2025--2026学年江苏省南京市第一中学高二下学期6月期末检测数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年江苏省南京市第一中学高二下学期6月期末检测数学试题-含解析试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知随机变量X服从正态分布，若，，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
2. “”是“”的（ ）条件
A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要
3. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（ ）
A. 0B. C. 2D. 4
6. 已知，设函数的最大值是，最小值是，则（ ）
A. B. C. D.
7. 某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对通义千问、DeepSeek、豆包这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（ ）
A. 144B. 114C. 94D. 78
8. 若，则＝（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下列式子正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数则下列说法正确的有（ ）
A. 当时，有两个极值点
B. 若有两个零点，则
C. 若有两个零点，则在上单调递减
D. 若恒成立，则
三、填空题
12. 已知，，则_________.
13. 的展开式中的系数为________.（用数字作答）
14. 已知曲线和存在一条过坐标原点的公切线，则实数________．
四、解答题
15. 随着老年人口数量快速增加和消费理念的转变，银发经济迎来发展机遇期.某健康科技公司为响应国家“促进银发经济高质量发展”的号召，研发了一款面向高龄群体的智能护理设备.为确保产品质量，公司对生产的护理设备进行抽样检测，每台设备的检测结果相互独立.已知每台设备的检测结果为一等品的概率为为二等品的概率为现从该公司生产的设备中随机抽取3台进行检测，设检测结果为一等品的设备数量为.
（1）求的分布列和数学期望；
（2）若每台一等品设备可获利5万元，每台二等品设备可获利2万元，记随机抽取的 3 台设备共获利万元，求的数学期望和方差.
16. 为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物试验，根据300个样本的数据，得到如下列联表：
单位：只
（1）从该样本中任选1个，记“该动物未服用药物”为事件，记“该动物患疾病”为事件．根据上表数据，用频率估计概率，分别估计，，并由此直观判断药物对预防疾病是否有效，简要说明理由；
（2）能否有99%的把握认为药物对预防疾病有效？
附：，
17. 已知，，，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
18. 设函数，为函数的导函数.
（1）求证：；
（2）设函数.
（i）讨论的单调性；
（ii）若时，，求实数的取值范围.
19. 如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至．
（1）若，
（i）证明：平面平面；
（ii）求二面角的大小；
（2）求与平面所成角的正弦值的范围．
数学
一、单选题
1. 已知随机变量X服从正态分布，若，，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
答案：C
解析：
解答过程：因为X服从正态分布，所以正态曲线关于对称，
又因为，则，
且，即，
可知a与3是关于对称的，所以．
2. “”是“”的（ ）条件
A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要
答案：A
解析：
解答过程：若“”，则“”，所以“”“”；
若“”，则或，即或；
所以“”推不出“”；
所以“”是“”的充分非必要条件.
3. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：由对数和指数函数的单调性比较可得.
解答过程：，，，
所以.
故选：A.
4. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：直接由基本不等式的变形不等式可得关于的一元二次不等式，进而可得最小值.
解答过程：因为，，且，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，
即，得，因为，所以.
由代入，解得，
因此当，的最小值为.
5. 已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（ ）
A. 0B. C. 2D. 4
答案：A
解析：
思路：根据题意，推得是以为周期的周期函数，得到，结合，即可求解.
解答过程：由函数是定义在R上的奇函数，可得，且，
又由是偶函数，即函数的图象关于轴对称，
可得函数的图象关于对称，即，
因为，可得，
即，所以函数是以为周期的周期函数，
可得
因为，可得，
所以.
6. 已知，设函数的最大值是，最小值是，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：先得到函数的对称中心，从而得到为奇函数，利用奇函数性质得到结果.
解答过程：，
故函数水平渐近线为，当时，趋向于，
故对称中心的纵坐标为，
联立与得，
由上述分析知的图像关于点对称，
变形函数，令，
则
，
则在上是奇函数，
故有，即，．
7. 某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对通义千问、DeepSeek、豆包这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（ ）
A. 144B. 114C. 94D. 78
答案：B
解析：
思路：使用先分组后分配，间接法求解.
解答过程：将5位同学分为三组并分配到三种模型共有：种方法，若小李和小赵调研同一种模型共有：种方法，
所以若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为：种方法.
8. 若，则＝（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：将已知等式两侧平方相加，应用差角正弦公式化简得，从而有，代入整理得，并将化为求，即可得.
解答过程：由题设，则，
所以，可得，
由，则，故，
代入，则，
所以，则，
所以，
所以.
二、多选题
9. 下列式子正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：ABC
解析：
思路：应用辅助角公式、二倍角正余弦公式及正切公式、和角正切公式依次判断各项的正误.
解答过程：A：，正确；
B：，正确.
C：因为，所以，正确；
D：因为，所以，错误.
10. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：ACD
解析：
思路：根据概率的加法公式及条件概率公式求解.
解答过程：，故A对.
，故B错.
，故C对.
，
，故D对.
故选：ACD.
11. 已知函数则下列说法正确的有（ ）
A. 当时，有两个极值点
B. 若有两个零点，则
C. 若有两个零点，则在上单调递减
D. 若恒成立，则
答案：BCD
解析：
思路：利用导数研究函数的单调性，极值，最值，依次判断选项即可.
解答过程：；当时，，令，解得：，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以只有唯一极值点，故A错误
，在上单调递减，在上单调递增；
当时，，当时，，
若有两个零点，则，所以，所以B正确，
由B选项知在上单调递减，在上单调递增且，
所以在上递减，C正确
恒成立，即恒成立，
，得，下面证明当时，；
当时，，设，
，在上递减，在上递增，
，即，不等式成立，即，D正确.
三、填空题
12. 已知，，则_________.
答案：
解析：
解答过程：因为，，
，即，
，即，
因此.
13. 的展开式中的系数为________.（用数字作答）
答案：
解析：
思路：利用二项式定理求出展开式中含的项即可.
解答过程：的展开式中含有的项为，
所以的系数为.
故答案为：
14. 已知曲线和存在一条过坐标原点的公切线，则实数________．
答案：
解析：
思路：先设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出两曲线在切点处的切线方程，再根据公切线过原点这一条件，联立切线方程求解切点坐标，进而求出实数的值.
解答过程：设直线与曲线相切于点，
由，得，因为与曲线相切，
所以，消去，得，解得，所以，
设与曲线相切于点，由，得，即，解得，
因为是与曲线的公共点，
所以，消去，得，即，解得．
故答案为：
四、解答题
15. 随着老年人口数量快速增加和消费理念的转变，银发经济迎来发展机遇期.某健康科技公司为响应国家“促进银发经济高质量发展”的号召，研发了一款面向高龄群体的智能护理设备.为确保产品质量，公司对生产的护理设备进行抽样检测，每台设备的检测结果相互独立.已知每台设备的检测结果为一等品的概率为为二等品的概率为现从该公司生产的设备中随机抽取3台进行检测，设检测结果为一等品的设备数量为.
（1）求的分布列和数学期望；
（2）若每台一等品设备可获利5万元，每台二等品设备可获利2万元，记随机抽取的 3 台设备共获利万元，求的数学期望和方差.
答案：（1）的分布列为：
数学期望；
（2），.
解析：
思路：（1）求出的可能取值，利用二项分布求出分布列及期望.
（2）利用二项分布的期望、方差，结合期望、方差的性质求解.
（1）的所有可能取值为，，
，
，
所以的分布列为：
数学期望.
（2）设一等品有台，则二等品有台，依题意，，
由（1）得，，
所以的数学期望，
方差.
16. 为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物试验，根据300个样本的数据，得到如下列联表：
单位：只
（1）从该样本中任选1个，记“该动物未服用药物”为事件，记“该动物患疾病”为事件．根据上表数据，用频率估计概率，分别估计，，并由此直观判断药物对预防疾病是否有效，简要说明理由；
（2）能否有99%的把握认为药物对预防疾病有效？
附：，
答案：（1），，有效，理由见解析
（2）有的把握认为药物对预防疾病有效．
解析：
思路：（1）根据条件概率的概念，计算事件的概率，进而判定药物X对预防疾病Y是否有效．
（2）根据独立性检验方法，计算，进而判断药物是否有效.
（1）在（未服用药物）条件下，患疾病的频率为，用频率估计概率，得，
在（服用药物）条件下，患疾病的频率为，用频率估计概率，得
，
未服用药物X的动物患疾病Y的概率约为，而服用药物X的动物患疾病Y的概率约为，两者有较大差异．
因此直观判断，药物X对预防疾病Y有效．
（2）零假设：药物对预防疾病无效，
由列联表得到，
所以有的把握认为药物对预防疾病有效．
17. 已知，，，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用两角和与差的余弦公式展开求解即可；
（2）利用二倍角公式求出，再由同角三角函数基本关系求出，最后利用商数关系可求tanβ即可；
（3）利用两角和公式分别求出，，，，最后利用两角差余弦求解即可.
（1）由题设，，，
∴，，
（2）因为，则，所以
（3）由，
则，
由，
则，
∴，，
又因为，
∴，
而，故.
18. 设函数，为函数的导函数.
（1）求证：；
（2）设函数.
（i）讨论的单调性；
（ii）若时，，求实数的取值范围.
答案：（1）证明见解析
（2）（i）答案见解析；（ii）.
解析：
思路：（1）对函数求导，结合基本不等式即可求解；
（2）（i）由（1）得，分类讨论的取值范围即可；（ii）根据函数的单调性，判断函数的最值即可.
（1）函数，则，当且仅当时等号成立，
所以.
（2）（i）函数，则，
由（1）可知，，
①当时，，在上单调递增；
②当时，令，解得，，
由于，则有，即，
当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（ii）由（i）可知：
①当时，在上单调递增；恒成立；
②当时，在上单调递减，，与题设矛盾，
综上，实数的取值范围是.
19. 如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至．
（1）若，
（i）证明：平面平面；
（ii）求二面角的大小；
（2）求与平面所成角的正弦值的范围．
答案：（1）（i）由题意得，，
，
在中，因为，所以，
又因为，，，
在中，因为，所以，
因为，、平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（ii）.
（2）解析：
思路：（1）（i）利用勾股定理可证得，，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（ii）以为原点，以、所在直线分别为、轴，以平面内过点垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的大小；
（2）设，根据题意得出，结合图形不妨取，所以，并设，，，利用空间向量法结合函数的单调性可求得与平面所成角的正弦值的范围.
（1）（i）略；
（ii）以为原点，以、所在直线分别为、轴，
以平面内过点垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
则、、、，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
易知平面的一个法向量为，
则，
结合图形可知，二面角的平面角为钝角，
所以二面角的大小为.
（2）设，因为，，
即，所以，
结合图形不妨取，所以，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，可得，
设与平面所成角为，
所以，
设，，
由，不妨取，则，所以，
所以
，
令，所以，
因为函数、在上为减函数，
故函数在上为减函数，
故当时，，所以，
所以与平面所成角的正弦值的范围是.
药物
疾病Y
合计
未患病
患病
未服用
80
40
120
服用
150
30
180
合计
230
70
300
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
药物
疾病Y
合计
未患病
患病
未服用
80
40
120
服用
150
30
180
合计
230
70
300
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828