高考数学第一轮复习复习第4节　余弦定理和正弦定理（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第4节　余弦定理和正弦定理（讲义），共22页。

1.借助向量的运算,通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能运用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
2.能运用余弦定理、正弦定理解决三角形形状的判断问题.
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中,若内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则
2.三角形常用面积公式
(1)S=12a·ha(ha表示边 a上的高).
(2)S=12absin C=12acsin B=12bcsin A.
(3)S=12r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A+B)=sin C;
(2)cs(A+B)=-cs C;
(3)sinA+B2=csC2;
(4)csA+B2=sinC2.
2.三角形中的射影定理
在△ABC中,a=bcs C+ccs B;b=acs C+ccs A;c=bcs A+acs B.
3.在△ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cs A1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=2,A=30°,则B等于( D )
A.30°B.45°
C.135°D.45°或135°
解析:根据正弦定理asinA=bsinB,得sin B=bsinAa=2×121=22,由于b=2>1=a,所以B=45°或135°.
3.(2021·全国甲卷)在△ABC中,已知B=120°,AC=19,AB=2,则BC等于( D )
A.1B.2
C.5D.3
解析:法一 由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BCcs B,
得BC2+2BC-15=0,
解得BC=3或BC=-5(舍去).
法二 由正弦定理ACsinB=ABsinC,得sin C=5719,从而cs C=41919(C是锐角),所以sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcs C+cs Bsin C=32×41919-12×5719=35738.又ACsinB=BCsinA,所以BC=3.
3.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是( C )
A.有一解
B.有两解
C.无解
D.有解但解的个数不确定
解析:由正弦定理bsinB=csinC,
得sin B=bsinCc=40×3220=3>1.
所以角B不存在,即满足条件的三角形不存在.
4.在△ABC中,a=2,b=3,C=60°,则c= ,△ABC的面积= .
解析:易知c=4+9-2×2×3×12=7,
△ABC的面积等于12×2×3×32=332.
答案:7 332
5.在△ABC中,acs A=bcs B,则这个三角形的形状为 .
解析:由正弦定理,得sin Acs A=sin Bcs B,即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=π2,所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
答案:等腰三角形或直角三角形
利用正弦定理、余弦定理解三角形
[例1] (2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asin C.
(1)证明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cs∠ABC.
(1)证明:因为BDsin∠ABC=asin C,
所以在△ABC中,由正弦定理,得BD·b=ac,
又b2=ac,所以BD·b=b2,
又b>0,所以BD=b.
(2)解:如图所示,过点D作DE∥BC交AB于E,
因为AD=2DC,
所以AEEB=ADDC=2,DEBC=23,
所以BE=c3,DE=23a.
在△BDE中,cs∠BED=BE2+DE2-BD22BE·DE=
c29+4a29-b22×c3×2a3=c2+4a2-9b24ac=c2+4a2-9ac4ac,
在△ABC中,cs∠ABC=AB2+BC2-AC22AB·BC=
c2+a2-b22ac=c2+a2-ac2ac.
因为∠BED=π-∠ABC,
所以cs∠BED=-cs∠ABC,
所以c2+4a2-9ac4ac=-c2+a2-ac2ac,
化简得3c2+6a2-11ac=0,
方程两边同时除以a2,
得3(ca)2-11(ca)+6=0,
解得ca=23或ca=3.
当ca=23,即c=23a时,
cs∠ABC=c2+a2-ac2ac=49a2+a2-23a243a2=712;
当ca=3,即c=3a时,
cs∠ABC=c2+a2-ac2ac=9a2+a2-3a26a2=76>1(舍去).
综上,cs∠ABC=712.
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程(组),通过解方程(组)求得未知元素.
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系.
[针对训练] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+asin A=bsin B+csin C.
(1)求A的值;
(2)设D是线段BC的中点,若c=2,AD=13,求a 的值.
解:(1)根据正弦定理,
由bsin C+asin A=bsin B+csin C,
可得bc+a2=b2+c2,
即bc=b2+c2-a2,
由余弦定理可得,cs A=b2+c2-a22bc=12,
因为A为三角形内角,
所以A=π3.
(2)因为D是线段BC的中点,c=2,AD=13,
∠ADB+∠ADC=π,
则cs∠ADB+cs∠ADC=0,
所以AD2+BD2-AB22AD·BD+AD2+DC2-AC22AD·DC=0,
即13+a24-22213·a2+13+a24-b2213·a2=0,
整理得a2=2b2-44,
又a2=b2+c2-2bccs A=b2+4-2b,
所以b2+4-2b=2b2-44,
解得b=6或b=-8(舍去),
因此a2=2b2-44=28,
所以a=27.
三角形形状判断
[例2] 在△ABC中,已知sinA+sinCsinB=b+ca且还满足①a(sin A-sin B)=(c-b)(sin C+sin B);②bcs A+acs B=csin C中的一个条件,试判断△ABC的形状,并写出推理过程.
解:由sinA+sinCsinB=b+ca及正弦定理得a+cb=b+ca,即ac+a2=b2+bc,所以a2-b2+ac-bc=0,
所以(a-b)(a+b+c)=0,所以a=b.
即△ABC为等腰三角形.
若选①,则△ABC为等边三角形.
由a(sin A-sin B)=(c-b)(sin C+sin B)及正弦定理,得a(a-b)=(c-b)(c+b),
即a2+b2-c2=ab.
所以cs C=a2+b2-c22ab=12,
又C∈(0,π),所以C=π3.
所以△ABC为等边三角形.
若选②,则△ABC为等腰直角三角形.
因为bcs A+acs B=b·b2+c2-a22bc+a·a2+c2-b22ac=2c22c=c=csin C,
所以sin C=1,又C∈(0,π),所以C=π2,
所以△ABC为等腰直角三角形.
判断三角形形状的两种途径
[针对训练] 在△ABC中,c-a2c=sin2B2(a,b,c分别为内角A,B,C的对边),则△ABC的形状为( )
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
解析:c-a2c=sin2B2=1-csB2,
即cs B=ac.
法一 由余弦定理得a2+c2-b22ac=ac,
即a2+c2-b2=2a2,
所以a2+b2=c2.
所以△ABC为直角三角形,无法判断两直角边是否相等.故选A.
法二 由正弦定理得cs B=sinAsinC,
又sin A=sin(B+C)=sin Bcs C+cs Bsin C,
所以cs Bsin C=sin Bcs C+cs Bsin C,
即sin Bcs C=0,又sin B≠0,
所以cs C=0,又角C为三角形的内角,
所以C=π2,所以△ABC为直角三角形,无法判断两直角边是否相等.故选A.
和三角形面积有关的问题
[例3] (2022·浙江卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=5c,cs C=35.
(1)求sin A的值;
(2)若b=11,求△ABC的面积.
解:(1)由正弦定理asinA=csinC,
得sin A=a·sinCc.
因为cs C=35,所以sin C=45,
又ac=54,所以sin A=5sinC4=55.
(2)由(1)知sin A=55,
因为a=5c4所以0所以cs A=255,
所以sin B=sin(π-B)=sin(A+C)=sin Acs C+cs Asin C=55×35+255×45=11525.
因为bsinB=csinC,
即1111525=c45,
所以c=45,
所以S△ABC=12bcsin A=12×11×45×55=22.
与三角形面积有关问题的解题策略:(1)利用正弦、余弦定理解三角形,求出三角形的相关边、角之后,直接求三角形的面积.(2)把面积作为已知条件之一,与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
[针对训练] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且BA→·AC→+2S3=0,其中S是△ABC的面积,C=π4.
(1)求cs B的值;
(2)若S=24,求a的值.
解:(1)由BA→·AC→+2S3=0,
得3bccs A=2×12bcsin A,得sin A=3cs A,
即sin2A=9cs2A=9(1-sin2A),
所以sin2A=910,
又A∈(0,3π4),
所以sin A>0,
所以cs A>0,
故sin A=31010,cs A=1010,
故cs B=-cs(A+C)=-cs Acs C+sin Asin C=-1010×22+31010×22=105×22=55.
(2)S=24,所以bcsin A=48,得bc=1610,①
由(1)知cs B=55,cs A=1010,
所以sin B=255,
在△ABC中,由正弦定理,得bsinB=csinC,
即b255=c22,②
联立①②,解得b=8,c=210,
则a2=b2+c2-2bccs A=72,
所以a=62.
[例1] (2022·山东临沂二模)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,即在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c(aS=12(ab)2-(a2+b2-c22) 2.根据此公式,若acs B+(b-2c)cs A=0,且b2+c2-a2=2,则△ABC的面积为( )
A.24B.34
C.22D.32
解析:由正弦定理可知acs B+(b-2c)cs A=0化简为sin Acs B+(sin B-2sin C)cs A=0,
sin Acs B+sin Bcs A=2sin Ccs A,
即sin(A+B)=sin C=2sin Ccs A,
因为sin C≠0,
所以cs A=22,
cs A=b2+c2-a22bc=22⇔22bc=22,
解得bc=1,
根据面积公式可知
S=12(bc)2-(b2+c2-a22) 2=121-12=24.故选A.
[例2] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知C=60°,b=6,c=3,则A= .
解析:由正弦定理,得
sin B=bsinCc=6sin60°3=22,
所以B=45°或135°,
因为b所以B故B=45°,
所以A=75°.
答案:75°
[选题明细表]
1.已知在△ABC中,A=π6,B=π4,a=1,则b等于( D )
A.2B.1C.3D.2
解析:由正弦定理asinA=bsinB⇒b=asinBsinA=2.
2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=7,a=1,B=2π3,则c等于( B )
A.5B.2C.3D.3
解析:由余弦定理b2=a2+c2-2accs B,
得7=1+c2+c,解得c=2或-3(舍去).
3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为a2+b2-c24,则C等于( C )
A.π2B.π3C.π4D.π6
解析:根据题意及三角形的面积公式知
12absin C=a2+b2-c24,
所以sin C=a2+b2-c22ab=cs C,
所以在△ABC中,C=π4.
4.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bsin 2A=asin B,且c=2b,则ab等于( D )
A.2B.3C.2D.3
解析:由正弦定理及bsin 2A=asin B,
得2sin Bsin Acs A=sin Asin B,
又sin A≠0,
sin B≠0,则cs A=12.
又c=2b,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs A=b2+4b2-4b2×12=3b2,得ab=3.
5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cbA.钝角三角形B.直角三角形
C.锐角三角形D.等边三角形
解析:由cb又B∈(0,π),所以sin B>0,
所以sin C即sin(A+B)所以sin Acs B<0.
因为在三角形中sin A>0,所以cs B<0,
即B为钝角,所以△ABC为钝角三角形.
6.(多选题)对于△ABC,有如下判断,其中正确的是( ABD )
A.若cs A=cs B,则△ABC为等腰三角形
B.若△ABC为锐角三角形,有A+B>π2,则sin A>cs B
C.若a=8,c=10,B=60°,则符合条件的△ABC有两个
D.若sin2A+sin2B解析:对于A,若cs A=cs B,则A=B,所以△ABC为等腰三角形,故A正确;
对于B,若A+B>π2,
则π2>A>π2-B>0,
所以sin A>cs B,故B正确;
对于C,由余弦定理可得
b=82+102-2×8×10×12=84,只有一解,故C错误;
对于D,若sin2A+sin2B7.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60°,a2+c2=3ac,则b= .
解析:由题意得S△ABC=12acsin B=34ac=3,则ac=4,所以a2+c2=3ac=3×4=12,
所以b2=a2+c2-2accs B=12-2×4×12=8,
则b=22.
答案:22
8.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目:问有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.意思是已知三角形沙田的三边长分别为13里,14里,15里,求三角形沙田的面积.则该沙田的面积为 平方里.
解析:由题意画出△ABC,且AB=13里,BC=14里,AC=15里,在△ABC中,由余弦定理得,cs B=AB2+BC2-AC22AB·BC=132+142-1522×13×14=513,所以sin B=1-cs2B=1213,则该沙田的面积S=12AB·BC·sin B=12×13×14×1213=84(平方里).
答案:84
9.(2022·全国甲卷)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD= .
解析:设BD=k(k>0),则CD=2k.根据题意作出大致图形,如图.在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcs∠ADB=22+k2-2×2k·(-12)=k2+2k+4.
在△ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-
2AD·CDcs∠ADC=22+(2k)2-2×2×2k·
12=4k2-4k+4,
则AC2AB2=4k2-4k+4k2+2k+4=4(k2+2k+4)-12k-12k2+2k+4=4-12(k+1)k2+2k+4=4-12(k+1)(k+1)2+3=4-12k+1+3k+1,
因为k+1+3k+1≥23(当且仅当k+1=3k+1,即k=3-1时,等号成立),所以AC2AB2≥4-1223=4-23=(3-1)2,所以当ACAB取得最小值3-1时,BD=k=3-1.
答案:3-1
10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-3bc=a2,bc=3a2,则角C的大小是( A )
A.π6或2π3B.π3
C.2π3D.π6
解析:由b2+c2-3bc=a2,
得b2+c2-a2=3bc,
则cs A=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32,
因为0由bc=3a2及正弦定理,
得sin Bsin C=3sin2A=3×14=34,
即4sin(C+A)sin C=4sin(C+π6)sin C=3,
整理得3cs 2C=sin 2C,
则tan 2C=3,又0<2C<5π3,
即2C=π3或4π3,即C=π6或2π3.
11.(多选题)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,C为钝角,且c-b=2bcs A,则下列结论正确的是( ABD )
A.a2=b(b+c)B.A=2B
C.0解析:因为c-b=2bcs A,所以由余弦定理得c-b=2b·b2+c2-a22bc,因此c(c-b)=b2+c2-a2,整理得a2=b(b+c),故A正确;因为c-b=2bcs A,所以由正弦定理得sin C-sin B=2sin Bcs A,即sin(A+B)-sin B=2sin Bcs A,
所以sin Acs B-sin Bcs A=sin B,所以sin(A-B)=sin B,由于C是钝角,所以A-B=B,即A=2B,故B正确;由于A=2B,且C>90°,所以0°12.(2022·山东滨州二模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+c=4,且sin A,sin B,sin C成等差数列,则△ABC的面积的最大值为 .
解析:因为sin A,sin B,sin C成等差数列,
所以2sin B=sin A+sin C,
由正弦定理可得2b=a+c,又a+c=4,
所以2b=4,即b=2,
所以由余弦定理可得22=a2+c2-2accs B=(a+c)2-2ac-2accs B,即ac(1+cs B)=6,
又22=a2+c2-2accs B≥2ac-2accs B,即2≥ac(1-cs B),当且仅当a=c时,等号成立,
所以2×6≥ac(1-cs B)·ac(1+cs B)=
(acsin B)2,
因为sin B>0,所以acsin B≤23,
所以S△ABC=12acsin B≤3,
当且仅当a=c时,等号成立,
所以△ABC的面积的最大值为 3.
答案:3
13.在①(a-c)(sin A+sin C)=b(sin A-sin B);②2ccs C=acs B+bcs A;③△ABC的面积为12c(asin A+bsin B-csin C)这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 .
(1)求C;
(2)若D为AB的中点,且c=2,CD=3,求a,b的值.
解:(1)选择①.
根据正弦定理得(a-c)(a+c)=b(a-b),
整理得a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,
所以cs C=a2+b2-c22ab=12.
因为C∈(0,π),所以C=π3.
选择②.
根据正弦定理有
sin Acs B+sin Bcs A=2sin Ccs C,
所以sin(A+B)=2sin Ccs C,
即sin C=2sin Ccs C.
因为C∈(0,π),所以sin C≠0,
从而有cs C=12,故C=π3.
选择③.
因为12casin B=12c(asin A+bsin B-csin C),
所以asin B=asin A+bsin B-csin C,
即ab=a2+b2-c2,
由余弦定理,得cs C=a2+b2-c22ab=ab2ab=12.
又因为C∈(0,π),所以C=π3.
(2)在△ACD中,由余弦定理得,
AC2=AD2+CD2-2AD·CDcs∠ADC,
即b2=1+3-23cs∠ADC.
在△BCD中,由余弦定理得,
BC2=BD2+CD2-2BD·CDcs∠BDC,
即a2=1+3-23cs∠BDC.
因为∠ADC+∠BDC=π,
所以cs∠ADC=-cs∠BDC,
所以a2+b2=8.
由C=π3及c=2,得a2+b2-4=ab,
所以ab=4,
从而a2+b2-2ab=0,
所以a=b=2.
14.(2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=32,sin B=13.
(1)求△ABC的面积;
(2)若sin Asin C=23,求b.
解:(1)由S1-S2+S3=32,
得34(a2-b2+c2)=32,
即a2-b2+c2=2,
又a2-b2+c2=2accs B,
所以accs B=1.
由sin B=13,
得cs B=223或cs B=-223(舍去),
所以ac=322=324,
则△ABC的面积
S=12acsin B=12×324×13=28.
(2)由sin Asin C=23,ac=324及正弦定理知b2sin2B=acsinAsinC=32423=94,
即b2=94×19=14,得b=12.
15.(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知csA1+sinA=sin2B1+cs2B.
(1)若C=2π3,求B;
(2)求a2+b2c2的最小值.
解:(1)因为csA1+sinA=sin2B1+cs2B,
所以csA1+sinA=2sinBcsB1+2cs2B-1,
所以csA1+sinA=sinBcsB,
所以cs Acs B=sin B+sin Asin B,
所以cs(A+B)=sin B,
所以sin B=-cs C=-cs2π3=12,
因为B∈(0,π3),
所以B=π6.
(2)由(1)得cs(A+B)=sin B,
所以sin[π2-(A+B)]=sin B,
且0所以0所以π2-(A+B)=B,解得A=π2-2B,
由正弦定理得a2+b2c2
=sin2A+sin2Bsin2C
=sin2A+sin2B1-cs2C
=sin2(π2-2B)+sin2B1-sin2B
=cs22B+sin2Bcs2B=(2cs2B-1)2+1-cs2Bcs2B
=4cs4B-5cs2B+2cs2B
=4cs2B+2cs2B-5
≥24cs2B·2cs2B-5
=42-5,当且仅当cs2B=22时,取等号,
所以a2+b2c2的最小值为42-5.
定理
正弦定理
余弦定理
内容
(1)asinA=bsinB=csinC=2R
(2)a2=b2+c2-2bccs A;
b2=c2+a2-2cacs B;
c2=a2+b2-2abcs C
变形
(3)a=2Rsin A,
b=2Rsin B,
c=2Rsin C;
(4)sin A=a2R,
sin B=b2R,
sin C=c2R;
(5)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;
(6)asin B=bsin A,bsin C=csin B,
asin C=csin A
(7)cs A=b2+c2-a22bc;
cs B=c2+a2-b22ac;
cs C=a2+b2-c22ab
知识点、方法
题号
利用正弦、余弦定理解三角形
1,2,4,9,10,11
判断三角形的形状
5,6
与面积有关的解三角形问题
3,7,8,12
综合
13,14,15