安徽亳州市蒙城第一中学2025-2026学年高二第二学期期末测试数学试题（含答案）

这是一份安徽亳州市蒙城第一中学2025-2026学年高二第二学期期末测试数学试题（含答案），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．一组数据：1，2，3，4，5的第60百分位数是（ ）
A．4B．3.5C．3D．2.5
3．设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ）
A．2B．C．D．
4．已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．已知是偶函数，且，当时，，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列的通项公式是，，设的前项和为，则（ ）
A．100πB．75πC．50πD．25π
8．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线，与渐近线交于、两点.若，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数（）的最小正周期为，则（ ）
A．B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称D．在上单调递增
11．如图，在纸片中，，，且的面积为32，取边的中点，在该纸片中剪去以为边的等边得到新的纸片，再取的中点，在纸片中剪去以为边的等边得到新的纸片，再取的中点，在纸片中剪去以为边的等边得到新的纸片，以此类推得到纸片，设的周长为，面积为，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．某班6人（含学生甲）站成一排拍照，若甲不站最右端也不站最左端，则不同站法数为________．
13．已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为__________.
14．已知某球恰好与圆台的上下底面及侧面都相切，若该圆台的上底面半径为1，母线长为4，则该圆台外接球的表面积为__________.
四、解答题
15．在中，角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
16．如图，正方体的棱长为分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17．某工厂为了提高产品的合格率，采取，两种制造工艺制造了一批产品，现对该种产品进行随机抽查，得到的2×2列联表如下表所示：
（1）补全2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品是否合格与制造工艺有关？
（2）在不合格的样本产品中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件，从这8件产品中随机抽取3件产品进行不合格原因检查，设这3件产品中来自A种制造工艺的有件，求的分布列及期望．
附：，其中．
18．如图，椭圆的一个焦点为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若为垂直于轴的动弦，直线与轴交于点，直线与交于点.
（ⅰ）求证：点恒在椭圆上；
（ⅱ）求面积的最大值.
19．已知函数（）.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若在上的最大值为0，求a的值；
（3）若，恒成立，求的最大值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由 M={1,3,5},N={1,2,3}，取两集合的公共元素，得 M∩N={1,3}.
2．【答案】B
【详解】计算位置指标： 5×60%=3.
因为结果为整数，所以第 60 百分位数为第 3 项与第 4 项的平均值，
即 3+42=3.5.
3．【答案】B
【详解】由共线向量定理可知存在实数 λ，使得 m=λn，
即 −e1+ke2=λ(e2−2e1)=−2λe1+λe2.
又 e1 与 e2 不共线，根据平面向量基本定理可得：
−1=−2λk=λ，解得 k=12λ=12.
4．【答案】B
【详解】由题意得 z=1+4i2−3i=(1+4i)(2+3i)(2−3i)(2+3i)=−10+11i13=−1013+1113i.
所以复数 z 在复平面内对应的点是 −1013,1113，位于第二象限.
故选B.
5．【答案】D
【详解】由 f(x+2)=f(x) 知 f(x) 是以 2 为周期的周期函数.
则 f92=f4+12=f12.
又 f(x) 是偶函数，所以 f12=f−12.
再由周期性得 f−12=f−12+2=f32.
因为 1≤32≤2，代入解析式得 f32=3−32=32.
6．【答案】A
【详解】总的基本事件数为 4×4=16 种.
事件 M 表示甲乙两人都不去 A 景点，有 3×3=9 种，
所以 P(M)=1−P(M)=1−916=716.
事件 MN 表示甲乙两人都去 A 景点，只有 1 种情况，
所以 P(MN)=116.
由条件概率公式得 P(N|M)=P(MN)P(M)=116716=17.
7．【答案】C
【详解】bn=n+12πsinnπ+π2=n+12πcsnπ.
当 n 为奇数时， csnπ=−1，此时 bn=−n+12π；
当 n 为偶数时， csnπ=1，此时 bn=n+12π.
S100=b1+b2+⋯+b99+b100=−1+12π+2+12π+⋯+−99+12π+100+12π
将相邻两项分组求和，每组的值为 π，共有 50 组，
故 S100=50×π=50π.
8．【答案】B
【详解】易知点，关于轴对称，令，，
，，
，(负值舍去)，
由，可得，则，
，渐近线方程为.
故选B.
9．【答案】BC
【详解】因为抛物线经过，所以抛物线开口向左或开口向上，
设开口向左的抛物线方程为（），
将点代入，得，
所以开口向左的抛物线方程为，
故B正确,错误；
设开口向上的抛物线方程为（），
将点代入，得，
所以开口向上的抛物线方程为，
故C正确，错误.
故选:BC.
10．【答案】ACD
【详解】对于A，由函数的最小正周期为，
可得，解得，所以A正确；
对于B，由函数，可得，
所以不是函数的对称中心，所以B错误；
对于C，由，令，可得，
当时，可得，所以函数的图象关于直线对称，所以C正确；
对于D，令，可得，
即函数的单调递增区间为，
当时，的单调递增区间为，
因为，所以在上单调递增，所以D正确.
11．【答案】ABD
【详解】对于A，在纸片中，，，且的面积为32，
边的中点为，所以且，
由题意，得，，
比多了两条边，，少了线段，
又是等边三角形，所以，
可得，故A正确；
对于B，由，，，
得，所以，
当时，，
，
…，
，
以上各式相加，得，
所以，
又满足上式，所以，故B正确；
对于C，比少了一个以为边的等边三角形，
所以，故C错误；
对于D，由，得，，
当时，，
，
…，
，
以上各式相加得：
，
所以，又满足上式，
所以，故D正确.
12．【答案】480
【详解】先安排甲从除最左端和最右端的4个位置中选一个站，有种站法；
将剩余的人任意排序，有种站法．
所以不同站法数有种．
13．【答案】
【详解】由函数在区间上单调递增，
得在区间上恒成立，
即在区间上恒成立.
令，
因为在区间上单调递减，所以的最大值为.
所以.
即实数m的取值范围为.
14．【答案】
【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，
根据切线长定理，得，所以，则圆台的高；
设圆台外接球半径为，球心到下底面的距离为，
若圆台外接球球心在圆台内，则，解得，
所以圆台外接球的表面积为；
若圆台外接球球心在圆台外，则，解得（舍）.
综上，圆台外接球的表面积为.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由及正弦定理可得，
所以，
又，所以，所以，
又，所以.
（2）由余弦定理，有，即，
又，联立解得，或（舍去），
所以.
16．【答案】（1）证明：取的中点为，连接.
因为分别是的中点，所以.
在正方体中，，又为的中点，
所以，四边形是平行四边形，.
又平面平面，所以平面．
（2）
【详解】（1）略．
（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正方体的棱长为分别为的中点，
所以
所以，
设是平面的法向量，则，即，
令，则，所以是平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
17．【答案】（1）
认为产品是否合格与制造工艺有关．
（2）
．
【详解】（1）2×2列联表如下：
零假设为：产品是否合格与制造工艺无关，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为产品是否合格与制造工艺有关．
（2）在不合格的样本产品中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件，
其中种制造工艺有（件），种制造工艺有（件）．
由题意，得X的取值可以是0，1，2，3，
则，，，．
所以的分布列为：
所以．
18．【答案】（1）
（2）(ⅰ)证明见解析；(ⅱ)
【详解】（1）因为椭圆一个焦点为，所以，
点代入椭圆方程可得，
又，解得，
所以椭圆方程为.
（2）(i)由题意得，，
设，则，且①，
则的方程分别为：，.
设，则有②，③
由②，③得，由①得，
因为，
所以点M恒在椭圆上.
(ⅱ)设的方程为，代入，得，
设，则有，，
所以，令，
则，
因为，所以，
故当，即，时，有最大值3，此时过点.
所以，
即的面积的最大值为.
19．【答案】（1）
（2）或
（3）
【详解】（1）当时，，，所以，
所以切线方程为，即；
（2）定义域为，；
（i）当时，在区间上，，所以在上单调递减，
所以，由解得，符合题意；
（ii）当时，在区间上，，所以在上单调递增，
所以，由解得，符合题意；
（iii）当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，，
由解得或，均不符合题意，
所以的值为或.
（3）由恒成立，即恒成立.
令，则恒成立.
，
当即时，，所以在单调递增，
当时，，所以不满足恒成立；
当即时，令，解得；
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以，
若恒成立，则，即，
则.
令，则，设，
则，令，解得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以，即最大值为.种制造工艺
种制造工艺
合计
合格
450
不合格
30
合计
500
500
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
种制造工艺
种制造工艺
合计
合格
470
450
920
不合格
30
50
80
合计
500
500
1000
0
1
2
3
种制造工艺
种制造工艺
合计
合格
470
450
920
不合格
30
50
80
合计
500
500
1000
0
1
2
3