2027年全国高考数学一轮复习讲义 4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

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这是一份2027年全国高考数学一轮复习讲义 4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式，共31页。
(1)公式C(α－β)：cs(α－β)＝cs_αcs_β＋sin_αsin_β；
(2)公式C(α＋β)：cs(α＋β)＝cs_αcs_β－sin_αsin_β；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcs_β－cs_αsin_β；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcs_β＋cs_αsin_β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β).
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcs α；
(2)cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
[常用结论]
1．两角和与差的公式的常用变形
(1)sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β；
(2)cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β；
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
2．降幂公式
sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2).
3．升幂公式
1＋cs 2α＝2cs2α， 1－cs 2α＝2sin2α， 1±sin 2α＝(sin α±cs α)2.
考点一两角和差的应用
考点二二倍角公式的应用
考点三公式的逆用及变形
考点四给角求值
考点五给值求值
考点六给值求角
考点一两角和差的应用
1．（25-26高三上·广东佛山·期中）已知，，则（）
A．B．C．D．
2．（25-26高三上·山东日照·期中）已知是第二象限角，，则（）
A．B．C．D．
3．（25-26高三上·江西南昌·期中）若，且，则等于（）
A．B．C．D．
4．（25-26高三上·四川成都·期中）已知，，，（）
A．B．C．D．
5．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知为第二象限角，，则__________.
6．（25-26高三上·云南·开学考试）已知，且，则（）
A．B．C．D．
考点二二倍角公式的应用
7．（25-26高三上·四川南充·期中）设，则有（）
A．B．C．D．
8．（2026·福建龙岩·三模）已知，则的值为（）
A．B．1C．D．2
9．（25-26高三上·甘肃临夏·期中）已知，则______．
10．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知.
(1)求的值；
(2)求的值
11．（2026·江西·三模）已知，且，则______，______．
12．（2026·辽宁朝阳·三模）已知，则（）
A．B．C．D．
考点三公式的逆用及变形
13．（25-26高三上·江苏扬州·期中）（多选）下列等式正确的是（）
A．B．
C．D．
14．（25-26高三上·江苏淮安·期中）（）
A．0B．C．2D．
15．（25-26高三上·全国·课堂例题）___________．
16．（25-26高三上·甘肃天水·期中）（）
A．B．C．D．
17．（25-26高三上·浙江·阶段检测）（多选）下列等式正确的是（）
A．
B．
C．
D．
18．（25-26高三上·江苏南京·期中）（多选）下列等式计算正确的是（）
A．B．
C．D．
考点四给角求值
19．（25-26高三上·全国·课堂例题）（）
A．B．C．D．
20．（25-26高三上·四川绵阳·期中）（多选）计算下列各式，结果为的是（）
A．B．
C．D．
21．（25-26高三上·广东茂名·期末）已知函数.
(1)若为第二象限角，且，求的值；
(2)若，且，求的值.
22．（25-26高三上·山东淄博·期中）（多选）下列化简正确的是（）
A．B．
C．D．
23．（25-26高三上·四川遂宁·期中）（多选）下列各式的值为的是（）
A．B．C．D．
24．（25-26高三上·广东·期中）计算的值为__________.
考点五给值求值
25．（2026·陕西榆林·模拟预测）若，，则（）
A．B．C．D．
26．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）（1）已知，，求的值；
（2）已知角，，且，，求和的值．
27．（25-26高三上·四川资阳·期中）已知为锐角，，，则=（）
A．B．C．D．或
28．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，求的值．
29．（25-26高三上·广东深圳·期中）已知均为锐角，且，，则________.
30．（2026·山东泰安·模拟预测）已知，若，则（）
A．B．C．D．
考点六给值求角
31．（25-26高三上·全国·课堂例题）已知，其中，求：
(1)；
(2)
32．（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知函数.
(1)化简；
(2)若，求的值；
(3)若，，且，均为锐角，求的值.
33．（25-26高三上·广东佛山·期中）已知都是锐角，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
34．（25-26高三上·江苏·期中）已知为锐角，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
35．（25-26高三上·北京·期中）若，并且均为锐角，且，则________．
36．（2026·河北沧州·二模）已知，，若，，则______.
1．（2026·陕西榆林·三模）已知，则（）
A．B．C．D．
2．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知为第四象限角，，则（）
A．B．C．D．
3．（2026·福建·模拟预测）已知，若，则（）
A．B．C．D．
4．（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知，且，则的值为（）
A．B．C．D．
5．（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知，，则（）
A．B．C．D．
6．（25-26高三上·重庆·期中）设，且，，则（）
A．B．C．D．
7．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知，则（）
A．1B．C．D．
8．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，，若，，则（）
A．B．C．D．
9．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）下列计算结果正确的是（）
A．
B．
C．
D．
10．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）下列说法正确的是（）
A．B．
C．D．
11．（25-26高三上·山东淄博·阶段检测）（多选）若，，且，，则以下说法正确的是（）
A．B．C．D．
12．（25-26高三上·江西·期中）（多选）已知、均为第一象限角，且，，则下列选项正确的有（）
A．B．
C．D．
13．（25-26高三上·全国·课后作业）已知，则___________．
14．（25-26高三上·重庆綦江·期中）已知为锐角，，则__________．
15．（25-26高三上·贵州毕节·期中）已知，且，则______.
16．（25-26高三上·江苏南京·期中）若，则__________.
17．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知锐角满足，
(1)求的值.
(2)求的大小.
18．（25-26高三上·江西赣州·期中）已知
(1)求的值;
(2)求的值.4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cs(α－β)＝cs_αcs_β＋sin_αsin_β；
(2)公式C(α＋β)：cs(α＋β)＝cs_αcs_β－sin_αsin_β；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcs_β－cs_αsin_β；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcs_β＋cs_αsin_β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β).
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcs α；
(2)cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
[常用结论]
1．两角和与差的公式的常用变形
(1)sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β；
(2)cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β；
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
2．降幂公式
sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2).
3．升幂公式
1＋cs 2α＝2cs2α， 1－cs 2α＝2sin2α， 1±sin 2α＝(sin α±cs α)2.
考点一两角和差的应用
考点二二倍角公式的应用
考点三公式的逆用及变形
考点四给角求值
考点五给值求值
考点六给值求角
考点一两角和差的应用
1．（25-26高三上·广东佛山·期中）已知，，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】.
2．（25-26高三上·山东日照·期中）已知是第二象限角，，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式得出的值，再利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求解即可.
【详解】因为是第二象限角，且，
所以，
故.
3．（25-26高三上·江西南昌·期中）若，且，则等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据同角三角函数的关系，可得的值，根据两角和的正弦公式，整理计算，即可得答案.
【详解】由，，得，
所以.
4．（25-26高三上·四川成都·期中）已知，，，（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据同角三角函数值的关系求，，再结合两角和差公式运算求解.
【详解】因为，，，
则，，
所以.
5．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知为第二象限角，，则__________.
【答案】
【详解】因为为第二象限角，由可得，
所以，则.
6．（25-26高三上·云南·开学考试）已知，且，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式可得出的值，利用二倍角的正弦公式可得出，利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正切公式可求得的值.
【详解】因为，所以，
又，则，
所以，则，
故.
考点二二倍角公式的应用
7．（25-26高三上·四川南充·期中）设，则有（）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，
，
，因为在上单调递增，
所以，又因为，所以
即，综上.
8．（2026·福建龙岩·三模）已知，则的值为（）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【分析】结合二倍角公式和同角三角函数的基本关系求值.
【详解】因为，
所以，
所以，
即.
9．（25-26高三上·甘肃临夏·期中）已知，则______．
【答案】
/
【详解】注意到，令，已知，
由二倍角公式，代入得.
10．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知.
(1)求的值；
(2)求的值
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数关系计算可得结果；
（2）利用二倍角公式以及两角和的余弦公式直接计算可得结果.
【详解】（1）∵，，∴，
可得，；
（2）易知，，
∴.
11．（2026·江西·三模）已知，且，则______，______．
【答案】 /
【分析】根据题意，结合求得，进而结合二倍角公式求得，再结合，根据正弦差角公式求解即可.
【详解】因为，所以．
因为，所以．
因为，
所以.
．
因为，
所以
．
12．（2026·辽宁朝阳·三模）已知，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先应用两角和正弦公式得出，再结合同角三角函数关系及二倍角正弦公式求解.
【详解】由，得，则，
所以，即得，
由，得．
考点三公式的逆用及变形
13．（25-26高三上·江苏扬州·期中）（多选）下列等式正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】逆用和差角公式及二倍角公式逐项化简判断.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B错误
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
14．（25-26高三上·江苏淮安·期中）（）
A．0B．C．2D．
【答案】B
【详解】
.
15．（25-26高三上·全国·课堂例题）___________．
【答案】/0.5
【分析】根据诱导公式及逆用两角和的余弦公式求解即可.
【详解】因为，，
，
所以
.
16．（25-26高三上·甘肃天水·期中）（）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以.
17．（25-26高三上·浙江·阶段检测）（多选）下列等式正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】，所以A错误；
，所以B正确；
，所以C正确；
，所以D正确.
18．（25-26高三上·江苏南京·期中）（多选）下列等式计算正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根据两角和的余弦公式可判断A，根据二倍角的余弦公式可判断B，根据两角和的正切公式可判断C，根据两角差的正切公式可判断D.
【详解】A，根据两角和的余弦公式：，
代入，可得，
再代入，有，错误；
B，根据二倍角的余弦公式：，
代入，可得，
再代入，有，错误；
C，根据两角和的正切公式：，
代入，可得，
再代入，有，即，
所以，正确；
D，根据两角差的正切公式：，
代入，可得，
再代入，有，正确.
考点四给角求值
19．（25-26高三上·全国·课堂例题）（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用两角差的正弦公式计算即可求解.
【详解】
.
故选：D.
20．（25-26高三上·四川绵阳·期中）（多选）计算下列各式，结果为的是（）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据辅助角公式判断A，根据二倍角公式及两角和的余弦公式判断B，直接求值判断C，根据两角和的正切公式判断D.
【详解】对于A：
，故A正确；
对于B：
，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：AD
21．（25-26高三上·广东茂名·期末）已知函数.
(1)若为第二象限角，且，求的值；
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)结合诱导公式化简，再利用同角的关系求值；
(2)使用换元法化简原式后计算即可.
【详解】（1）化简得，
因为，所以 ①，
又因为 ②，
联立①②式解得：，
因为为第二象限角，故，
所以，的值为.
（2）由（1）可知，因为，所以，
设，则，，，
由，得，
由.得，
所以
.
22．（25-26高三上·山东淄博·期中）（多选）下列化简正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用两角差的正切公式可判断A，利用两角差的余弦公式可判断B，利用二倍角公式及两角差的正弦公式判断C，利用二倍角公式及诱导公式判断D.
【详解】对于A：因为，
则，
所以，故A正确；
对于B：
，故B正确；
对于C：
，故C错误；
对于D：
，故D正确；
故选：ABD
23．（25-26高三上·四川遂宁·期中）（多选）下列各式的值为的是（）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据题意结合三角恒等变换逐项分析运算即可判断.
【详解】对于选项A：，故A正确；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D错误；
故选：AB.
24．（25-26高三上·广东·期中）计算的值为__________.
【答案】/
【分析】利用降幂公式及两角和的余弦公式计算可得.
【详解】

故答案为：
考点五给值求值
25．（2026·陕西榆林·模拟预测）若，，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用二倍角公式及两角和的正余弦公式可得
【详解】因为，所以，故．又，
所以，．所以．
所以．
26．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）（1）已知，，求的值；
（2）已知角，，且，，求和的值．
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）先对已知式子进行平方，再相加结合正弦差角公式求解；
（2）根据题意，利用倍角公式及同角三角函数的关系求出、、，再由展开计算即可．
【详解】（1），
得，
解得；
（2），，，，
，，
又，，
．
27．（25-26高三上·四川资阳·期中）已知为锐角，，，则=（）
A．B．C．D．或
【答案】B
【详解】因为为锐角，，所以.
因为，所以，且，
所以，
所以
.
28．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，求的值．
【答案】
【分析】通过对条件平方，再结合同角三角函数平方关系、两角差余弦公式即可求解.
【详解】由题意，①
②
①+②得
所以．
29．（25-26高三上·广东深圳·期中）已知均为锐角，且，，则________.
【答案】/0.6
【分析】求出的值，再利用两角和差公式展开，联立方程求出与的关系，即可得到的值.
【详解】因为均为锐角，即，，所以，.
，故，则：，
即，
已知，则，
所以，即，
，即，
所以.
30．（2026·山东泰安·模拟预测）已知，若，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意利用二倍角的余弦公式化为关于的一元二次方程，即可求得的值，结合角的象限从而求得．
【详解】因为，
所以，即，
化简得，解得（舍去）或，
因为，所以.
考点六给值求角
31．（25-26高三上·全国·课堂例题）已知，其中，求：
(1)；
(2)
【答案】(1)7
(2)
【详解】（1）由题设；
（2）由，且，
所以，故.
32．（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知函数.
(1)化简；
(2)若，求的值；
(3)若，，且，均为锐角，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）.
（2），即，
.
（3）因为，均为锐角，所以，
因为，，
所以，解得.
33．（25-26高三上·广东佛山·期中）已知都是锐角，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数关系式和正弦两角和公式计算即可；
（2）利用诱导公式五六，同角三角函数关系式以及两角和与差的余弦公式分析求解即可.
【详解】（1）因为是锐角，，所以，
由，解得：，
所以.
（2）由得：，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
由
，
又，所以.
34．（25-26高三上·江苏·期中）已知为锐角，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由齐次式及同角三角函数的商数关系即可求解；
（2）由同角三角函数的平方关系及二倍角公式即可求解；
（3）由两角差的正弦公式及各象限三角函数的符号即可求解．
【详解】（1）.
（2）因为为锐角，所以，
由，设，
由得，（舍去负值），
所以，则．
（3）为锐角，则，所以，
又，所以，则，
由，又，所以，
所以，
则
，
因为，所以，
所以．
35．（25-26高三上·北京·期中）若，并且均为锐角，且，则________．
【答案】/
【分析】由题意知，，，进而得，，再根据，结合余弦差角公式求得，最后根据余弦函数性质即可求得答案.
【详解】因为均为锐角，且，即，
所以，，，
所以
因为，
所以，
，
所以，
因为，
所以
36．（2026·河北沧州·二模）已知，，若，，则______.
【答案】
【分析】借助同角三角函数基本关系计算可得，再结合角的范围，利用两角和的正切公式计算即可得.
【详解】因为，，所以，
因为，所以，又，所以，
又因为，所以，所以，
又，
所以.
1．（2026·陕西榆林·三模）已知，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，得，解得，
所以.
2．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知为第四象限角，，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意可得，
因为为第四象限角，所以，，
所以.
3．（2026·福建·模拟预测）已知，若，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意得，，所以，
即，即，
因为，所以，，所以，.
4．（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知，且，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由条件结合两角差的正弦公式可得，根据平方关系求，再根据二倍角余弦公式及两角和余弦公式求结论.
【详解】因为，又，
所以，即，
又，
所以，
因为，所以，，
所以，
所以.
5．（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知，，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接由同角三角函数关系式及两角和的正弦公式可得.
【详解】因为，因此，由同角三角函数基本关系式，
且，得，
根据正弦和角公式.
6．（25-26高三上·重庆·期中）设，且，，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，
，
，，
，
，
．
7．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知，则（）
A．1B．C．D．
【答案】D
【详解】由，得，
又，所以．
8．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，，若，，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意得，利用同角关系式和两角差的余弦公式求解.
【详解】因为，，所以，
已知，所以，
因此，
已知，，所以，
则
.
9．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）下列计算结果正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】利用辅助角公式即可判断A；根据两角和的正切公式即可判断B；根据两角和的正切公式及二倍角公式即可判断C；利用商数关系化切为弦，再结合平方关系及二倍角公式即可判断D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，
，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D，
，故D错误.
10．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）下列说法正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】，，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.
11．（25-26高三上·山东淄博·阶段检测）（多选）若，，且，，则以下说法正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】由的范围可以求出的范围，结合，可以将的范围缩小到一定的范围，从而求出的取值；再结合的取值范围，可以求得和的范围，求出值后，利用配凑法，求出的取值，最后结合其范围得出的值.
【详解】因为，所以，且因为，
所以，则，
则，所以正确；
由可得，又因为，
利用不等式的性质可得，，
所以，
则，
又因为，所以，所以正确.
故选:
12．（25-26高三上·江西·期中）（多选）已知、均为第一象限角，且，，则下列选项正确的有（）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【详解】，，
结合为第一象限角可得，故A正确；
由可得，
、均为第一象限角，，故，故B正确；
，故C正确；
由为第一象限角可得，，故D错误．
13．（25-26高三上·全国·课后作业）已知，则___________．
【答案】
【详解】．
14．（25-26高三上·重庆綦江·期中）已知为锐角，，则__________．
【答案】
【分析】借助同角三角函数基本关系及两角差的正弦公式计算即可得.
【详解】由，为锐角，则，
由为锐角，则，又，故，
则，
故
，
又为锐角，故.
15．（25-26高三上·贵州毕节·期中）已知，且，则______.
【答案】
【详解】由，，可得，
则，，
则.
16．（25-26高三上·江苏南京·期中）若，则__________.
【答案】-3
【详解】由，
则.
17．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知锐角满足，
(1)求的值.
(2)求的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同角三角关系可得，再结合倍角公式运算求解；
（2）先根据同角三角关系求，再利用两角和差公式可求，即可得结果.
【详解】（1）因为，
则
所以；
（2）因为，则，
则，
且，所以.
18．（25-26高三上·江西赣州·期中）已知
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数的基本关系求出和的值，然后利用两角差的正弦公式可求出的值；
（2）利用两角和的余弦公式求出的值，并求出角的取值范围，即可求出的值.
【详解】（1）且，.
且，
因此，；
（2）由（1）知，，，，
，
、，，
因此，.