河南省信阳高级中学2025-2026学年高一下学期6月测试数学试题（含答案）

这是一份河南省信阳高级中学2025-2026学年高一下学期6月测试数学试题（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1 ．若复数 z 满足(-1+ i)z = 1+ 2i （其中i 是虚数单位），则 z = ( )
A ． i B ． i C ． i D ． i
2 ．已知向量 = (-3, 4) ， = (2, -2) ， = (5, -1) ，若 与 λ + 垂直，则实数λ的值为( )
17 17 19 19
A ． B ．- C ． D ．-
2 2 14 14
3 ．已知圆锥的底面半径为 1，侧面积为 4π,则此圆锥的侧面展开图的圆心角为( )
π π π π
A ． B ． C ． D ．
6 4 3 2
4 ．若a, b∈{2, 3, 4,8, 9} ，则lg a b 为整数的概率为( )
3 3 8 2
A ． B ． C ． D ．
25 10 25 5
5 ．已知a, β 是两个不重合的平面，m, n 是两条不同的直线，则下列命题中错误的是( )
A ．若m 丄 a, m 丄 β ,则 a / / β B ．若m / /a, m / / β, a ∩ β = n ，则 m / /n
C ．若m / /n, n Ì a ，则 m / /a D ．若a 丄 β, m 丄 a, n 丄 β ,则 m 丄 n
6 ．已知甲乙两组按从小到大顺序排列的数据——甲组：25 ，27 ，36 ，m ，43 ，57；乙组：
23，n ，32，43，47 ，54 ．若这两组数据的30% 分位数和50% 分位数分别对应相等，则 n 等m
于( )
7 9 10 7
A ． B ． C ． D．
12 13 7 4
7 ．如图，在棱长为 12 的正方体ABCD__A1 B1 C1 D1 中，E, F 分别是棱CD,B1C1 的中点，平面
A1EF 与直线CC1 交于点N ，则 NF = ( )
A ．10 B ．15 C ． D ．213
8 ．在锐角 △ ABC中，角A, B, C 的对边分别为a,b,C ， △ ABC的面积为 S，若sin ，则 的取值范围为( )
A ． B ． C ． D ．
二、多选题
9 ．下列说法中正确的是( )
A ．已知 = (1, -3) ， = (2, -6) ，则 , 可以作为平面内所有向量的一个基底
B ．已知 = (1, -3) ， = (0,1)，则 在 上的投影向量的坐标是(0,-3)
C ．若两非零向量 ， 满足 + = - ，则 丄
D ．平面直角坐标系中，A (1,1) ，B (3, 2) ，C (4, 0) ，则 △ ABC为锐角三角形
10 ．某高中一年级共有甲、乙、丙 3 个班级，其中甲班 40 人，乙班 50 人，丙班 40 人，在某次数学月考中，甲班的及格率为50% ，乙班的及格率为 60% ，丙班的及格率为 70% ，则( )
A ．若用简单随机抽样法从一年级所有学生中抽取 13 人，则甲班应抽取 4 人
B．若按照各班人数比例用分层随机抽样法从一年级所有学生中抽取 26 人，则丙班应抽取 8 人
C ．这次一年级数学月考的平均及格率为60%
D ．若从这次一年级数学月考及格的学生中随机抽 1 人，则该学生来自丙班的概率最大
11 ．如图，在四棱锥A - BCDE 中，BC 聂 DE ，AD = BC = 2DE = 4 ，BC 丄 CD ，CD = 2 √5 ，AD 丄 平面BCDE ，设CD ，BE ，AE ，AD的中点分别为M ，N ，P ，Q，则( )
A ．M ，N ，P ，Q 四点共面
B ．平面ACD 丄 平面ABC
C ．四棱锥A - BCDE 的表面积为 29 + 55 + 8
2
D ．异面直线AB与QM所成角的正切值为
3
三、填空题
12 ．已知a > 0 ，一组数据 4 ，2 ，3 - a ，4 + a ，7 的方差为 3.6，则 a = ．
13 ．如图， △A,B,C, 是 △ ABC用斜二测画法得到的直观图，其中O,A, = O,B, = 2 ，O,C, = 1，
AB
则 的值为
AC
14．在三棱锥P - ABC 中，AB 丄 BC ，点P在底面的投影0为 △ ABC的外心，若AB = 4，BC = 3， PO = 5 ，则三棱锥 P - ABC 的外接球的表面积为
四、解答题
15 ．已知 m 为实数，设复数z = (2m2 - 3m - 2) + (m2 - 5m + 6)i ．
(1)当复数 z 为纯虚数时，求 m 的值；
(2)设复数 z 在复平面内对应的点为(x, y)，若满足x -y + 5 >0 ，求 m 的取值范围．
16．抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字1, 2, 3, 4 的正四面体骰子，记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为x，黄色骰子与地面接触的面上的数字为y，
(1)求“ xy 为偶数” 的概率；
(2)求“ x - y ≤ 1 ”的概率.
17 ．每年的 4 月 23 日为“世界读书日” .为了解学生课外阅读情况，某学校从本校学生中随机抽取了 200 名学生，对其每天阅读时间（单位：分钟）进行调查，并依据样本数据绘制了如下频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本数据的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(3)已知落在[40,60)样本数据的平均值是 53，方差是 4；落在[60,80)样本数据的平均值是
68，方差是 9.求落在[40, 80)样本数据的平均值x 和方差s2 .
18 ．已知a ，b ，c分别是 △ ABC的内角A ，B ，C的对边，且
(1)求 a ;
c
(2)若csC 且 △ ABC的面积为 ·15 ，求 △ ABC的周长.
19 ．如图，在四棱台ABCD__A1 B1 C1 D1 中，底面ABCD 是正方形，D1D 丄 平面ABCD ， D1D = 2 ，AB = 4 ，A1B1 = 2 .
(1)求证：A1A// 平面C1 BD；
(2)求直线A1A 到平面C1 BD的距离；
(3)若点 P 是正方形ABCD 内的动点（不含边界），且满足BD 丄 B1P ，设直线D1 P 与平面ABCD 所成角为θ,求tanθ的取值范围.
《河南省信阳高级中学（北湖校区）2025-2026 学年高一下学期 6 月阶段检测数学试题》参
考答案
12 ．1
625
14 ． π 16
15 ．【详解】（1）由题意得 所以m
（2）复数 z 在复平面内对应的点的坐标为(2m2 - 3m - 2, m2 - 5m + 6) ，
因为点的坐标满足x -y + 5 > 0 ，所以 (2m2 - 3m - 2) - (m2 - 5m + 6) + 5 > 0 ．解得m < -3 或m > 1，
所以 m 的取值范围为(-∞, -3) U (1,+∞) .
16 ．【详解】（1）由题意知，样本空间Ω = {(1,1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2,1), (2, 2), (2, 3), (2, 4) ， (3,1), (3, 2), (3,3), (3, 4), (4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} ，共 16 个样本点.
设事件A = “ xy 为偶数”，则 A = {(1, 2), (1, 4), (2,1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 4)
(4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} ，共 12 个样本点.
所以P ，即“ xy 为偶数” 的概率为 .
（2）由（1）知，样本空间 Ω 包含 16 个样本点.
设事件B = “ x - y ≤ 1 ”，则B = {(1,1), (1, 2), (2,1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (3, 4)， (4, 3), (4, 4)} ，共 10 个样本点.
所以P ，即“ x - y ≤ 1 ”的概率为 .
17 ．【详解】（1）由题意知，(0.004 + 0.012 + 0.015 + a + 0.006 + 0.003)´ 20 = 1，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
D
C
C
B
A
B
BC
BC
题号
11
答案
ABD
解得a = 0.010 ；
（2）根据频率分布直方图，
x = (10× 0.004 + 30 × 0.012 + 50 × 0.015 + 70 × 0.01+ 90 × 0.006 +110 × 0.003)× 20,所以x = 54.4 ；
（3）由频率分布直方图知，
落在[40, 60)、[60,80) 的样本数据的频数分别为 60 ，40，所以
所以s
18 ．【详解】（1）在 △ ABC中，
由正弦定理得 ，则sin B cs A + csB sin A = 2sin A ，即sin(B + A) = 2sin A ，即sin C = 2 sin A ，
由正弦定理得c = 2a ，即
（2）由 csC C ∈(0,π ) ,得sinC
则S△ABC absin C ，得 ab = 8 ，
由余弦定理得c2 = a2 + b2 - 2abcsC ，
即 ，整理得 3a4 + 4a2 - 64 = 0 ，即(3a2 +16)(a2 - 4) = 0 ，解得 a = 2 ，
则b = c = 4 ，
所以 △ ABC的周长为a + b + c = 10 .
19 ．【详解】（1）
连接 AC 交 BD 于。，连接 A1C1 ，则 AO AC ，因为 ，
由四棱台的性质可得A1C1 //AO ，且 A1C1 = AO ，故四边形 A1C1OA 为平行四边形，
故AA1 //C1O ，丫 AA1 Ë 平面BDC1 , C1O c面BDC1 ，故 AA1 // 面BDC1 .
（2）丫 AA1 // 面BDC1 ， 惠 直线AA1 到平面BDC1 的距离等价于点A到平面BDC1 的距离，
S△ABD = 8 ，dC1 -ABD = DD1 = 2 ，DC1 = 22 ，DB = 42 ，取 DC 中点E，连C1E ，EB，
可得C1E//DD1 , C1E=DD1 = 2 ，而D1D 丄 平面ABCD ，故C1E 丄 平面ABCD ，由 BE c平面ABCD ，
故C1E 丄 BE ，丫 BE = 25 ，得C1B
: C1B2 + C1D2 = BD2 ，DC1 丄 BC1 ，故S△BDC 故 × 43 . dA-BDC1 = × 8 × 2 ，故 dA-BDC
（3）连接B1D1 , B1O ，因为 ，由四棱台的性质可得B1D1 //DO, B1D1 =DO ，故四边形D1B1OD 为平行四边形，故B1O//DD1 ，
故B1O 丄 平面ABCD ，而BD C 平面ABCD ，故B1O 丄 BD ，
又BD 丄 AC ，B1O ∩ AC = O ，B1O, AC c 平面ACB1 ，故BD 丄 平面B1AC ，
丫 BD 丄 B1P ，点P在面ABCD 内的动点， 惠 点P ∈面ABCD ∩面ACB1 = AC ， QDD1 丄 面ABCD ，: LD1PD 为D1P 与面ABCD 所成的平面角，
: tan LD1PD DO 最小为22，最大为 4则 tan