江苏省南京市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（含答案解析）

这是一份江苏省南京市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（含答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分)
1. 的值是（ ）
2. 已知向量，，若，则（ ）
3. 在复平面内，复数对应的向量，则（ ）
4. 在中，若，则（ ）
5. 若，则（ ）
6. 在中，若，则是（ ）
7. 在菱形中，，，，，若，则（ ）
8. 在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 计算下列各式，结果为的是（ ）
10. 关于复数，，下列说法正确的是（ ）
11. 东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”．如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．对于图2．下列结论错误的是（ ）

三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
12. 已知向量，，若，则与夹角的余弦值为______．
13. 若函数的图像关于直线对称，则___________.
14. 在锐角中，，且的面积为3，过分别作于，于，则__________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
15. 已知为虚数单位，复数．
(1)当实数取何值时，是纯虚数；
(2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数的值．
16. 已知，．
(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
17. 为了便于市民运动，市政府准备对道路旁边部分区域进行改造.如图，在道路的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数时的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧.
(1)求的值和的大小；
(2)若计划在圆弧步道所对应的扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点Q在半径上，另外一个顶点P在圆弧上，且，求矩形面积最大时应取何值，并求出最大面积？
18. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.
(1)若向量的“完美坐标”为，求；
(2)已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；
(3)若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域.
19. 已知的面积为9，点D在BC边上，．
(1)若，，
①证明：；
②求AC；
(2)若，求AD的最小值．
江苏省南京市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：三角函数与解三角形、平面向量、复数、等式与不等式
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．0
C．1
D．
A．或3
B．或2
C．0或2
D．3或2
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．若，则
B．若，则或
C．
D．若，则，中至少有一个是虚数
A．这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形
B．若，则
C．若，则
D．若是的中点，则的面积是面积的5倍
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
5
较易
3
适中
6
较难
5
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
逆用和、差角的余弦公式化简、求值
2
0.94
由向量共线（平行）求参数
3
0.94
求复数的模；复数的向量表示
4
0.94
正弦定理解三角形
5
0.94
二倍角的余弦公式；诱导公式二、三、四
6
0.65
用和、差角的余弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式；特殊角的三角函数值
7
0.65
数量积的坐标表示；利用数量积求参数；用坐标表示平面向量
8
0.4
求三角形中的边长或周长的最值或范围；三角恒等变换的化简问题；正弦定理边角互化的应用
二、多选题
9
0.65
用和、差角的正弦公式化简、求值；辅助角公式；用和、差角的正切公式化简、求值；二倍角的余弦公式
10
0.85
复数的基本概念；复数加减法的代数运算；共轭复数的概念及计算
11
0.4
正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用；正、余弦定理判定三角形形状
三、填空题
12
0.85
向量夹角的坐标表示；已知向量垂直求参数
13
0.65
正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系；辅助角公式
14
0.4
三角形面积公式及其应用；用定义求向量的数量积；已知正（余）弦求余（正）弦；诱导公式二、三、四
四、解答题
15
0.85
已知复数的类型求参数；复数范围内方程的根；复数的相等
16
0.65
二倍角的余弦公式；给值求角型问题；已知正（余）弦求余（正）弦；正、余弦齐次式的计算
17
0.65
求含sinx(型)函数的值域和最值；由图象确定正（余）弦型函数解析式；三角函数在生活中的应用；三角恒等变换的化简问题
18
0.4
求含sinx(型)函数的值域和最值；向量新定义；数量积的运算律；数量积的坐标表示
19
0.4
正弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；基本不等式求和的最小值
序号
知识点
对应题号
1
三角函数与解三角形
1,4,5,6,8,9,11,13,14,16,17,18,19
2
平面向量
2,7,12,14,18
3
复数
3,10,15
4
等式与不等式
19