以.
即，故D正确.
12．【答案】
【详解】因为，所以，
设，即 ，
所以，解得，即.
因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即.
所以.
13．【答案】54
【详解】先安排小强的位置，因为小强不能是第一棒且小强不能是替补，所以小强仅可选择第二、三、四棒，共种选法；
再安排第一棒，因为第一棒不能是小明或小强，第一棒只能从除小明、小强外的3名队员中选取，共种选法；
剩余3个位置无额外约束，将剩余3人全排列，共种排法.
根据分步乘法计数原理，总排列种数为.
14．【答案】
【详解】取 的一种情形
因为 ，且 ，所以
点 ， 在 轴上的投影分别为
又点 在直线 上的投影为 ，而直线 的方程为 ，所以
直线 经过 ，，故其方程为
直线 的方程为
因此直线 与 的交点为
设 ，则
消去参数 ，得
因为 ，所以 ．
反之，对于满足 的任意 ，取 ，均可得到相应的点 ．
故点 的轨迹方程为
15．【答案】（1），，
（2）
【详解】（1）不妨设正方体棱长为3.
如图所示，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
是、交点，故，
是靠近的三等分点，则，
向量，，，，
因为，
则，
即，解得.
则.
（2），，，设平面法向量，
则，
令，得，
设线面角为，满足，
因为，
，，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为.
16．【答案】（1）因为所以
因此
即
故 ．
（2）.
【详解】（1）略
（2）由，可知当 时，；
当 时，；
当 时，．
所以数列 先递增，在 ， 时取得相同的最大值，此后递减．
又.
且 ，故 的最大值为 ．
17．【答案】（1）
（2）的分布列为：
数学期望.
【详解】（1）设事件为“甲在规定时间完成拼豆”，为“乙在规定时间完成拼豆”，为“丙在规定时间完成拼豆”，
由题意知相互独立，且，
对应对立事件概率为.
恰有1人完成拼豆包含3个互斥事件：仅甲完成、仅乙完成、仅丙完成，因此所求概率
又，，
所以.
（2）单轮内0人完成的概率，
由（1）得，单轮1人完成的概率为，
故单轮内至多有1人完成拼豆的概率.
3轮试验相互独立，每轮结果只有两种，故，的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
故的分布列为：
由二项分布期望公式得.
18．【答案】（1）
（2）时，，
则导数，令，
则导数，令，
则导数，因为，所以，
即函数在上单调递增，所以，
即函数在上单调递增，所以，
所以函数在上单调递增.
（3）
【详解】（1）时，，
则导数，因为，
所以，即函数在上单调递增，
所以当时，，
所以，即在上的最大值为.
（2）略.
（3）当时，，
因为在上恒成立，即在上恒成立，
令函数，则导数，
，
所以，
由（2）知，函数在上为增函数，
故当时，，即，
因为，所以，
当时，，即，则函数在上单调递减，
当时，，即，则函数在上单调递增，
所以当时，，
所以.
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）依题意可得椭圆的长半轴长为，短半轴长为，
则其半焦距为，
所以椭圆的离心率为，
又，的离心率相同，所以椭圆的离心率为．
（2）显然直线，的斜率都存在，不妨设直线，的斜率分别为，，
又椭圆的右顶点为，则直线的方程为，
结合（1）得，得，
联立，整理得，
又是椭圆的一条切线，则，得，
又椭圆的上顶点为，则直线的方程为，
联立，整理得，
又是椭圆的一条切线，则，得，
所以，得，
故直线，的斜率之积的绝对值为．
（3）由，则结合（2）得，
又直线过第二、四象限，则，即，
所以直线的方程为，
设，，，，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，则，
即，整理得（*），
联立，解得，
联立，整理得，
由韦达定理得，，
将，，，代入（*）式化简得，
又上式对任意实数都成立，则，
若，得，代入（2）式，得，解得，或；
若，即，代入（2）式，得，解得，，
验证当斜率不存在时，，，是否满足题意．
对于，过该点的竖线与椭圆只有一个交点，不符合题意；
对于，过该点的竖线与椭圆只有一个交点，不符合题意；
对于，过该点的竖线与椭圆有两个交点，
联立，解得，，即，，，
此时，，满足，符合题意．
综上，点的坐标为．
月份
1
2
3
4
5
利润额（万元）
1.9
2.3
2.6
2.9
3.3
0
1
2
3
0
1
2
3