2025--2026学年江苏南京市中华中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年江苏南京市中华中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了 已知i是虚数单位，则复数， 已知，则等于， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 已知i是虚数单位，则复数（ ）
A. -1B. iC. D. 1
2. 已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则等于（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 直角三角形绕它的一条边旋转得到的几何体是一个圆锥
B. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥
D. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥
5. 在中，角的对边分别为，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则为锐角三角形
B. 若为钝角三角形，则
C. 若，则为等腰直角三角形
D. 若，则符合条件的只有一个
6. 已知，若对于任意的实数m，不等式恒成立，则cs∠BAC＝（ ）
A. B. C. －D.
7. 在中，角的对边分别为，若是的角平分线，点在上，，则（ ）
A. B. C. D. 4
8. 半径为2的圆O上有三点A、B、C满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木等做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，点在弧（含端点）上.下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 的最小值为-2
10. 设是复数，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则的最大值为3
11. 在斜三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则（ ）
A. 为锐角三角形B. 若，则
C. 的最小值为D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若为平面内所有向量的一组基，且，不能作为一组基，则k的值为_____.
13. 若，则________．
14. 已知是的外心（外接圆圆心），，若，且，则的面积为______.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设复数（其中），．
（1）若是实数，求的值；
（2）若是纯虚数，求的虚部以及
16. 如图，在△中，已知，，，分别是线段上两点，且满足 ，.
（1）若，求及的值；
（2）若，求的值.
17. 已知分别为内角的对边，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积；
（3）若是锐角三角形，且，求的取值范围.
18. 某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块三角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界的距离分别为，（为长度单位）.陈某准备过点修建一条长椅（点分别落在，上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.

（1）求点到点的距离；
（2）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值.
19. 定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为.
（1）若，，求最大值及对应的取值集合；
（2）若向量的“积函数”满足，求的值；
（3）已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系.
数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知i是虚数单位，则复数（ ）
A. -1B. iC. D. 1
答案：A
解析：
思路：根据复数的乘除运算即可求解.
解答过程.
故选：A
方法提示：本题考查了复数的四则运算，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
2. 已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：首先利用诱导公式化简.
，可得.
将代入计算，.
所以.
3. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则等于（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：C
解析：
解答过程：因为向量在向量上的投影向量为，故，
又，
所以.
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 直角三角形绕它的一条边旋转得到的几何体是一个圆锥
B. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥
D. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥
答案：D
解析：
思路：根据圆锥，棱台，棱锥的定义及结构特征，逐一分析判断各个选项得解.
解答过程：对于A，直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的几何体不是一个圆锥，故A错误；
对于B，把两个相同的棱台底面重合在一起，就不是棱台，故B错误；
对于C，由棱锥的定义，如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，才是棱锥，故C错误；
对于D，当棱锥的各个侧面的顶角之和是360度时，各侧面构成平面图形，构不成棱锥，
由此推导出如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥，故D正确.
故选：D.
5. 在中，角的对边分别为，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则为锐角三角形
B. 若为钝角三角形，则
C. 若，则为等腰直角三角形
D. 若，则符合条件的只有一个
答案：D
解析：
解答过程：，则，只能说明A为锐角，
不能说明B和C的大小，故不能得到是锐角三角形，故A错误；
若为钝角三角形，但不确定哪个角是钝角，
若角A为锐角，则，所以
若角A为钝角，则，所以，故B错误；
，由正弦定理得：，即，
所以或，故或，
则为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
因为，所以，所以，故符合条件的只有1个，D正确.
6. 已知，若对于任意的实数m，不等式恒成立，则cs∠BAC＝（ ）
A. B. C. －D.
答案：C
解析：
思路：由条件两边平方，利用向量的数量积运算得到关于的不等式恒成立，然后由可得的值.
解答过程：因为，，且关于的不等式恒成立，
所以，
所以，
整理得对于任意实数恒成立，
所以，
所以，，
故选：C.
7. 在中，角的对边分别为，若是的角平分线，点在上，，则（ ）
A. B. C. D. 4
答案：A
解析：
思路：先利用半角公式求出，再根据等面积法进行求解
解答过程：题中已知
由半角公式得
化简得
再化简得，即，
解得或，因为，所以，
是的角平分线，点在上，，
，
，，，
，
化简得，即，
将代入得：，那么，
由余弦定理：
得，即，所以.
8. 半径为2的圆O上有三点A、B、C满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：设与交于点，由题意可得四边形是菱形，利用菱形的性质以及数量积的运算性质可得，由即可求解.
解答过程：
如图：设与交于点，由可得
可得四边形是平行四边形，因为
可得四边形是菱形，且，
所以，，
由图知：，，，
所以，
同理：，，，
所以，
可得，
所以点是圆内一点，所以，所以，
即的取值范围为，
故选：A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木等做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，点在弧（含端点）上.下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 的最小值为-2
答案：BCD
解析：
思路：A选项先利用，再按照数量积运算即可；B选项由平行四边形法则即可判断；C选项通过解方程组即可；D选项先表示出，再结合余弦函数的范围求出最小值.
解答过程：，A错误；
由知，，结合，
故在的平分线上，而，故E为弧的中点，
又，由平行四边形法则可知则，故，B正确.
由知，，
设，则
解得故，C正确.
，，
所以当时，取得最小值，D正确.
10. 设是复数，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则的最大值为3
答案：AD
解析：
思路：根据复数的相关性质逐一分析每个选项.
解答过程：在A选项中，设，，
根据复数模的计算公式可得：，，
已知，则，
两边同时平方可得：，
又因为，
所以​​，A选项正确，
在B选项中，若取，，则，
，则满足，
但，，，B选项错误，
在C选项中，对两边同时平方可得：
，展开可得：
，
化简得：，即，
设，，则，
并不一定有，C选项错误，
在D选项中，说明对应复平面上单位圆，
表示单位圆上的点到点的距离，
原点到的距离为，因此最大距离为，D选项正确.
11. 在斜三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则（ ）
A. 为锐角三角形B. 若，则
C. 的最小值为D.
答案：BCD
解析：
思路：由诱导公式即可判断A，由正弦定理即可判断B，由条件可得，结合基本不等式代入计算，即可判断C，由条件可得，然后换元，结合二次函数的值域，即可判断D.
解答过程：对于A，由可得，
则或，即或，
因为三角形为斜三角形，若，则，，
不符合斜三角形，所以，即为钝角，为钝角三角形，故A错误；
对于B，由正弦定理可得，则，
所以，故B正确；
对于C，由，可得，
且，则，
则
，
当且仅当时，即时，等号成立，故C正确；
对于D，由C可知，，
则，
令，
由可得，则，
所以，故，
且，
所以，
当时，取得最大值，
当或时，最小值为，
所以，故D正确；
故选：BCD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若为平面内所有向量的一组基，且，不能作为一组基，则k的值为_____.
答案：-8
解析：
思路：由题得存在实数λ，使得，把代入计算即得解.
解答过程：因为不能作为一组基，
所以存在实数λ，使得，
即，
则6λ=3，且kλ=-4，解得λ=，k=-8.
故
13. 若，则________．
答案：1
解析：
思路：应用商数关系、差角余弦公式、二倍角公式及诱导公式化简即可.
解答过程：由题意可知，
.
故1.
14. 已知是的外心（外接圆圆心），，若，且，则的面积为______.
答案：
解析：
思路：利用外心的性质和向量数量积求出，进而求出，最后根据三角形面积公式求解.
解答过程：若是的外心，所以在方向上的投影为，
根据向量数量积的几何意义可得：，
因为，则 ，
同理，所以在方向上的投影为，
所以，已知，
所以 ，
又因为，所以两边同时点乘，
即 ，
即 ，
整理得： ，又因为 ，
所以两式相减得： ，因为，故，
又因为是三角形内角，所以，
所以.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设复数（其中），．
（1）若是实数，求的值；
（2）若是纯虚数，求的虚部以及
答案：（1）；
（2） ，
解析：
思路：（1）根据复数的分类即可求解，由复数的乘法运算即可求解，
（2）根据纯虚数的定义即可求解即可根据模长公式求解.
（1）∵是实数，
∴，
∴；.
（2）∵是纯虚数，
∴且，故，
故的虚部为，.
16. 如图，在△中，已知，，，分别是线段上两点，且满足 ，.
（1）若，求及的值；
（2）若，求的值.
答案：（1）；；
（2）.
解析：
思路：（1）利用向量的线性运算和数量积公式求解；
（2）利用余弦定理、正弦定理以及向量的运算求解.
（1）当时，，则为的中点，
所以，即
，
所以，
（2）在△中，由余弦定理得，即，
由正弦定理得，即，解得，
因为，所以，所以，
因为，所以，

，解得或（舍去），
故.
17. 已知分别为内角的对边，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积；
（3）若是锐角三角形，且，求的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）根据正弦定理及三角恒等变换可得，再根据的范围进而即得的大小；
（2）先根据余弦定理及，求出，再根据三角形面积公式求解
（3）利用正弦定理，结合将边转化为角，再由锐角三角形求出的范围，利用三角函数的性质即可求解.
（1）根据正弦定理有
即
展开化简得,
，，，
，,
,
，.
（2）由（1）可知，，
由余弦定理：得，
又，，即，联立
解得，所以.
（3）由正弦定理，
∴.
∴
.
∵为锐角三角形，，
可得 ，解得：，
∴，∴
∴，∴，
∴的范围是.
18. 某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块三角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界的距离分别为，（为长度单位）.陈某准备过点修建一条长椅（点分别落在，上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.

（1）求点到点的距离；
（2）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值.
答案：（1）（m）
（2）时，三角形区域面积最小，最小值为.
解析：
思路：（1）连接，由四边形内角和得，结合余弦定理即可求得，由余弦定理求得的值，进一步结合诱导公式得，再一次，利用正弦定理得，最终在中，由勾股定理列式即可求解；
（2）由三角形面积的两种表示方法得，结合基本不等式得的范围，进一步结合三角形面积公式即可求解.
（1）连接，在四边形中，
因为，所以.
在中，由余弦定理可得
，所以（m）.
因为，所以是四边形外接圆的直径，
所以.
.
（2）因为，
所以，
所以，所以，
当且仅当时等号成立，
因此，.
所以当时，三角形区域面积最小，最小值为.
19. 定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为.
（1）若，，求最大值及对应的取值集合；
（2）若向量的“积函数”满足，求的值；
（3）已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系.
答案：（1）最大值为，的取值集合为
（2） （3），
解析：
思路：（1）由已知可得，根据三角函数的性质求解即可；
（2）令，有已知根据三角恒等变换求解即可；
（3）由已知可得，根据三角函数的有界性可得最大值和与的关系，将代入根据二次函数的性质即可求解.
（1）若，，则，
当时，即，，函数有最大值，
函数的最大值为，对应的取值集合为；
（2），
令，所以，
所以，，
即，，所以；
（3）因为，，
所以
，
所以
，
此时存在满足，，，
当且仅当时等号成立，
所以，
即，，
所以成立，
且，
则，
，
当时有最小值，
所以的最小值为.