2025--2026学年江苏南京外国语学校高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年江苏南京外国语学校高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了 已知复数z满足，则的虚部是， 在中，已知，则， 若圆台有内切球等内容，欢迎下载使用。
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数z满足，则的虚部是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）

A. 12B. 24C. D.
3. 如图，是正弦函数图象上四个点，且在两点处函数值最大，在两点处函数值最小，则（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，已知，则（ ）
A. 120°B. 或C. 60°D. 或
5. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则该圆柱、圆锥、球的表面积之比为（ ）
A. B.
C. D.
6. 在正四面体中，是的中点，是的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知的内角的对边分别为，满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 若圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的余弦值为，则此圆台的表面积与其内切球的表面积之比为（ ）
A. B. 2C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则与夹角的余弦值为D. 若，则在上的投影向量为
10. 已知的内角的对边分别为，且，在边上，且平分，若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 的面积为D.
11. 在长方体中，底面是边长为4的正方形，在棱上，且，则（ ）
A.
B. 过点的平面截该长方体，所得截面周长为
C. 以点为球心，为半径作一个球，则球面与底面的交线长为
D. 三棱锥外接球的体积是
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，已知，当时，的面积为__________．
13. 几何体是由一个正方体切剖一个角得到的，其直观图如图所示．已知，M是上一动点．则的最小值为__________．
14. 如图所示，已知在中，，，，在上，且，在上，且，为与的交点，则________．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，，其中为虚数单位，.
（1）若是实数，求的值；
（2）设复数，对应的向量分别是，，若，求的值.
16. 已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，，且．
（1）求角A
（2）若△ABC为钝角三角形，求△ABC周长的取值范围．
17. 在三棱锥中，是的中点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18. 某湿地公园为方便民众周末游玩，拟建造一个四边形的亲子游乐园，如图所示.为考虑亲子游玩的需求，在四边形区域中，将三角形区域等分为植物园和科学博览园，三角形区域建成游乐场，相互间修建游览小径，连接，其中米，米，．

（1）如果游乐园区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么小径需要修建多长？
（2）考虑到儿童游玩的安全性，在规划四边形区域时，首先保证游乐场的占地面积最大时，再使得植物园的面积尽可能大，求满足条件的的长度．
19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体Γ的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的点，且平面，平面，平面，平面为多面体的所有以为公共点的面．已知平面多边形的外接圆圆心为与的交点，如图①，且，将沿翻折到如图②，连接．
（1）求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）已知直线与直线所成角的余弦值为．
①求四棱锥在顶点处的离散曲率；
②设为线段上的动点（不包括端点），与平面所成角为，二面角的平面角为，其中，求的最大值．
数学
分值：150分
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数z满足，则的虚部是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据复数的除法运算结合复数的概念求解即可.
解答过程：由，得.
所以的虚部是.
2. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）

A. 12B. 24C. D.
答案：A
解析：
解答过程：根据斜二测画法的等量关系可知为直角三角形，
且，，，
所以的面积为．
3. 如图，是正弦函数图象上四个点，且在两点处函数值最大，在两点处函数值最小，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：由题意分别写出的坐标，即可写出、、、向量，再利用平面向量的坐标运算解出答案.
解答过程：由题意知：，，，，
所以，，，，
所以，，
所以.
4. 在中，已知，则（ ）
A. 120°B. 或C. 60°D. 或
答案：D
解析：
解答过程：由正弦定理，
所以，
又，所以
所以或．
5. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则该圆柱、圆锥、球的表面积之比为（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：根据题意，分别求出圆柱、圆锥、球的表面积，即可得到答案.
解答过程：因为一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，
所以圆柱的表面积，
圆锥的表面积，
球的表面积，
则该圆柱、圆锥、球的表面积之比为，
故选：B
6. 在正四面体中，是的中点，是的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：取的中点，连接，，或其补角即为异面直线与所成的角，在中，利用余弦定理求出的长，再在中，利用余弦定理的推论求出即可.
解答过程：
取的中点，连接，，是的中点，
，，
或其补角即为异面直线与所成的角，
设正四面体的棱长为，
是的中点，是的中点，和均为正三角形，
，，且，，
在中，，
在中，，
异面直线与夹角的余弦值为.
故选：A.
7. 已知的内角的对边分别为，满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据同角的三角函数关系及辅助角公式得到，即，结合正余弦定理得到，与联立解得，，结合余弦定理求解即可.
解答过程：由，得
则，所以.
与联立，解得，.
所以.
又，所以.
8. 若圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的余弦值为，则此圆台的表面积与其内切球的表面积之比为（ ）
A. B. 2C. D.
答案：C
解析：
思路：根据含内切球的圆台轴截面中的几何性质求出上下底面半径与内切球半径的关系，再应用圆台、球体表面积求法求结果.
解答过程：设上、下底面半径分别为、，如图，取圆台的轴截面，作，垂足为，

设内切球与梯形两腰分别切于点，知，
由题意知：母线与底面所成角为，则，可得，
即，得，则内切球的半径，
所以圆台表面积，球的表面积
所以.
故选：C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则与夹角的余弦值为D. 若，则在上的投影向量为
答案：ACD
解析：
思路：根据向量共线的坐标表示判断A，根据判断B，根据夹角公式判断C，根据投影向量的定义判断D.
解答过程：对于A：若，则，解得，故A正确；
对于B：若，则，解得，故B错误；
对于C：当时，，所以，
又，所以与夹角的余弦值为，故C正确；
对于D：在上的投影向量为，故D正确.
故选：ACD
10. 已知的内角的对边分别为，且，在边上，且平分，若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 的面积为D.
答案：BCD
解析：
思路：A利用正弦定理化简即可；B在和中利用正弦定理即可；C在中利用余弦定理求得长度即可；D利用即可.
解答过程：对于A，由及正弦定理可得，，
则，
所以，又，所以，所以，
解得，又因为，所以，故A错误；
对于B，由选项A可知，，在边上，且平分，
所以，又，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
两式左右两边分别相除可得，化简得，故B正确；
对于C，由选项B可知，设，则，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
则，故C正确；
对于D，由，得，解得，所以，故D正确.
故选：BCD.
11. 在长方体中，底面是边长为4的正方形，在棱上，且，则（ ）
A.
B. 过点的平面截该长方体，所得截面周长为
C. 以点为球心，为半径作一个球，则球面与底面的交线长为
D. 三棱锥外接球的体积是
答案：BD
解析：
思路：A选项，利用已知PA与PD长，根据勾股定理列出方程计算即可；B选项，通过连接三点，延长之后相交，所得到的平面即为截面，通过三角形关系计算截面周长即可；C选项，通过比较半径和点到平面的距离确定交线的形状为半圆，利用长度关系求出半径，计算交线的长；求三棱锥外接球的体积，利用截面为每个三角形的外接圆，球心必然在过截面圆心垂直于截面的直线上，找到球心构造直角三角形通过勾股定理计算半径即可．
解答过程：设，
在直角中，根据勾股定理得，
在直角中，根据勾股定理得，
解得，故，故A不正确，
延长相交于点，连接交于点，
则截面周长为，
因为，故，故；
同理可知，，
，
又底面是边长为4的正方形，则，
故截面周长为：
，故B正确，
点到底面的距离为1，球的半径为，
设球面与底面（正方形）的交线为半圆，
圆心在线段上且与距离为1，圆的半径，
可得交线长为，故C错误，
在中，，
则的外接圆半径，
显然平面，
因此三棱锥的外接球的球心在线段的中垂线上，
球心到平面的距离为，
则球半径，
故三棱锥的外接球体积为，故D正确．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，已知，当时，的面积为__________．
答案：##1.5
解析：
思路：由平面向量数量积的定义及三角形面积公式即可求解．
解答过程：由已知得，
当时, ，
所以．
13. 几何体是由一个正方体切剖一个角得到的，其直观图如图所示．已知，M是上一动点．则的最小值为__________．
答案：
解析：
思路：以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，则即为所求的最小值，理由余弦定理运算求解.．
解答过程：以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，
因为，所以，所以三点共线，
在中，根据正弦定理可得，
可得，
所以的最小值为.
故答案为.
14. 如图所示，已知在中，，，，在上，且，在上，且，为与的交点，则________．
答案：
解析：
思路：设，，以为基底，表示出，，利用平面向量数量积的有关运算求与的夹角即可.
解答过程：设，，与的夹角为，
则，，
因为，．
所以，
又，，所以．
又因为，所以，即向量，的夹角．
故
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，，其中为虚数单位，.
（1）若是实数，求的值；
（2）设复数，对应的向量分别是，，若，求的值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由复数的乘法法则计算，根据它是实数求得值，代入即得；
（2）写出向量，由向量垂直的数量积表示求出，然后由平方关系求得结论.
（1）因是实数，
则，即，又，，则，即，
此时；
（2）由题意可知，
则，，
因为，
所以
，
即，又因为，
所以，故.
16. 已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，，且．
（1）求角A
（2）若△ABC为钝角三角形，求△ABC周长的取值范围．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由已知可得，利用正弦定理角化边可得，从而利用余弦定理即可求解；
（2）不妨设B为钝角，则，由正弦定理可得，从而根据正弦型函数的图象与性质即可求解.
（1）解：∵，，
∴，
由正弦定理可得，即，
所以，又，
所以；
（2）解：因为，，所以由正弦定理有，
因为△ABC为钝角三角形，，不妨设B为钝角，则，所以，
所以
，
因为，所以，所以，
所以，即，所以，
所以△ABC周长的取值范围为.
17. 在三棱锥中，是的中点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）连接，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证.
（2）作于F，结合余弦定理求出，再利用几何法求出线面角的正弦.
（1）连接，由为中点，得，
由，得，，
因此，而平面，则平面，
又平面，所以平面平面.
（2）在平面内过点D作于F，连接，
由平面平面，平面平面，于是平面，
即为直线与平面所成角，在中，，
则，，
因此，，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18. 某湿地公园为方便民众周末游玩，拟建造一个四边形的亲子游乐园，如图所示.为考虑亲子游玩的需求，在四边形区域中，将三角形区域等分为植物园和科学博览园，三角形区域建成游乐场，相互间修建游览小径，连接，其中米，米，．

（1）如果游乐园区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么小径需要修建多长？
（2）考虑到儿童游玩的安全性，在规划四边形区域时，首先保证游乐场的占地面积最大时，再使得植物园的面积尽可能大，求满足条件的的长度．
答案：（1）米
（2）米
解析：
思路：（1）由米，米，结合三角形面积公式求得，根据同角三角函数关系式求得，利用余弦定理求得；
（2）由三角形的面积为，知当时，取得最大值，因此的面积取得最大值，求出.因为植物园和科学博览园等分区域，所以要使植物园的面积尽可能大，须使 区域面积尽可能大.由三角形面积公式知，由余弦定理及基本不等式可得的最大值，及此时的长度.
（1）（1）由题可知，所以.
因为，所以.
若，则由余弦定理得.
所以所以是锐角，
因为，所以是锐角三角形，与是钝角三角形矛盾，所以.
所以.
所以
所以小径BD需要修建米.
（2）的面积为，当时，取得最大值，最大值为1，
因此的面积最大为平方米.
此时，.
因为植物园和科学博览园等分区域，所以要使植物园的面积尽可能大，须使 区域面积尽可能大.
的面积为.
由余弦定理，得，
所以，即.
当且仅当时，等号成立.
所以植物园面积最大值为平方米，此时米.
19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体Γ的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的点，且平面，平面，平面，平面为多面体的所有以为公共点的面．已知平面多边形的外接圆圆心为与的交点，如图①，且，将沿翻折到如图②，连接．
（1）求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）已知直线与直线所成角的余弦值为．
①求四棱锥在顶点处的离散曲率；
②设为线段上的动点（不包括端点），与平面所成角为，二面角的平面角为，其中，求的最大值．
答案：（1）2 （2）① ；②
解析：
思路：（1）利用多面体在各顶点处的离散曲率计算公式计算即得；
（2）①过点作交于，连接，可推得即为直线与直线所成角或其补角，依次求出，，利用求出，即得利用离散曲率计算公式即可求得；
②先证明平面平面，过作于，过作于，连接，证明平面，可推得为与平面所成角，为二面角的平面角，即，计算得到，利用差角的正切公式化简得到，借助于基本不等式即可求得其最大值.
（1）因为，，，内角和均为，四边形内角和为，
则四棱锥在各顶点处的离散曲率和为；
（2）① 过点作交于，连接，
则即为直线与直线所成角或其补角，
因，平面多边形的外接圆圆心为与的交点，
则圆的直径，连接，则易得等边三角形，故有，
所以，，所以，
在中，因，解得．
即，可得：
则得，
即四棱锥在顶点处的离散曲率为
②因为，所以为二面角的平面角，
因为，所以，则平面平面．
过作于，过作于，连接，
因平面，平面平面，故平面，
因平面，则，
又平面，则平面，
因平面，则，故为与平面所成角，
为二面角的平面角，则，
因为，所以，
则得，因，则，
故，
当且仅当时，等号成立．
则的最大值为．