2026届河南省罗山县高级中学高考冲刺模拟数学试题含解析

这是一份2026届河南省罗山县高级中学高考冲刺模拟数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁， “”是“”的，集合，则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数有三个不同的零点 （其中），则 的值为( )
A．B．C．D．
2．已知，函数在区间内没有最值，给出下列四个结论：
①在上单调递增；
②
③在上没有零点；
④在上只有一个零点.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．②④B．①③C．②③D．①②④
3．已知，若，则等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．已知集合，B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}，则A∪B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2，3}B．{﹣1，0，1，2}C．{0，1，2}D．{x﹣1≤x≤2}
5． “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．若为过椭圆中心的弦，为椭圆的焦点，则△面积的最大值为（ ）
A．20B．30C．50D．60
7．集合，则（ ）
A．B．C．D．
8．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
9．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“- ”当作数字“1”，把阴爻“--”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：
依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是（ ）
A．18B．17C．16D．15
10．为计算， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）
A．B．C．D．
11．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
12．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知实数满足则的最大值为________.
14．在中，，，，则绕所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为______________.
15．若，且，则的最小值是______.
16．已知数列满足：，，若对任意的正整数均有，则实数的最大值是_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如图1）：规定产品的质量指标值在的为劣质品，在的为优等品，在的为特优品，销售时劣质品每件亏损元，优等品每件盈利元，特优品每件盈利元，以这件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率．
（1）求每件产品的平均销售利润；
（2）该企业主管部门为了解企业年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对该企业近年的年营销费用和年销售量，数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值．
表中，，，．
根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程．
①求关于的回归方程；
②用所求的回归方程估计该企业每年应投入多少营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（收益销售利润营销费用，取）
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
18．（12分）已知函数（）的图象在处的切线为（为自然对数的底数）
（1）求的值；
（2）若，且对任意恒成立，求的最大值.
19．（12分）如图，在三棱柱中，已知四边形为矩形，，，，的角平分线交于.
（1）求证:平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
20．（12分）已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
21．（12分）已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，且，，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
22．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b（a2+c2﹣b2）＝a2ccsC+ac2csA．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC外接圆的半径为，求△ABC面积的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
令，构造，要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根，则，解得或，结合的图象，并分，两个情况分类讨论，可求出的值.
【详解】
令，构造，求导得，当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，可画出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根（其中），则，解得或，且，
若，即，则，则，且，
故，
若，即，由于，故，故不符合题意，舍去.
故选A.

【点睛】
解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.
2、A
【解析】
先根据函数在区间内没有最值求出或.再根据已知求出，判断函数的单调性和零点情况得解.
【详解】
因为函数在区间内没有最值.
所以，或
解得或.
又，所以.
令.可得.且在上单调递减.
当时，，且，
所以在上只有一个零点.
所以正确结论的编号②④
故选：A.
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3、C
【解析】
先求出，再由，利用向量数量积等于0，从而求得.
【详解】
由题可知，
因为，所以有，得，
故选：C.
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目.
4、A
【解析】
解出集合A和B即可求得两个集合的并集.
【详解】
∵集合{x∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，
B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}．
故选：A．
【点睛】
此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素.
5、B
【解析】
或，从而明确充分性与必要性.
【详解】
，
由可得：或，
即能推出，
但推不出
∴“”是“”的必要不充分条件
故选
【点睛】
本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.
6、D
【解析】
先设A点的坐标为，根据对称性可得，在表示出面积，由图象遏制，当点A在椭圆的顶点时，此时面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解.
【详解】
由题意，设A点的坐标为，根据对称性可得，
则的面积为，
当最大时，的面积最大，
由图象可知，当点A在椭圆的上下顶点时，此时的面积最大，
又由，可得椭圆的上下顶点坐标为，
所以的面积的最大值为.
故选：D.

【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化归与转化思想的应用.
7、D
【解析】
利用交集的定义直接计算即可.
【详解】
，故，
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.
8、C
【解析】
作出三棱锥的实物图，然后补成直四棱锥，且底面为矩形，可得知三棱锥的外接球和直四棱锥的外接球为同一个球，然后计算出矩形的外接圆直径，利用公式可计算出外接球的直径，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.
【详解】
三棱锥的实物图如下图所示：
将其补成直四棱锥，底面，
可知四边形为矩形，且，.
矩形的外接圆直径，且.
所以，三棱锥外接球的直径为，
因此，该三棱锥的外接球的表面积为.
故选：C.
【点睛】
本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
9、B
【解析】
由题意可知“屯”卦符号“”表示二进制数字010001，将其转化为十进制数即可.
【详解】
由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数字010001，转化为十进制数的计算为1×20+1×24=1．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查数制是转化，新定义知识的应用等，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10、A
【解析】
根据程序框图输出的S的值即可得到空白框中应填入的内容．
【详解】
由程序框图的运行，可得：S＝0，i＝0
满足判断框内的条件，执行循环体，a＝1，S＝1，i＝1
满足判断框内的条件，执行循环体，a＝2×（﹣2），S＝1+2×（﹣2），i＝2
满足判断框内的条件，执行循环体，a＝3×（﹣2）2，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i＝3
…
观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a＝99×（﹣2）99，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i＝1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值，所以判断框中的条件应是i＜1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题．
11、D
【解析】
由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积．
【详解】
如图，正三棱锥中，是底面的中心，则是正棱锥的高，是侧棱与底面所成的角，即＝60°，由底面边长为3得，
∴．
正三棱锥外接球球心必在上，设球半径为，
则由得，解得，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键．
12、A
【解析】
基本事件总数，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率．
【详解】
解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，
基本事件总数，
其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4个，
其和等于的概率．
故选：．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
直接利用柯西不等式得到答案.
【详解】
根据柯西不等式：，故，
当，即，时等号成立.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.
14、
【解析】
由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积计算公式可得.
【详解】
解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，
在中，，，，如下图所示，
底面圆的半径为，
则所形成的几何体的表面积为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题.
15、8
【解析】
利用的代换，将写成，然后根据基本不等式求解最小值.
【详解】
因为（即 取等号），
所以最小值为.
【点睛】
已知，求解（ ）的最小值的处理方法：利用
，得到，展开后利用基本不等式求解，注意取等号的条件.
16、2
【解析】
根据递推公式可考虑分析,再累加求出关于关于参数的关系,根据表达式的取值分析出,再用数学归纳法证明满足条件即可.
【详解】
因为,
累加可得.
若,注意到当时,,不满足对任意的正整数均有.
所以.
当时,证明：对任意的正整数都有.
当时, 成立.
假设当时结论成立,即,
则,即结论对也成立.
由数学归纳法可知,对任意的正整数都有.
综上可知,所求实数的最大值是2.
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查了根据数列的递推公式求解参数最值的问题,需要根据递推公式累加求解,同时注意结合参数的范围问题进行分析.属于难题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）元．（2）①②万元
【解析】
（1）每件产品的销售利润为，由已知可得的取值，由频率分布直方图可得劣质品、优等品、特优品的概率，从而可得的概率分布列，依期望公式计算出期望即为平均销售利润；
（2）①对取自然对数，得，
令，，，则，这就是线性回归方程，由所给公式数据计算出系数，得线性回归方程，从而可求得；
②求出收益，可设换元后用导数求出最大值．
【详解】
解：（1）设每件产品的销售利润为，则的可能取值为，，．由频率分布直方图可得产品为劣质品、优等品、特优品的概率分别为、、．
所以；；．所以的分布列为
所以（元）．
即每件产品的平均销售利润为元．
（2）①由，得，
令，，，则，
由表中数据可得，
则，
所以，即，
因为取，所以，故所求的回归方程为．
②设年收益为万元，则
令，则，，当时，，
当时，，所以当，即时，有最大值．
即该企业每年应该投入万元营销费，能使得该企业的年收益的预报值达到最大，最大收益为万元．
【点睛】
本题考查频率分布直方图，考查随机变量概率分布列与期望，考查求线性回归直线方程，及回归方程的应用．在求指数型回归方程时，可通过取对数的方法转化为求线性回归直线方程，然后再求出指数型回归方程．
18、 (1)a=-1,b=1;(2)-1.
【解析】
（1）对求导得，根据函数的图象在处的切线为，列出方程组，即可求出的值；（2）由（1）可得，根据对任意恒成立，等价于对任意恒成立，构造，求出的单调性，由，，，，可得存在唯一的零点，使得，利用单调性可求出，即可求出的最大值.
（1），.
由题意知.
（2）由（1）知：，
∴对任意恒成立
对任意恒成立
对任意恒成立.
令，则.
由于，所以在上单调递增.
又，，，，
所以存在唯一的，使得，且当时，，时，. 即在单调递减，在上单调递增.
所以.
又，即，∴.
∴ .
∵ ，∴ .
又因为对任意恒成立，
又，∴ .
点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
19、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）过点作交于，连接，设，连接，由角平分线的性质，正方形的性质，三角形的全等，证得，，由线面垂直的判断定理证得平面，再由面面垂直的判断得证.
（2）平面几何知识和线面的关系可证得平面，建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，根据二面角的向量计算公式可求得其值.
【详解】
（1）如图，过点作交于，连接，设，连接，，，
又为的角平分线，四边形为正方形，，
又，，，，，又为的中点，
又平面，，平面，
又平面，平面平面，
（2）在中，，，，在中，，，
又，，，，
又，，平面，平面，
故建立如图空间直角坐标系，则，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，则，，
令，得,
设平面的一个法向量为，则，
，令，得
，由图示可知二面角是锐角，
故二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查空间的面面垂直关系的证明，二面角的计算，在证明垂直关系时，注意运用平面几何中的等腰三角形的“三线合一”，勾股定理、菱形的对角线互相垂直，属于基础题.
20、（1），；（2）
【解析】
试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列前n项和．
试题解析：
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意得
d=== 1．∴an=a1+（n﹣1）d=1n
设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则
q1===8，∴q=2，
∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1， ∴bn=1n+2n﹣1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=1n+2n﹣1， ∵数列{1n}的前n项和为n（n+1），
数列{2n﹣1}的前n项和为1×= 2n﹣1，
∴数列{bn}的前n项和为；
考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；1.数列求和．
21、（1）；（2）
【解析】
(1)设数列的公差为d,由可得,,由即可解得,故,由,即可解得,进而求得.
(2) 由（1）得，,利用分组求和及错位相减法即可求得结果.
【详解】
（1）设数列的公差为d，数列的公比为q，
由可得，，
整理得，即，
故，
由可得，则，即，
故.
（2）由（1）得，，，
故，
所以，数列的前n项和为，
设①，
则②，
②①得，
综上，数列的前n项和为.
【点睛】
本题考查求等差等比的通项公式,考试分组求和及错位相减法求数列的和,考查学生的计算能力,难度一般.
22、（1）B（2）
【解析】
（1）由已知结合余弦定理，正弦定理及和两角和的正弦公式进行化简可求csB，进而可求B；
（2）由已知结合正弦定理，余弦定理及基本不等式即可求解ac的范围，然后结合三角形的面积公式即可求解.
【详解】
（1）因为b（a2+c2﹣b2）＝ca2csC+ac2csA，
∴，即2bcsB＝acsC+ccsA
由正弦定理可得，2sinBcsB＝sinAcsC+sinCcsA＝sin（A+C）＝sinB，
因为，所以，
所以B；
（2）由正弦定理可得，b＝2RsinB2，
由余弦定理可得，b2＝a2+c2﹣2accsB，
即a2+c2﹣ac＝4，因为a2+c2≥2ac，
所以4＝a2+c2﹣ac≥ac，当且仅当a＝c时取等号，即ac的最大值4，
所以△ABC面积S即面积的最大值.
【点睛】
本题综合考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题.
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
000
0
震
001
1
坎
010
2
兑
011
3