2025--2026学年江苏省南京市第一中学高一下学期6月期末考试数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年江苏省南京市第一中学高一下学期6月期末考试数学试题-含解析试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若复数为纯虚数，则的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知角的终边不在坐标轴上，且，则（ ）
A. B. C. 或1D.
3. 设为两个平面，为两条直线，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则或
4. 下列关于向量的说法中正确的是
A. 若且，则
B. 若，则
C. 向量（）且，则向量与的方向相同或相反
D. 与方向相反，则与的方向相同
5. 如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. 2D.
6. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形或直角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形
7. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．意思是：球的体积V乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d，由此我们可以推测当时球的表面积S计算公式为（ ）
A. B.
C. D.
8. 三棱锥中，平面，为等边三角形，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A. 的平均数等于的平均数
B. 的中位数等于的中位数
C. 的标准差不小于的标准差
D. 的极差不大于的极差
10. 如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（ ）
A. 平面ABCB.
C. 平面D. PQ与MN相交
11. 在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 的取值范围为
C. 的取值范围为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在正方体中，直线与所成的角是__________.
13. 已知复数满足，则的最小值为_________．
14. 已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，除特别说明外，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 近年来，某“医用口罩”生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量．现在该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)， [90，100]，得到如下频率分布直方图．
（1）求出直方图中m的值；
（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数，众数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；
（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个？
16. 如图，四边形是矩形，平面，，点为线段的中点．
（1）求证：平面⊥平面ACE；
（2）求证：平面．
17. 已知向量.
（1）若与共线，，求的值；
（2）设函数，求的值域.
18. 在中，内角所对的边分别为且，
（1）求的值；
（2）若，求的周长；
（3）设内角的平分线交于点，，求面积的最小值．
19. 三棱台中，，面面，，且与底面所成角的正弦值为.
（1）求证：面；
（2）求三棱台的体积；
（3）问侧棱上是否存在点，使二面角成？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数为纯虚数，则的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：由复数的类型有且，求参数m，进而写出的共轭复数.
解答过程：由题意知：且，
∴，即，故的共轭复数是.
故选：A.
2. 已知角的终边不在坐标轴上，且，则（ ）
A. B. C. 或1D.
答案：A
解析：
思路：根据已知条件，由二倍角正弦公式求出，再根据二倍角余弦公式进行求解即可.
解答过程：因为，所以，
因为角的终边不在坐标轴上，所以，
则，由二倍角余弦公式可得：
故选：A.
3. 设为两个平面，为两条直线，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则或
答案：C
解析：
思路：ABD都可以举出反例；C可以利用线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理综合证明.
解答过程：对于A：当直线在平面内时，即，此时也可能满足，但根据定义，直线在平面内，线面不平行，故A错误；
对于B：当时，若，则，此时，不成立，故B错误；
对于C：由，经过直线的平面如果与平面有交线，由线面平行的性质定理知且，又，所以，而，所以，故C正确；
对于D：在正方体中，设平面为平面，平面为平面，则两平面的交线为.设直线为，则，但不与垂直，也不与垂直，故D错误.
故选：C.
4. 下列关于向量的说法中正确的是
A. 若且，则
B. 若，则
C. 向量（）且，则向量与的方向相同或相反
D. 与方向相反，则与的方向相同
答案：C
解析：
思路：
首先根据向量的性质，对选项逐一分析，得到其正确性，得到结果.
解答过程：因为当时，与不一定平行，所以A不正确；
因为模相等的两个向量不一定相等，所以B不正确.
因为与的大小不确定，所以D不正确.
因为向量共线时，其方向是同向或反向，所以C正确；
故选C.
方法提示：该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量共线的条件，相等向量的条件，向量的运算性质，属于简单题目.
5. 如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. 2D.
答案：B
解析：
思路：利用等体积法，由求解即可.
解答过程：由直三棱柱的体积为6，可得，
设到平面的距离为，由，
，，解得，
即到平面的距离为.
故选：B.
6. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形或直角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形
答案：A
解析：
思路：根据正弦定理，结合分类讨论的方法，可得结果.
解答过程：
由
化简得：
当时，
可知△ABC为直角三角形
当时，所以
则
化简得：
即
所以
可知△ABC为等腰三角形
综上所述：
△ABC为等腰三角形或直角三角形
故选：A
方法提示：本题考查利用正弦定理判断三角形的形状，属基础题.
7. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．意思是：球的体积V乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d，由此我们可以推测当时球的表面积S计算公式为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：根据已知条件结合球的体积公式求解出的值，然后根据球的表面积公式求解出的表示，即可得到结果.
解答过程：因为，所以，所以，
所以，
故选：.
8. 三棱锥中，平面，为等边三角形，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：首先作图构造外接球的球心，再根据几何关系求外接球的半径，最后代入三棱锥外接球的表面积公式.
解答过程：如图，点为外接圆的圆心，过点作平面的垂线，
点为的中点，过点作线段的垂线，所作两条垂线交于点，
则点为三棱锥外接球的球心，
因为平面，且为等边三角形，，
所以四边形为矩形，，，
所以，即三棱锥外接球的半径，
则该三棱锥外接球的表面积为.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A. 的平均数等于的平均数
B. 的中位数等于的中位数
C. 的标准差不小于的标准差
D. 的极差不大于的极差
答案：BD
解析：
思路：根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.
解答过程：对于选项A：设的平均数为，的平均数为，
则，
因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小，
例如：，可得；
例如，可得；
例如，可得；故A错误；
对于选项B：不妨设，
可知的中位数等于的中位数均为，故B正确；
对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数，
标准差，
，则平均数，
标准差，显然，即，
所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误；
对于选项D：不妨设，
则，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：BD.
10. 如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（ ）
A. 平面ABCB.
C. 平面D. PQ与MN相交
答案：ACD
解析：
思路：对于A，取的中点，证明，结合线面平行判定定理证明平面，即可判断，对于B，若，则，连接，为的中点，证明，设，，求，推出矛盾，对于C，根据线面垂直判定定理证明结论即可判断，对于D，证明，，由此即可判断.
解答过程：对于A，取的中点D，连接，.
在中，P，D分别为，中点，
，且.
在直三棱柱中，，.
Q为棱的中点，，且.
，.
四边形为平行四边形，从而.
又平面，平面，平面，A正确，
对于B，因为为的中点，若，则，
连接，为的中点，则，又平面，
所以平面，平面，
所以，设，，
则，，
所以，，与矛盾，
所以不成立，B错误，
对于C，在直三棱柱中，平面.
又平面，.，D为中点，.
由选项A的推理知，，.
又，平面，平面，
所以平面，C正确；
对于D，因为为的中点，四边形为矩形，
所以点为的中点，又为的中点，
所以，且，
又分别为的中点，所以，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，故与相交，D正确.
11. 在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 的取值范围为
C. 的取值范围为
D. 的最小值为
答案：AC
解析：
思路：用正弦定理可判断A项，由锐角三角形可判断B项，用倍角公式可判断C项，切化弦后用取等条件即可判断D项.
解答过程：在中，由正弦定理可将式子化为，
把代入整理得，，
解得或，即或（舍去），所以，选项正确；
选项：因为为锐角三角形，，所以，由解得，故选项B错误；
选项C：，因为，所以，，即的取值范围为，故选项C正确；
选项D：，当且仅当即时取等，但因为，所以，无法取到等号，故D错.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在正方体中，直线与所成的角是__________.
答案：##
解析：
思路：由可知所求角为（或其补角），根据长度关系可知为等边三角形，由此可得结果.
解答过程：连接，
，，四边形为平行四边形，，
（或其补角）即为异面直线与所成角，
，为等边三角形，，
即异面直线与所成角为.
故答案为：.
13. 已知复数满足，则的最小值为_________．
答案：##
解析：
思路：根据给定条件，利用复数的几何意义求出最小值.
解答过程：由，得复数在复平面内对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，
又，则表示在复平面内点到点的距离，
所以.
14. 已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______．
答案：
解析：
思路：利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.
解答过程：若，则，
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立；
故.
不妨设，则，
不妨设，，
则，则，
则
，
由，，
则，
故.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，除特别说明外，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 近年来，某“医用口罩”生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量．现在该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)， [90，100]，得到如下频率分布直方图．
（1）求出直方图中m的值；
（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数，众数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；
（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个？
答案：（1）
（2）平均数为71，众数为75，中位数为73.33
（3）一等品有3个和二等品有2个
解析：
思路：（1）由频率分布直方图中各矩形面积之和为1可得答案；
（2）由频率分布直方图中位数，众数，平均数计算方式可得答案；
（3）由题设及分层抽样相关知识可得答案.
（1）由，得．
（2）平均数为，
因为的频率最大，所以众数为，
因为，，
所以中位数在第4组，设中位数为n，
则，解得，
所以可以估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为71，众数为75，中位数为73.33．
（3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品有60个，二等品有40个，
由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品有个，二等品有个，
所以抽取的5个口罩中一等品有3个，二等品有2个．
16. 如图，四边形是矩形，平面，，点为线段的中点．
（1）求证：平面⊥平面ACE；
（2）求证：平面．
答案：（1）证明：因为平面，平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面.
又因为平面，所以平面⊥平面.
（2）证明：
如图，连接交于，连接，
因为四边形是矩形，所以点为线段的中点，
又点为线段的中点，所以.
又因为平面，平面，所以平面.
解析：
思路：（1）通过证明平面可完成证明；
（2）连接交于，连接， 通过证明可完成证明.
（1）略
（2）略
17. 已知向量.
（1）若与共线，，求的值；
（2）设函数，求的值域.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据向量的共线得到，再利用二倍角公式以及弦化切得结果；
（2）根据向量数量积坐标公式以及辅助角公式化简，再根据三角函数性质求值域.
（1）与共线
即
（2）所以当时单调递增，当时单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减
又
所以函数的值域为
18. 在中，内角所对的边分别为且，
（1）求的值；
（2）若，求的周长；
（3）设内角的平分线交于点，，求面积的最小值．
答案：（1）；
（2）；
（3）.
解析：
思路：（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解；
（2）由（1）的信息，配方求出即可得解；
（3）利用三角形面积公式，结合基本不等式求出最小值.
（1）在中，由及正弦定理得，
即，由余弦定理得，而，
所以.
（2）由（1）知，，而，
解得，所以周长的为.
（3）由内角A的平分线交BC于点D，，，
得，即，
因此，即，当且仅当时取等号，
则，所以面积的最小值为.
19. 三棱台中，，面面，，且与底面所成角的正弦值为.
（1）求证：面；
（2）求三棱台的体积；
（3）问侧棱上是否存在点，使二面角成？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
答案：（1）证明：连接，
在梯形中，过作交于，
由，
则为等边三角形,则，
四边形为菱形，则，
所以，即，
因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
又平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面.
（2） （3）存在，
解析：
思路：（1）连接，过作交于，由已知可得，又平面平面，则平面，可得，又，则可得平面.
（2）由已知可得平面平面，过作，连接，可得平面，求得，如图，延长侧棱交于点，作于，连接，可求得，又因为与底面所成角的正弦值为，可求得，即可求得三棱台的体积.
（3）如图，作交于，过作于，则，由（2），可得平面，则即为二面角的平面角，设，则，，由， 可得，
若，可得，即为中点，即侧棱上是存在点，使二面角成，则.
（1）略
（2）因为平面，平面，
所以平面平面，
过作，连接，平面，
平面平面，
则平面，
故几何体的高为，
如图，延长侧棱交于点，作于，连接，
由已知为中点，，
由（1）得，平面，
因为与底面所成角的正弦值为，则余弦值为，
，，，
，
由（1）得，则，
又因为与底面所成角的正弦值为，
所以，
故三棱台体积为.
（3）如图， 作交于，过作于，则，
由（2）可得，平面，
则即为二面角的平面角，
又平面，则，
设，则，
则，
由，得，又，
所以，
若，则，
解得，所以，即为中点，
即侧棱上是存在点，使二面角成，
则.