2025--2026学年河南信阳高级中学高二下册5月阶段检测数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年河南信阳高级中学高二下册5月阶段检测数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，若且，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数在复平面内表示的点在直线上，则复数的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知数列为等差数列，，，，，设，，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 如图为某款仿生蝴蝶的设计示意图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1，蝴蝶翅膀的一个前尖端点的坐标为，另一个前尖端点、尾突点均在格点上，则与的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，三边的中点分别为，将六个数字全部标注在六个点处，每个点处标注一个数字，使得每个中点处的数字都比其相邻两顶点处的数字小，则不同的标注方法有（ ）
A. 36种B. 48种C. 60种D. 72种
7. 在平面直角坐标系中，圆与双曲线相交于A，B，C，D四点，若点A，B，C，D构成圆O圆周的四等分点，圆O的直径长度是双曲线C实轴长的3倍，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 定义在的函数满足：，，且时，，若，，，则、、的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各式正确的是（ ）
A. 已知，则的取值为6或7
B.
C. 将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法
D. 的展开式中的系数为
10. 已知数列满足，且，则的值可能是（ ）
A. 1B. 2026C. D.
11. 已知正四面体的棱长为，点平面，且，点在之间或在内．记为与（平行时两平面间的距离，则（ ）
A. 该四面体外接球的表面积为
B. 的最小值为
C. 若，且，则直线与所成的角为
D. 若依次排列且两两平行，满足，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_____
13. 三棱锥中，、、与底面所成的线面角相等，二面角、、的大小也相等，且，，则三棱锥的外接球体积为__________.
14. 已知、为实数，，若对恒成立，则的最小值为 ______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角的对边分别是．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
16. 某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球.
（1）若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率：
（2）现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略：
若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大.
17. 如图，菱形的边长为2，.现将沿折起，得到四面体，设二面角等于.
（1）求证：；
（2）若三棱锥的体积为，
（i）求直线与平面所成的角；
（ii）当时，求二面角的余弦值.
18. 如图，在平面直角坐标系中，曲线，点，直线与轴交于点，同时与曲线交于点，点P，Q分别是曲线与线段AB上的动点．
（1）求的值；
（2）若直线PQ与轴垂直，且，求点的坐标；
（3）若为曲线上一点，是否存在点使得四边形FQDP是以为邻边的矩形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，证明函数的图象上横坐标成等差数列的任意三个不同的点A，B，C，直线AC的斜率小于函数的图象在点B处的切线的斜率．
（3）当时，若存在实数a，不等式对任意成立（为函数的导函数），求实数b的取值范围．
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，若且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：解不等式得或，则或，
因为，所以.
2. 已知复数在复平面内表示的点在直线上，则复数的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：先根据复数的几何意义得出点，再应用点在线上得出，最后应用共轭复数定义求解.
解答过程：复数在复平面内表示的点在直线上，
则，即得，则，
则复数的共轭复数.
3. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：利用正弦二倍角公式、余弦二倍角公式，同角三角函数关系以及诱导公式分析即可.
解答过程：当，等式左边，等式右边，
此时，故等式不成立，所以，
所以变形得：，
即，
因为，所以，
所以，又，所以当时，.
4. 已知数列为等差数列，，，，，设，，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：
思路：结合等差数列和常数数列的性质，分别从充分性和必要性两个方面分析即可.
解答过程：当数列是等差数列时，根据等差数列的性质，当时，有，所以是的充分条件；
当数列是等差数列且为常数数列时，由于是恒成立的，所以未必成立，所以是的不必要条件.
综上可知：是的充分不必要条件.
故选：A
5. 如图为某款仿生蝴蝶的设计示意图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1，蝴蝶翅膀的一个前尖端点的坐标为，另一个前尖端点、尾突点均在格点上，则与的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由题图，知，，又，所以，则．
6. 如图，三边的中点分别为，将六个数字全部标注在六个点处，每个点处标注一个数字，使得每个中点处的数字都比其相邻两顶点处的数字小，则不同的标注方法有（ ）
A. 36种B. 48种C. 60种D. 72种
答案：B
解析：
思路：根据分类加法计数原理及排列数公式计算求解.
解答过程：由题意可得顶点标注只能为或，其余情况不满足题意.
若顶点标注，则标注在中点处，此时有，
若顶点标注，则只能标注在之间的边的中点，此时有种，
所以不同的标注方法有种.
7. 在平面直角坐标系中，圆与双曲线相交于A，B，C，D四点，若点A，B，C，D构成圆O圆周的四等分点，圆O的直径长度是双曲线C实轴长的3倍，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据题意，可以得出圆上符合题意的四点坐标，故得出双曲线上符合题意的点的坐标，将其代入双曲线方程，得出和值，得出离心率.
解答过程：由已知圆的直径为4，又直径长度是双曲线C实轴长的3倍，所以，所以.
因为点A，B，C，D构成圆O圆周的四等分点，所以四等分点到圆心的距离为半径，
且四点与原点构成的连线互相垂直.即如图所示：
设圆与轴交于点N，所以，且，
所以设是圆与双曲线的交点，所以或
解得或或或，
所以四等分点的坐标为,
把代入中，得，
解得，所以双曲线C的离心率.
8. 定义在的函数满足：，，且时，，若，，，则、、的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：令代入，得到的奇偶性，令，可得，并结合题干可推得的单调性，再对、、进行变形，往中凑，最后再令，研究的单调性即可求解．
解答过程：，，令，则，得，
令得，即函数是奇函数，
下面判断函数的单调性，令，则，
，所以，
所以，即，
所以在单调递增，
，，
，
构造函数，则，
当时，，当时，，
所以在递增，在递减，
则，
即，
所以，又在单调递增，
所以，也即．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各式正确的是（ ）
A. 已知，则的取值为6或7
B.
C. 将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法
D. 的展开式中的系数为
答案：ABD
解析：
思路：由组合数的性质判断A，B；由隔板法判断C；由二项式定理判断D.
解答过程：对于A，因为，
所以或，
解得或,故A正确；
对于B，由组合数的性质可知：
，
所以，
所以
，故B正确；
对于C，利用隔板法可知，原问题即为将8个相同小球排成一列，在中间7个空隙中放入3个隔板即可，
所以共有种不同放法，故C错误；
对于D，因为的展开通项为：，
而的展开式中的系数由两部分组成：
第一部分是与的展开式中的系数的积，即；
第二部分是的系数-1与的展开式中的系数的积，即，
所以的展开式中的系数为，故D正确.
10. 已知数列满足，且，则的值可能是（ ）
A. 1B. 2026C. D.
答案：ACD
解析：
解答过程：原式因式分解可得，故或都可成立.
数列每一项都满足时，则，A可能
，不是的整数次幂，B不可能
第一步选择，之后所有递推都选择​，则，C可能
所有递推都选择，则，D可能
11. 已知正四面体的棱长为，点平面，且，点在之间或在内．记为与（平行时两平面间的距离，则（ ）
A. 该四面体外接球的表面积为
B. 的最小值为
C. 若，且，则直线与所成的角为
D. 若依次排列且两两平行，满足，则
答案：ACD
解析：
解答过程：对于A，将正四面体放入如图所示的正方体，设正方体的棱长为，
所以，所以，
该四面体外接球即为正方体的外接球，所以，
所以该四面体外接球的表面积为，故A正确；
对于B，因为，不妨设为平面，为平面，
所以，故B错误；
对于C，设直线与所成的角为，则，
因为，所以，则直线与所成的角为，故C正确；
对于D，若依次排列且两两平行，满足，
在上取点，使得，如图，
连接交于点，连接交于点，分别过点作
，连接，
则平面为平面，为平面，易知平面，均垂直底面，
以为坐标原点，将平面放入如图所示的平面直角坐标系，
则，
所以直线的方程为：，化简为：，
同理直线的方程为：，
所以两直线间的距离即为，
，故D正确.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_____
答案：
解析：
解答过程：由函数在上单调递减，
得，，
而当时，，
当且仅当时取等号，则，
所以实数的取值范围为.
13. 三棱锥中，、、与底面所成的线面角相等，二面角、、的大小也相等，且，，则三棱锥的外接球体积为__________.
答案：
解析：
思路：若平面，利用已知线面角、面面角的关系确定是的外心和内心，进而得到三棱锥是正三棱锥，应用外接球半径与棱锥高、底面三角形外接圆半径的关系列方程求外接球半径，即可得.
解答过程：若平面，连接，即，
而，则，
所以是的外心，同上分析可得，
由平面，平面，平面，则，
若，且，
而平面，平面，平面，
所以平面，平面，平面，即，
所以，则，
所以是的内心，
综上，是等边三角形，该三棱锥是正三棱锥，
所以外接球球心落在过的高线上，
若棱锥的外接球半径为，的外接圆的半径为，则，
所以，而，则，，
所以，则三棱锥的外接球体积为.
14. 已知、为实数，，若对恒成立，则的最小值为 ______.
答案：
解析：
思路：求出函数的导函数，判断可得，即可求得函数的单调区间，从而求出函数的最小值，依题意可得，即可得到，从而得到，再令，，利用导数说明函数的单调性，从而求出函数的最小值，即可求出的取值范围.
解答过程：解：因为，所以，
若，则恒成立，所以在上单调递增，且当时，不符合题意，
所以，令，解得，当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，则，
则，
令，，
则，所以当时，当时，
即在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，即的最小值为.
故
【方法方法提示：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角的对边分别是．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据两角和与差的正切公式，求得的值，结合三角形内角的取值范围，求得；
（2）由余弦定理求出，再根据三角形面积公式求得的面积．
（1）因为，
且，
所以，整理得，
即.
所以或.
因为，所以，所以.
所以，所以A2=π6，.
（2）因为，，
所以由余弦定理，得
，即，，所以.
所以.
所以的面积为.
16. 某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球.
（1）若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率：
（2）现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略：
若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大.
答案：（1）
（2）该运动员第一次选择2分球可以使得两次投篮总得分的期望最大
解析：
思路：（1）记选择2分球为事件，选择3分球为事件，投一次篮命中为事件，结合全概率公式，即可求解；
（2）当该运动员第一次选择2分球时，得到变量可取值有，求得相应的概率，列出分布列，求得期望值；当该运动员第一次选择3分球时，得到变量可取值有，求得相应的概率，列出分布列，求得期望值，结合，即可求解.
（1）解：记选择2分球为事件，选择3分球为事件，投一次篮命中为事件，
则
所以.
（2）解：当该运动员第一次选择2分球时，记他两次投篮的得分为，可取值有，
可得，，
，，
所以随机变量的分布列为：
所以
当该运动员第一次选择3分球时，记他两次投篮的得分为，可取值有，
可得，
，，
所以随机变量的分布列为：
所以，
因为，即，
所以该运动员第一次选择2分球可以使得两次投篮总得分的期望最大.
17. 如图，菱形的边长为2，.现将沿折起，得到四面体，设二面角等于.
（1）求证：；
（2）若三棱锥的体积为，
（i）求直线与平面所成的角；
（ii）当时，求二面角的余弦值.
答案：（1）证明见解析
（2）（i）或；（ii）
解析：
思路：（1）根据题意，取的中点，证得，，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得；
（2）由和，得到，结合三棱锥的体积为，列出方程，求得，再由面面垂直的性质，证得即为直线与平面所成角，即可求解；
（ii）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.
（1）由菱形的边长为，且，可得和都是等边三角形，
现将沿折起，可得，为等边三角形，
如图所示，取的中点，连接，，可得，，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）（i）由（1）知平面，可得，
又由，，所以是二面角的平面角，即，
因为菱形的边长为，可得，
又因为三棱锥的体积为，可得，
解得，所以或，
因为平面，且平面，所以平面平面，
因为平面平面，所以点在平面的投影在直线上，
所以即为直线与平面所成角，
所以直线与平面所成角为或；
（ii）因为，所以，且，
过点作平面的垂线为轴，，所在直线为轴，轴，
建立空间直角坐标系，可得，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
可得，
因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
18. 如图，在平面直角坐标系中，曲线，点，直线与轴交于点，同时与曲线交于点，点P，Q分别是曲线与线段AB上的动点．
（1）求的值；
（2）若直线PQ与轴垂直，且，求点的坐标；
（3）若为曲线上一点，是否存在点使得四边形FQDP是以为邻边的矩形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）
（2） （3）存在，点
解析：
思路：（1）根据抛物线的定义，抛物线上一点到焦点的距离等于到准线的距离，再结合点B的横坐标求解即可；
（2）先设出点P的坐标，根据曲线方程表示出P的纵坐标，再得到点Q的坐标；然后写出向量和的坐标，利用向量数量积公式列出方程，进而求解点P的坐标；
（3）假设存在满足条件的点P，因为四边形是以为邻边的矩形，所以根据矩形的性质，可得；设出点P，表示出Q的坐标，根据矩形性质表示出点D的坐标，结合Q在曲线C上的条件，联立方程求解，进而确定是否存在这样的点P.
（1）依题意可得：曲线所在的抛物线的焦点为，准线为，
且，由抛物线的定义可知．
（2）设，其中，则，
．
由得，
再结合，解得（负值已舍去），
所以．
（3）假设存在点使得四边形FQDP是以FP，FQ为邻边的矩形，
设，显然，其中①，
当时，显然四边形FQDP不可能是以FP，FQ为邻边的矩形，
故，则．
在矩形FQDP中，，故，
所以直线FQ的解析式为，
令，可得，即.
由对角线互相平分可得，此时
即点的坐标为．
当点在曲线上时，代入曲线的解析式得，
即②．
联立①②两式消去得，
解得或（舍去），
所以（负值已舍去），故存在点满足题意．
19. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，证明函数的图象上横坐标成等差数列的任意三个不同的点A，B，C，直线AC的斜率小于函数的图象在点B处的切线的斜率．
（3）当时，若存在实数a，不等式对任意成立（为函数的导函数），求实数b的取值范围．
答案：（1）当时，在上为单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）证明见解析 （3）．
解析：
思路：（1）根据导数求单调区间即可.
（2）将题目要求用符号表示，利用作差法、构造函数求导，结合函数单调性证明即可.
（3）根据已知条件得到的表达式，通过求导分析的单调性，进而求出的最大值，最后根据不等式恒成立求解即可.
（1）（1），，
当时，在上恒成立，此时单调递减；
当时，令，解得.
当时，，此时在上单调递增，
当时，，此时在上单调递减，
综上，当时，在上为单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）当时，，.
设，，，且，，成等差数列，即.
直线的斜率为.
在点处的切线斜率为.
由题意知，需证，即，即.
不妨设，则，，
令（），，
令（），则，
故在上单调递增，因此，即，
又，所以，故在上单调递增，因此，
即，即，即成立，
所以，即函数的图象上横坐标成等差数列的任意三个不同的点A，B，C，直线AC的斜率小于函数的图象在点B处的切线的斜率.
（3）由，则不等式为对任意成立，
即对任意成立，
令，则需对任意成立.
，令，则，
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
即在上单调递增，在单调递减；
则在取得极大值，也即最大值，.
因为，所以，又当时，，
由零点存在定理可知，存在，使得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以在处取得极大值，也即最大值，（）.
由极大值处斜率为零可得，，即，所以.
.
令（），，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
则在处取得极小值，即最小值，.
即的最大值的最小值为.
因此实数b的取值范围为.
0
2
3
4
0.1
0.16
0.1
0.64
0
2
3
6
0.1
0.4
0.25
0.25