2025--2026学年江苏南京师范大学附属中学高一下学期期中考试数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年江苏南京师范大学附属中学高一下学期期中考试数学试题-含解析试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ）
A. B. C. D. 2
2. 已知是空间两条直线，是一个平面，若”是“m∥n”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，已知，，则（ ）
A. B. C. D. 或
5. 已知向量，的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知，，且，，则为（ ）
A. B. C. D. 或
7. 已知向量，满足，则在（为非零向量）上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，角 的对边分别为 ，且满足，的平分线交于点D，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设，为复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论正确的有（ ）
A. 若，则或
B. 若，，，则
C. 若，则
D. 一定为实数
10. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱和棱AB上的动点，记过点，E，F的平面截正方体表面所得的图形为，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 若E，F分别是所在棱的中点，则平面
C. 若E，F分别是所在棱的中点，则为五边形
D. 存在点E，使得平面
11. 已知分别是斜三个内角的对边，且对恒成立．则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. 若，则的面积最大值为3D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在锐角中，已知，，，则的面积等于______
13. 在三棱锥中，底面是正三角形，且侧面均为正三角形．已知点E是棱的中点，则异面直线和所成角的余弦值为______
14. 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆O于点，若，则的值为______
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数，．
（1）求证：；
（2）若，且，求．
16. 如图，在四棱锥中，分别是的中点，且底面是菱形．
（1）求证：平面；
（2）若平面，且，求直线与平面的夹角．
17. 当今世界已步入人工智能时代，智能机器人已深度融入生产生活．“五一”假期，智能机器人“行知1号”登上某景区旁的山顶，俯瞰景区时观测到：该景区中央为一片湖泊，距离岸边不远处的湖面上有三座高出湖面、处在同一海拔高度的圆形观景台（与岸边有道路相连），记三个观景台的圆心分别为A，B，C，的下方均为湖面，且连接观景台与湖边的道路均不在内．“行知1号”机器人还观测到：圆形观景台的直径均为8m；为锐角三角形，它的三边满足关系式：．根据上述条件，解答下列问题：
（1）定义：若三角形中存在两个角，，满足，则称该三角形为“倍角三角形”，称角为“幸运角”．试问是否为“倍角三角形”？若是，请求出“幸运角”的取值范围；若不是，请说明理由；
（2）若观景台圆心间距，，求围成区域内湖面的面积（内观景台部分的面积，不计入湖面面积；结果保留）．
18. 在中，已知a，b，c分别三个内角A，B，C的对边，且，点D为边AB上一点．
（1）求角C；
（2）已知D是边AB上一点，．
①若，求的最小值；
②若存在，使得，且，求的周长．
19. 设函数．
（1）求的值；
（2）求方程的最小的9个正实数解之和；
（3）已知a，b均为正实数，若对都有恒成立，求的最大值．
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．
1. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ）
A. B. C. D. 2
答案：D
解析：
思路：先利用复数除法求得复数z，进而求得复数z的虚部
解答过程：由，可得
则复数z的虚部为2
故选：D
2. 已知是空间两条直线，是一个平面，若”是“m∥n”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：C
解析：
思路：分别讨论充分性和必要性，即可选出答案．
解答过程：充分性：由直线和平面垂直的性质定理，可知“若，则”能够推出，故充分性成立；必要性：当时，若，显然成立．
故若，则“”是“”的充要条件，故选C.
方法提示：本题考查了直线和平面垂直的性质定理，及平行线的性质，属于基础题．
3. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：先得到的范围，求出sinα+π3，再根据“凑角法”由两角差的正弦公式进行求解即可.
解答过程：∵α∈0,π2,∴α+π3∈π3,5π6
∵csα+π3=−45,
∴sinα+π3=1−cs2α+π3=1−−452=35，
∴sinα=sinα+π3−π3=sinα+π3csπ3−csα+π3sinπ3
=35⋅12−−45⋅32=3+4310．
4. 在中，已知，，则（ ）
A. B. C. D. 或
答案：B
解析：
思路：先判断角的范围，求得，再根据正弦定理确定的大小关系，从而判断角的范围求得，再用诱导公式结合两角和的余弦公式计算．
解答过程：∵，∴为锐角，
，
由正弦定理，得，
所以，故为锐角，
∴，
．
5. 已知向量，的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
解答过程：因为向量，的夹角为钝角，
所以，解得.
6. 已知，，且，，则为（ ）
A. B. C. D. 或
答案：A
解析：
解答过程：因为，，所以，
由同角三角函数的基本关系得，
由两角和的正切公式得，
而，，可得，
故，因此．
7. 已知向量，满足，则在（为非零向量）上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：由得a+b2=a−2b2，化简得b2=2a⋅b，
在上的投影向量为：a+b⋅bb2⋅b=a⋅b+b2b2⋅b=12b2+b2b2⋅b=32b．
8. 在中，角 的对边分别为 ，且满足，的平分线交于点D，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：由正弦定理和三角函数恒等变换公式对已知式子化简可求得，再由平分结合面积公式，可得，然后利用基本不等式可求得结果
解答过程：已知a2+b2=ab+c2⇔a2+b2−c2=ab ，
由余弦定理，又，所以，
由等面积法知，又平分，
则12absinC=12b⋅CDsinC2+12a⋅CDsinC2，又，
所以有，即，
因此4a+b=4a+b1a+1b=5+4ab+ba≥5+24=9 ，
当且仅当时取等．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设，为复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论正确的有（ ）
A. 若，则或
B. 若，，，则
C. 若，则
D. 一定为实数
答案：ABD
解析：
思路：对于A：根据分析判断即可；对于B：根据运算求解；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复数的乘法运算分析判断.
解答过程：设，，，则，.
对于选项A：因为，则或，
所以或，故A正确；
对于选项B：因为，
即，可得，故B正确；
对于选项C：例如，，则，，
可得，符合题意，但，故C错误；
对于选项D：因为
，
所以一定为实数，故D正确．
10. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱和棱AB上的动点，记过点，E，F的平面截正方体表面所得的图形为，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 若E，F分别是所在棱的中点，则平面
C. 若E，F分别是所在棱的中点，则为五边形
D. 存在点E，使得平面
答案：ABC
解析：
思路：A.通过线面垂直证明线线垂直；B.通过线线平行证明线面平行；C.画图可得；D.由与不垂直，知不存在点E，使得平面.
解答过程：在正方体中有，，又平面,
所以平面，
因为平面，所以，故A对；
在B中，由中点得，即有，
在C中，如图，延长，分别交直线、于，连接交于，
连接，交于，则可得如图所示的截面，
此时截面为五边形，故C对；
因为四边形是矩形，非正方形，所以与不垂直，
若存在点E，使得平面，平面，则，矛盾，
所以不存在点E，使得平面，故D错.
11. 已知分别是斜三个内角的对边，且对恒成立．则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. 若，则的面积最大值为3D. 的最小值为
答案：BC
解析：
思路：利用向量模的运算，结合一元二次不等式恒成立，得到一个结论且，再利用这个结论结合向量的线性运算可判断A，结合直角三角正切函数可判断B，利用面积变换，结合不等式求最值可判断C，利用三角形内角和及正切的和角公式可判断D.
解答过程：
由已知得：AC−13AB≤AC+tAB，平方得：，
化简得：c2t2+2bccsAt+23bccsA−19c2≥0 ，
因为上式对恒成立，所以2bccsA2−4c223bccsA−19c2≤0 ，
化简得：bcsA2−23bccsA+19c2≤0⇒bcsA−13c2≤0 ，
即，则作垂足为，有，所以，
因为AC⋅AB=AD+DC⋅AB=AD⋅AB=13c2，故A错误；
因为tanA=CDADtanB=CD2AD⇒tanA=2tanB ，故B正确；
因为，即，
所以，
所以当且仅当时取等号，故C正确；
因为，
所以
，
当且仅当时取等，故D错误．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在锐角中，已知，，，则的面积等于______
答案：
解析：
解答过程：由余弦定理得，解得或，
因为最大边为，所以，即，即，故舍，此时．
13. 在三棱锥中，底面是正三角形，且侧面均为正三角形．已知点E是棱的中点，则异面直线和所成角的余弦值为______
答案：
解析：
解答过程：由已知得此三棱锥为正四面体，不妨设棱长为2，记中点为F，
因为点E是棱的中点，根据三角形中位线性质可知，
所以与夹角的余弦值即为异面直线和所成角的余弦值.
在中，，，由余弦定理．
所以异面直线和所成角的余弦值为.

14. 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆O于点，若，则的值为______
答案：
解析：
思路：根据任意三角函数值的定义可知x2=csα+2π3，，根据同角三角函数关系结合两角和差公式运算求解.
解答过程：由题意可知：x2=csα+2π3=−35，
因为，则，
若，则，
且，可知，
则sinα+2π3=1−cs2α+2π3=45，
所以y1=sinα=sinα+2π3−2π3=sinα+2π3cs2π3−csα+2π3sin2π3=−12×45−32×−35=33−410．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数，．
（1）求证：；
（2）若，且，求．
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）先设，，a，b，c，，再代入计算即可证明；
（2）先求出，，再结合（1）即可求出．
（1）设，，a，b，c，，
z1z2=ac−bd+ad+bci=ac−bd2+ad+bc2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=a2c2+d2+b2c2+d2=a2+b2c2+d2=a2+b2⋅c2+d2=z1z2．
（2）因为z1=−1+2iz1z2=4+2i，所以z1=5z1z2=20，
由（1）得，所以20=5⋅z2，故．
16. 如图，在四棱锥中，分别是的中点，且底面是菱形．
（1）求证：平面；
（2）若平面，且，求直线与平面的夹角．
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）依据线面平行判定定理，构造平行四边形，推出平行于平面内的直线，结合不在平面内即可得证；
（2）由底面及可得面，则为与面的夹角，由（1）知为直线与平面的夹角.
（1）设中点为，又因为是的中点，所以且，
因为底面是菱形且是的中点，所以且，
所以且，所以四边形是平行四边形，所以，
因为，面，面，所以面.
（2）设中点为，又因为是中点，所以，
因为面，面，面，所以，.
又因为，所以，，
因为，，，面，
所以面，所以是直线与面的夹角.
又由（1）知，所以是直线与面的夹角，
由已知得三角形中，，，所以三角形是等腰直角三角形.
又因为是中点，故，因此直线与面的夹角为.
17. 当今世界已步入人工智能时代，智能机器人已深度融入生产生活．“五一”假期，智能机器人“行知1号”登上某景区旁的山顶，俯瞰景区时观测到：该景区中央为一片湖泊，距离岸边不远处的湖面上有三座高出湖面、处在同一海拔高度的圆形观景台（与岸边有道路相连），记三个观景台的圆心分别为A，B，C，的下方均为湖面，且连接观景台与湖边的道路均不在内．“行知1号”机器人还观测到：圆形观景台的直径均为8m；为锐角三角形，它的三边满足关系式：．根据上述条件，解答下列问题：
（1）定义：若三角形中存在两个角，，满足，则称该三角形为“倍角三角形”，称角为“幸运角”．试问是否为“倍角三角形”？若是，请求出“幸运角”的取值范围；若不是，请说明理由；
（2）若观景台圆心间距，，求围成区域内湖面的面积（内观景台部分的面积，不计入湖面面积；结果保留）．
答案：（1）是，
（2）解析：
思路：（1）由正弦定理对进行边角互化，根据平方差公式、两角和差化积公式、二倍角的正弦公式进行化简，可得，即为“倍角三角形”.由锐角三角形中各角均为锐角，列得关于的不等式，求解可得的范围，即幸运角的取值范围；
（2）由已知条件可直接求出，由正弦定理及二倍角公式可求得，根据三角形的面积公式可得的面积，减出三角形内部三个观景台的面积，即为围成区域内湖面的面积.
（1）已知，
由正弦定理得，
即有，
得，
得，
因为，所以sinB+C=sinπ−A=sinA ，
所以，
又在中，，
所以，即，或B−C+C=π （舍去）.
因此是倍角三角形.
由锐角三角形得0