2024-2025学年安徽省宿州市某校高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省宿州市某校高二（上）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线l1：x+ay−1=0，l2：(3a−2)x−ay+1=0，若l1⊥l2，则a=( )
A. 1或2B. 0C. 13D. 0或13
2.已知向量a,b,c，满足|a|=1，|b|=2，|c|=3，〈a,b〉=〈a+b,c〉=π3，则a+b在c方向上的投影向量为( )
A. 2 73cB. 143cC. 76cD. 76c
3.已知圆O1：(x−1)2+(y+2)2=9，圆O2：x2+y2+4x+2y−11=0，则这两个圆的位置关系为( )
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含
4.袜子由袜口、袜筒、脚趾三部分组成，现有四种不同颜色的布料，设计袜子的颜色配比，要求相连的部分颜色不同，共可以设计出不同颜色类型的袜子种数为( )
A. 12B. 24C. 36D. 48
5.若(1−2x)5(x+2)=a0+a1x+⋯+a6x6，则a3=( )
A. 120B. 240C. −120D. −240
6.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，∠A1AD=∠A1AB=π3，∠BAD=π2，则异面直线AC1与BB1所成角的余弦值为( )
A. 12
B. 23
C. 2 55
D. 3 1010
7.曲线y=1+ 4−x2与直线y=k(x−2)+4有两个相异交点，则k的取值范围是( )
A. (0,512)B. (13,34]C. (512,34]D. (512,+∞)
8.直线l：x−2y+ 3=0经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F，且与椭圆交于A，B两点，若M为线段AB中点，|MF|=|OM|，则椭圆的离心率为( )
A. 22B. 12C. 32D. 3−12
二、多选题：本题共3小题，共104分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于(x−2x)5的展开式的说法中正确的是( )
A. 各项的系数之和为−1B. 二项式系数的和为64
C. 展开式中无常数项D. 第4项的系数最大
10.已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线交x轴于点A，抛物线E上一点T(4,y0)到点F的距离为6，点M，N是抛物线C上的两点，点P是MN的中点，则下列说法正确的是( )
A. p=4
B. 若|MF|+|NF|=20，则点P到y轴的距离为10
C. 若FM延长线交y轴于Q，且M是FQ的中点，则|FQ|=6
D. 当|MF||MA|取最小值时，∠MAF=π4
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，且点P满足BP−=λBC+μBB1，则下列说法正确的是( )
A. 若λ=1，μ=0，则VP−A1BD=18
B. 若λ+μ=1，则D1P//平面A1BD
C. 若λ=1,μ=12，则OP⊥平面A1BD
D. 若λ=1，0≤μ≤1时，直线OP与平面A1BD所成的角为θ，则sinθ∈[ 63,1]
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
12.若过点P(1, 3)作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B两点，则|AB|= ．
13.数学竞赛中，某校有A，B，C，D，E，F共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设A，B两人必须相邻且站在正中间，C，D两人不能相邻，则不同的站法共有______种.
14.如图的“心形”曲线C恰好是半圆C1，半圆C2，曲线y=csx+1(0≤x≤π)，y=−csx−1(0≤x≤π)组合而成的，则曲线C所围成的“心形”区域的面积等于______．
四、解答题：本题共5小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
已知二项式(x−3 x)n的展开式中，所有项的二项式系数之和为a，各项的系数之和为b，a+b=32．
(1)求n的值；
(2)求其展开式中所有的有理项．
16.(本小题6分)
如图，在六面体ABCD−A1B1C1D1中，AA1//BB1//CC1//DD1，且底面ABCD为菱形．

(1)证明：四边形A1B1C1D1为平行四边形．
(2)若AA1⊥平面ABCD，AA1=CC1，∠BAD=60°，DD1=5，AB=BB1=2，求平面A1B1C1D1与平面ABCD所成二面角的正弦值．
17.(本小题6分)
已知圆C：x2+y2=16分别与x、y轴正半轴交于A、B两点，P为圆C上的动点．
(1)过点D(3,4)的直线l截C所得弦长为2 7，求l的方程；
(2)若点P为C上异于A，B的动点，直线AP与y轴交于点M，直线BP与x轴交于点N，求证：|AN|⋅|BM|为定值．
18.(本小题6分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD=2，E是PC的中点．
(1)求证：PA//平面EDB．
(2)求平面EDB与平面PAD夹角的余弦值．
(3)在棱PB上是否存在一点F，使直线EF⊥平面EDB？若存在，求出线段BF的长；若不存在，说明理由．
19.(本小题6分)
定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点(焦点与顶点在同一边)和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中(C1对应图1，C2对应图2)．

(1)判断椭圆C1：x24+y23=1与椭圆C2：x216+y212=1是否是“相似椭圆”？若是，求出相似比；若不是，请说明理由；
(2)证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；
(3)已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，椭圆C2：x2a′2+y2b′2=1(a′>b′>0)的离心率为e′，C1与C2是“相似椭圆”，且C1与C2的相似比为k：1，若△AF2B的面积为S，求△A′F1′F2′的面积(用e′，k，S表示)．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.C
5.C
6.D
7.C
8.C
9.AC
10.ACD
11.BCD
12. 3
13.32
14.3π
15.解：(1)因为a=2n，b=(−2)n，所以2n+(−2)n=32，
当n为奇数时，此方程无解，
当n为偶数时，方程可化为2×2n=32，解得n=4；
(2)由通项公式Tr+1=C4rx4−r⋅(−3 x)r=(−3)r⋅C4rx4−32r，
当4−32r为整数时，Tr+1是有理项，则r=0，2，4，
所以有理项为T1=(−3)0C40x4=x4,T3=(−3)2C42x1=54x,T5=(−3)4C44x−2=81x−2．
16.(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以BC/​/AD，
又AD⊂平面A1ADD1，BC⊄平面A1ADD1，
所以BC/​/平面A1ADD1，
因为BB1//AA1，AA1⊂平面A1ADD1，BB1⊄平面A1ADD1，
所以BB1/​/平面A1ADD1，
又BB1∩BC=B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，
所以平面BCC1B1/​/平面A1ADD1，
又平面A1B1C1D1∩平面BCC1B1=B1C1，平面A1B1C1D1∩平面A1ADD1=A1D1，
所以B1C1//A1D1，
同理可得A1B1/​/C1D1，
所以四边形A1B1C1D1为平行四边形．
(2)解：由题意得BD=2,AC=2 3，
设菱形ABCD的中心为O，以O为坐标原点，OB,OC的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B1(1,0,2)，D1(−1,0,5)，
设AA1=ℎ，则A1(0,− 3,ℎ)，C1(0, 3,ℎ)，
因为四边形A1B1C1D1为平行四边形，
所以A1B1=D1C1，即(1, 3,2−ℎ)=(1, 3,ℎ−5)，
所以2−ℎ=ℎ−5，解得ℎ=72，
所以A1B1=(1, 3,−32),A1D1=(−1, 3,32)，
设平面A1B1C1D1的法向量为n1=(x,y,z)，则A1B1⋅n1=0A1D1⋅n1=0，即x+ 3y−32z=0,−x+ 3y+32z=0,
令z=2，则x=3，y=0，所以n1=(3,0,2)，
易知平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1)，
设平面A1B1C1D1与平面ABCD所成二面角为θ
则csθ=|cs|=|n1⋅n2||n1|⋅|n2|=2 13×1=2 1313，
所以sinθ= 1−cs2θ= 1−(2 1313)2=3 1313，
所以平面A1B1C1D1与平面ABCD所成二面角的正弦值为3 1313．
17.(1)解：圆C：x2+y2=16的圆心(0,0)，半径为4，过点D(3,4)的直线l截C所得弦长为2 7，
根据垂径定理可得圆心到直线的距离d= 42−( 7)2=3．
①当斜率不存在时，直线l的方程为：x=3，
直线l截所得弦长2 r2−d2=2 7，符合题意：
②当斜率存在时，设直线l：y−4=k(x−3)，
圆心到直线l的距离为d=|4−3k| k2+1=3，解得k=724．
综上所述，直线l的方程为7x−24y+75=0或x=3．
(2)证明：根据题意，A(4,0)，B(0,4)，设P(x1,y1)(x1≠4且x1≠0)，则x12+y12=16，
直线AP方程是y=y1x1−4(x−4)，令x=0，得y=−4y1x1−4，
直线BP方程是y=y1−4x1x+4，令y=0，得x=−4x1y1−4，
所以|AN|⋅|BM|=|4−−4x1y1−4|⋅|4−−4y1x1−4|=16|(x1+y1−4)2(x1−4)(y1−4)|
=16|x12+y12+2x1y1−8x1−8y1+16x1y1−4x1−4y1+16|=16|16+2x1y1−8x1−8y1+16x1y1−4x1−4y1+16|=32，
即|AN|⋅|BM|为定值．
18.解：(1)证明：连接AC，交BD于点O，连接OE．
因为E是PC的中点，O是AC的中点，
所以PA/​/OE，又OE⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，
所以PA//平面EDB．
(2)如图，以DA、DC、DP的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，B(1,2,0)，E(0,1,1)，
所以DB=(1,2,0),DE=(0,1,1)．
设平面EDB的法向量为m=(x,y,z)，则m⊥DB，m⊥DE，
所以DB⋅m=x+2y=0,DE⋅m=y+z=0,令y=−1，得x=2，z=1，所以m=(2,−1,1)，
由题可得，平面PAD的一个法向量为n=(0,1,0)，
设平面EDB和平面PAD的夹角为θ，
则csθ=|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m||n|=1 6= 66，
所以平面EDB和平面PAD夹角的余弦值为 66．
(3)由(2)知，D(0,0,0)，B(1,2,0)，E(0,1,1)，P(0,0,2)，
则EB=(1,1,−1),BP=(−1,−2,2)，BF=λBP=(−λ,−2λ,2λ)(0≤λ≤1)，
EF=EB+BF=(1,1,−1)+(−λ,−2λ,2λ)=(1−λ,1−2λ,−1+2λ)，
由(2)知，平面EDB的一个法向量可为m=(2,−1,1)，
根据题意可得：EF//m，即1−λ−1+2λ=21，解得λ=35，
又当λ=35时，BF=(−λ,−2λ,2λ)=(−35,−65,65)，
所以|BF|= 925+3625+3625=95，则BF的长为95．
综上所述，棱PB上存在一点F，使直线EF⊥平面EDB，且BF的长为95．
19.解：(1)易知|BF2|=2−1=1,|AF2|=2,|AB|= 4+3= 7，
|B′F2′|=4−2=2,|A′F2′|=4,|A′B′|= 16+12=2 7，
所以|BF2||B′F2′|=|AF2||A′F2′|=|AB||A′B′|=12，
所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似，
则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为12．
(2)证明：若两个椭圆是“相似椭圆”，
此时其焦顶三角形的三个对应角相等，

若∠ABO=∠A′B′O′，
则tan∠ABO=|AO||BO|=ba，
tan∠A′B′O′=|A′O′||B′O′|=b′a′，
所以ba=b′a′，
因为e=ca= c2a2= a2−b2a2= 1−b2a2，
e′=c′a′= c′2a′2= a′2−b′2a′2= 1−b′2a′2= 1−b2a2，
所以e=e′；
若离心率相等，
此时ca=c′a′，
所以ba=b′a′，
所以tan∠ABO=|AO||BO|=ba，tan∠A′B′O′=|A′O′||B′O′|=b′a′=ba，
则∠ABO=∠A′B′O′；
同理得tan∠AF2O=|AO||F2O|=bc，tan∠A′F2′O′=|A′O′||F2′O′|=b′c′=bc，
所以∠AF2O=∠A′F2′O′，
可得∠AF2B=∠A′F2′B′；
所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似，
所以两个椭圆是“相似椭圆”，
则两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；
(3)设椭圆C1的半焦距为c，
因为椭圆C2的离心率为e′，椭圆C2与C1相似，
所以椭圆C1的离心率也为e′，
因为S△AF2F1=12⋅2c⋅b=bc，S△AF2B=12ab−12ac=12b(a−c)，
所以△AF2F1的面积与△AF2B的面积之比为2c：(a−c)，
所以△AF2F1的面积为2cSa−c，
因为C1与C2的相似比为k：1，
所以△AF2F1的面积与△AF′2F1′的面积的比为k2：1．
则△AF′2F1′的面积为2cS(a−c)k2=2⋅ca⋅S(1−ca)k2=2e′S(1−e′)k2．