2025--2026学年江苏省南京市第一中学高二下学期期中考试数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年江苏省南京市第一中学高二下学期期中考试数学试题-含解析试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 函数的定义域为（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则“”是“与相互独立”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（ ）
A. 24B. 54C. 72D. 120
8. 已知函数为上的奇函数，，且，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知一组数据是公差不为零的等差数列，若去掉首末两项，则（ ）
A. 平均数不变B. 中位数不变
C. 方差不变D. 极差变小
10. 在正方体中，点，分别为棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，已知此截面是一个多边形，则（ ）
A. 为梯形B. 为五边形
C. 平面D. 平面
11. 数字1，2，3，4，5，6按如图形式随机排列，设第一行的数为，第二、三行中的最大数分别为，第二、三行中的最小数分别为，则（ ）
A. 排列总数为720个B. 的概率为
C. 的概率为D. 满足的排列有120个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若直线是曲线的一条切线，则___________．
13. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为X，则___________
14. 随机将1，2，…，8这8个连续正整数分成A，B两组，每组4个数，记表示A组中最大的数与最小的数之和，表示B组中最大的数与最小的数之和．则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
16. 中国是茶的故乡，茶文化源远流长，博大精深.某兴趣小组，为了了解当地居民对喝茶的态度，随机调查了100人，并将结果整理如下：
（1）是否有90%的把握认为该地居民喜欢喝茶与年龄有关？
（2）以样本估计总体，用频率代替概率.该兴趣小组在当地喜欢喝茶的人群中，随机选出2人参加茶文化艺术节.抽取的2人中，35岁以下的人数记为，求的分布列与期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
17. 已知函数，为的导函数
（1）求的单调增区间；
（2）记，.当时，证明：.
18. 如图，在三棱锥中，为正三角形，是棱的中点，，，．
（1）证明：；
（2）点满足，且平面
（i）求的值；
（ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值．
19. 一个微生物在如图所示方格的培养皿中随机移动，每次均以相等概率移动到相邻的方格．方格是初始位置，是营养丰富的角落，每次到达方格时，微生物进行一次繁殖．记该微生物第次繁殖时所经过的总移动步数为．
（1）求；
（2）求；
（3）求．
参考公式：
1．若，对于，则；
2．若是离散型随机变量，则．
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.
1. 函数的定义域为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：
思路：根据函数的解析式得到不等式组，求解不等式组即可.
解答过程：根据题意有：，即，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C
2. 若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：举例说明判断ACD；利用不等式性质推理判断B.
解答过程：对于A，令，满足，而，A错误；
对于B，由，得，，则，B正确；
对于CD，令，满足，而，，CD错误.
故选：B
3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
解答过程：对于A，因为在上单调递增，所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
4. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据题意结合正态分布的对称性可得答案.
解答过程：因为随机变量服从正态分布，即，
所以.
故选：B.
5. 已知，则“”是“与相互独立”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：C
解析：
思路：根据条件概率公式、独立事件的乘法公式可分析命题之间的充要性.
解答过程：，
，即与相互独立；
若与相互独立，则，
，
综上，“”是“与相互独立”的充要条件.
故选：C.
6. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：因为，
令，得到，所以.
7. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（ ）
A. 24B. 54C. 72D. 120
答案：B
解析：
思路：安排方案可分3步完成，第一步先安排乙，再安排甲，最后安排其他同学完成，由分步乘法原理求满足条件的方案数.
解答过程：满足要求的方案可分3步完成，第一步先安排乙，乙可以排在第2,3,4位，有3种安排方法，第二步安排甲，有3种安排方法，第三步再安排其他同学，有种安排方法，由分步乘法原理满足条件的安排方法有54种.
8. 已知函数为上的奇函数，，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据奇函数性质及迭代法求出且时，，然后结合组合数的概念，利用二项式系数的性质求解即可.
解答过程：函数为上的奇函数，，且，
所以当且时，，，所以，
所以，
所以
.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知一组数据是公差不为零的等差数列，若去掉首末两项，则（ ）
A. 平均数不变B. 中位数不变
C. 方差不变D. 极差变小
答案：ABD
解析：
思路：根据题意，结合等差数列的性质，由平均数，中位数，方差以及极差的计算公式，逐一检验，即可得到结果.
解答过程：对于A，的平均数为，
若去掉首末两项，则平均数为，故A正确；
对于B，的中位数为，若去掉首末两项，
则中位数为，故B正确；
对于C，设公差为，则，的平均数为，
则方差为
，
若去掉首末两项，平均数为，
方差为
，
因为，所以，故C错误；
对于D，设公差为，则，的极差为，
的极差为，因为，所以，
极差变小，故D正确.
故选：ABD.
10. 在正方体中，点，分别为棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，已知此截面是一个多边形，则（ ）
A. 为梯形B. 为五边形
C. 平面D. 平面
答案：BD
解析：
思路：以为原点建立边长为的空间直角坐标系确定各已知点坐标，确定截面形状后判断AB，通过空间向量的垂直关系判断C，通过 可判断D.
解答过程：
如上图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为，则各点坐标为:
选项A：延长交于点，交于，
连接交于，连接交于，
则共面，
由上图可知，截面是一个五边形，而非梯形，选项A错误，B正确；
选项C：若平面，则与平面中的每一条直线都是垂直的，
，，
此时，则与平面并不垂直，选项C错误；
选项D：由三角形中位线定理可知，平行于，且，
又因为平面，而平面，所以平面，选项D正确.
11. 数字1，2，3，4，5，6按如图形式随机排列，设第一行的数为，第二、三行中的最大数分别为，第二、三行中的最小数分别为，则（ ）
A. 排列总数为720个B. 的概率为
C. 的概率为D. 满足的排列有120个
答案：ABC
解析：
思路：A全排列即可；B利用排列组合知识求出所有情况，再结合古典概型的概率公式；C计算满足的所有情况；D根据分、、三种情况讨论.
解答过程：共有种排法，故A正确；
若，则可取，共有种排法，
则的概率为，故B正确；
现讨论的所有情况，
若，则第三行其余两数从中选取，，，共有种；
若，则第三行其余两数是，共有种，
则的概率为，故C正确；
若，则，，，
若，则先将安排下去，再排列其他元素，共有种；
若，则在第三行，先另选一个元素与共同排在第三行，再安排元素，最后排列其他元素即可，共有种；
若，则须在第三行，共有种；
则满足的排列有个，故D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若直线是曲线的一条切线，则___________．
答案：
解析：
思路：根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解.
解答过程：设切点为，
由于，则，解得，
于是切点为，则，解得．
13. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为X，则___________
答案：0
解析：
思路：确定的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据期望公式计算.
解答过程：因为质点从出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动次，所以质点最终所在位置的坐标的可能取值为，，，.
表示质点次都向左移动，每次向左移动的概率为，由于每次移动是相互独立事件，根据独立事件同时发生的概率公式可得.
表示质点次移动中有次向左移动，次向右移动，从次移动中选次向左移动的组合数为，每次向左移动的概率为，每次向右移动的概率也为，
所以.
表示质点次移动中有次向右移动，次向左移动，从次移动中选次向右移动的组合数为每次向右移动的概率为，每次向左移动的概率为，
所以.
表示质点次都向右移动，每次向右移动的概率为，所以.
所以
故答案为：.
14. 随机将1，2，…，8这8个连续正整数分成A，B两组，每组4个数，记表示A组中最大的数与最小的数之和，表示B组中最大的数与最小的数之和．则______．
答案：
解析：
思路：先求出，再求出且的概率，最后根据条件概率的计算公式可求.
解答过程：1，2，…，8这个数中两个数和为9共有4种情况：，
不可能作为组中最大的数与最小的数，也不可能作为组中最大的数与最小的数，
故当4个不同的数中最大数与最小数和为时，最大数、最小数可为，
故，而且的概率为
故，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）解不等式化简集合A，进而可求交集；
（2）分析可知，结合包含关系列式求解即可.
（1）因为集合，
若，则集合，所以.
（2）若“”是“”的充分条件，可知，
且集合，，
则，解得，
所以的取值范围是．
16. 中国是茶的故乡，茶文化源远流长，博大精深.某兴趣小组，为了了解当地居民对喝茶的态度，随机调查了100人，并将结果整理如下：
（1）是否有90%的把握认为该地居民喜欢喝茶与年龄有关？
（2）以样本估计总体，用频率代替概率.该兴趣小组在当地喜欢喝茶的人群中，随机选出2人参加茶文化艺术节.抽取的2人中，35岁以下的人数记为，求的分布列与期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
答案：（1）没有90%的把握认为该地居民喜欢喝茶与年龄有关
（2）分布列见解析，
解析：
思路：（1）根据列联表计算得出的值即可得出结论；
（2）易知的所有取值可能为0，1，2，分别计算出对应概率可得分布列及其期望值.
（1）零假设为：该地居民喜欢喝茶与年龄没有关系.
根据列联表中的数据，可以求得.
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，
即没有90%的把握认为该地居民喜欢喝茶与年龄有关.
（2）的取值可能为0，1，2.
则；；.
所以的分布列为：
所以的期望为.
17. 已知函数，为的导函数
（1）求的单调增区间；
（2）记，.当时，证明：.
答案：（1）
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）求导，由求解即可；
（2）令，通过求导，确定最值即可证明.
（1）.
令，得，
得，
因此单调递增区间为.
（2），记.
由题意知，则，
从而.
当时，，，则，
因此，在区间上单调递减，.
当时， .
18. 如图，在三棱锥中，为正三角形，是棱的中点，，，．
（1）证明：；
（2）点满足，且平面
（i）求的值；
（ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值．
答案：（1）
已知，，
由勾股定理得，
又是AB中点，且由题意得为等腰直角三角形，故，且，
在正中，是AB中点，故，且，
在中，有，故，
又，且平面PAB，故平面PAB，
又平面PAB，因此．
（2）（i）；（ii）
解析：
思路：（1）利用几何性质求出PD、CD的长，利用勾股定理可得，再结合线面垂直的性质即可证明；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，（i）根据求出E点的坐标，再求出平面PAE的法向量，结合平面即可求出的值；（ii）进一步求出PBC的法向量，利用空间向量法即可求解．
（1）略
（2）（i）由（1）可知，PD、CD、AB三者之间两两互相垂直，
所以以为原点，建立空间直角坐标系，如下图所示，
由题意及（1）可得，，，，，
所以，，，
由，得，又，，
设平面PAE的法向量为，则可得，
解得（*），因为平面PAE，所以，
即，联立（*）可解得．
（ii）由前述可知，所以对于平面PAE的法向量为，
有，令，则，
设平面PBC的法向量为，又，
则，可得，令，则，
所以两平面夹角的余弦值．
19. 一个微生物在如图所示方格的培养皿中随机移动，每次均以相等概率移动到相邻的方格．方格是初始位置，是营养丰富的角落，每次到达方格时，微生物进行一次繁殖．记该微生物第次繁殖时所经过的总移动步数为．
（1）求；
（2）求；
（3）求．
参考公式：
1．若，对于，则；
2．若是离散型随机变量，则．
答案：（1）
（2）3 （3）
解析：
思路：（1）根据事件的概率公式计算得到结果；
（2）解法1，先根据题意分析得到，结合期望公式和错位相减法计算得到结果；解法2，根据期望的性质计算得到答案；
（3）根据期望的性质公式计算得到结果；
（1）微生物经历奇数次移动必然到达区域，之后有的概率到达区域，有的概率到达区域，
微生物在区域或者区域时，下一步必然到达区域．
（2）解法1：微生物第1次到达区域所经历的步数必然为：，
若微生物经历次移动第1次到达区域，则前面步必然在区域与区域之间移动，
且最后2步是由区域到区域，接着到达区域，于是
，则
不妨设，
于是
则
化简可得，，
由题意可知， ，所以；
解法2：由微生物在2次移动后，有的概率经过区域到达区域，
有的概率经过区域回到区域，
于是，
解得， ；
（3）解法1：初始位置时微生物第次到达区域累计移动次数为，
设初始位置时微生物第次到达区域累计移动次数为，
初始位置为时粒子第次到达区域累计移动次数为（初始位置不记为到达），
当时，于是：，
即，
化简有，又由，有
，
即，
又由，于是．
解法2：不妨设微生物从区域出发，第一次到达区域，需要的次数为随机变量，当时，，
微生物由区域出发第1次到达区域所经历的步数必然为：，
若微生物经历次移动第1次到达区域，则前面步必然在区域与区域之间移动，
且最后2步是由区域到区域，接着到达区域，于是
，则，
由（2）知
于是
又由，于是．
解法3：当时，易知微生物第次到达区域所经历的步数可能为：
，
当微生物通过步第次到达区域时，前面的步中，
在奇数步中，必然到达区域，偶数步中，有次到达区域，对应的概率为，
且最后2步移动以的概率回到．
于是，则
不妨记
于是
则，
又由，于是，
则．
又由时也符合上式，于是对于均有．
说明：视每2次移动为1次实验，易知1次实验中，必然有1次到达，有1次到达或者．即每次实验有的概率到达，有的概率不到达．于是为使到达事件次，平均需要进行实验次，于是需要移动次．不喜欢喝茶
喜欢喝茶
合计
35岁以上（含35岁）
30
30
60
35岁以下
25
15
40
合计
55
45
100
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
不喜欢喝茶
喜欢喝茶
合计
35岁以上（含35岁）
30
30
60
35岁以下
25
15
40
合计
55
45
100
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
0
1
2