2025--2026学年河南省信阳市信阳高级中学新校（贤岭校区）高二下学期6月测试（二）数学试题-含解析

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1. 已知复数满足，为虚数单位，则复数的共轭复数（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A. 4B. 2C. 8D.
4. 平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. 0D.
5. 已知是椭圆的左右焦点，点在直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 正多面体的研究始于古希腊柏拉图学派，正四面体与正八面体是其中最具代表性的两类．将正四面体的棱的中点相连，内部会形成一个完美的正八面体，这一结构是空间对称性的经典体现．如图，在正四面体ABCD中，连接各棱的中点构造出正八面体，若该正八面体的相对顶点连线，则正四面体的高为（ ）

A. B. C. D.
8. 已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若随机变量，则
B. 若事件，相互独立，则
C. 若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为8
D. 用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好
10. 若、是两条互相垂直的异面直线，、、、是四个不同的点，满足、，、，且，，，则（ ）
A. 直线与是异面直线B.
C. 若，则D. 若为的中点，则
11. 设函数，则（ ）
A. 当时，只有一个零点
B. 当时，在定义域内单调递增
C. 对于任意实数的图象都是中心对称图形
D. 若存在极值点，则一定存在两个
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则的值为________．
13. 在等腰直角中，点D是斜边AC上靠近点A的三等分点，若，则______．
14. 设数列，满足，，记，则m的整数部分是________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
（1）若，求的面积；
（2）若，求的取值范围．
16. 树人中学积极践行“健康第一”理念，为引导学生养成良好的锻炼习惯和健康生活方式，学校举办趣味体育竞赛活动，活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮.已知甲､乙､丙三人通过第一轮的概率分别为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率均为，假设他们之间通过与否相互独立.
（1）求从甲､乙､丙三人中随机选出一人且进入第二轮的概率；
（2）记甲､乙､丙三人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望.
17. 已知函数图象关于点对称．
（1）求a，b；
（2）若过点存在三条直线与曲线相切，求实数m的取值范围．
18. 如图，在平行四边形ABCD中，．现将沿着AC翻折，使点到达点的位置，形成三棱锥．线段PB上有两点M，N，满足平面平面ACM且平面平面ACN．
（1）当平面平面ACP时，求三棱锥外接球的表面积；
（2）在翻折过程中，当点为线段PB上靠近点的三等分点时，求点到平面ACP的距离；
（3）在翻折过程中，是否存在，若存在，求平面ACP与平面ABC所成角的余弦值；若不存在，请说明理由．
19. 已知双曲线上任意一点，则过点M的切线方程为.已知焦点在x轴上的双曲线E：（，）的离心率为，且过点.
（1）求双曲线E的方程；
（2）过双曲线上点M的直线l为双曲线E的切线，l分别与直线，（）交于A，B两点，记直线，，的斜率分别为，，.
（i）求证：；
（ii）若，求t的值.
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足，为虚数单位，则复数的共轭复数（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：利用复数的运算结合共轭复数求解即可.
解答过程：因为，
所以，
故选：D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：∵ ，∴ ， 解得，
又， ∴ .
∵，即，解得，
又，∴ .
∴.
3. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A. 4B. 2C. 8D.
答案：B
解析：
解答过程：设等比数列的公比为q，由，得，
则，而，解得，
由，得，即，所以.
4. 平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. 0D.
答案：C
解析：
解答过程：由题设，同理，
所以.
5. 已知是椭圆的左右焦点，点在直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：结合图像，得到，再在中，求得，从而得到，代入直线的方程可得到，由此可求得椭圆的离心率.
解答过程：由题意知，
由为等腰三角形，且，得，
过作垂直轴于，如图所示，
则在中，，故，，
所以，即，代入直线的方程，
得，即，所以所求的椭圆离心率为.
故选：B.
6. 已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：求出函数的函数值集合，再由分段函数值域的意义求出a的范围作答.
解答过程：当时，，而函数在上单调递增，又是增函数，
因此函数在上单调递增，，即函数在上的值域为，
当时，函数的值域为，而函数的值域为R，因此，
而当时，，必有，解得，
所以a的取值范围是.
故选：C
7. 正多面体的研究始于古希腊柏拉图学派，正四面体与正八面体是其中最具代表性的两类．将正四面体的棱的中点相连，内部会形成一个完美的正八面体，这一结构是空间对称性的经典体现．如图，在正四面体ABCD中，连接各棱的中点构造出正八面体，若该正八面体的相对顶点连线，则正四面体的高为（ ）

A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：设正四面体的棱长为，连接各棱中点形成的正八面体的棱长为.
根据题意，正八面体相对顶点连线，由于正八面体可内接于正方体，
其体对角线（相对顶点连线）等于棱长的倍，故有：
，解得.
正四面体的高公式为，将代入得：
.
8. 已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：利用导数可得函数在,上的单调性及极值，作出函数的图象，由图象可得，再由对数函数的性质可得，结合，，是方程的三个根，可得，即可求得答案．
解答过程：因为当时，，
所以，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，所以，
当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
作出函数的图象，如图所示：
由此可得，
当时，令，解得或，
所以，
又因为，
所以，
所以；
由题意可得，，是方程，即的三个根，
所以，
即，
所以，
即，
所以．
故选：．
方法提示：关键点点睛：关键点是画出图象，根据根的个数确定解的范围，再结合对数运算性质和对数函数，得到，即可解题.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若随机变量，则
B. 若事件，相互独立，则
C. 若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为8
D. 用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好
答案：ACD
解析：
思路：利用正态曲线的对称性即可判断A，根据随机事件的概率加法公式与互斥事件的概率公式即可判断B；利用数据的和差积商性质即可判断C；根据相关指数与残差平方和之间的关系即可判断D.
解答过程：对于A，因随机变量，则，由正态曲线的对称性可得，故A正确；
对于B，由事件，相互独立可知，对于随机事件，，
都有，
故仅当，互斥时，才有，故结论不成立，即B错误；
对于C，由题意，，
对于数据，，，，
其均值为，
其方差为，故C正确；
对于D，相关指数越接近1，值越大，残差平方和接近0，值越小，则该回归模型的拟合效果越好，故D正确.
10. 若、是两条互相垂直的异面直线，、、、是四个不同的点，满足、，、，且，，，则（ ）
A. 直线与是异面直线B.
C. 若，则D. 若为的中点，则
答案：AD
解析：
思路：利用反证法可判断A选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断BC选项；证明出，利用直角三角形的几何性质可判断D选项.
解答过程：如下图所示：
对于A选项，若、共面，则、、、四点共面，即直线、共线，
即直线、共面，这与题设条件矛盾，故直线与是异面直线，A对；
对于B选项，由题意可知，，，
所以
，B错；
对于C选项，，
所以
，故，C错；
对于D选项，由题意可知，，
又因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为为的中点，所以，同理可证，故，D对.
11. 设函数，则（ ）
A. 当时，只有一个零点
B. 当时，在定义域内单调递增
C. 对于任意实数的图象都是中心对称图形
D. 若存在极值点，则一定存在两个
答案：ACD
解析：
思路：对于A选项，将代入，由对数函数的性质求解即可；对于B选项，将代入，求导，再由函数定义域求解即可；对于C选项，由函数中心对称的定义求解即可；对于D选项，由极值点条件，有解，且解两侧导数变号求解即可.
解答过程：对于A选项，将代入可得，，
此时的定义域为，解得，
当时，即，解得，
所以当时，只有一个零点，故A正确；
对于B选项，当时，，
，因为，
所以，故，所以当时，在定义域内单调递减，故B错误；
对于C选项，因为函数的定义域为，
，
，
所以，
所以对称中心为，故C正确；
对于D选项，，，
当时，解得，令，，
当时，，所以，所以当时，无解，无极值点；
当时，的解为，但在两侧均有，不变号，非极值点；
当时，有两个解，在上单调递减，在单调递增，最小值为，
所以当时，存在两个极值点，故D正确.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则的值为________．
答案：##
解析：
解答过程：因为是周期为2的偶函数，所以，
因为当时，，所以.
13. 在等腰直角中，点D是斜边AC上靠近点A的三等分点，若，则______．
答案：
解析：
思路：根据向量的线性运算以及平面向量基本定理求解即可.
解答过程：如图所示，
因为点D是斜边AC上靠近点A的三等分点，所以，所以.
14. 设数列，满足，，记，则m的整数部分是________.
答案：1
解析：
思路：先判断数列的单调性，然后利用裂项相消法、结合数列的单调性进行求解即可.
解答过程：，，知.
由，且，知数列单调递增，
由，知，
得，所以，
，
由数列单调递增，，，得，，
得到，，
则的整数部分为1.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
（1）若，求的面积；
（2）若，求的取值范围．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）将条件化简得到，由，求出及，即可根据三角形的面积公式求出的面积；
（2）由可得或，在的条件下求出和的取值范围，将化为二次函数形式，再求出其值域即可.
（1）因为，
则，
即，
化简可得．
若，则，因为，所以，
所以，
所以是等腰直角三角形，所以，
所以；
（2）由（1）知，所以或．
①若，由可得，与矛盾，故舍去；
②若，则，
若，则，解得，则．
则此时，
设，则，
可知当时，取到最小值；当时，；
当时，，
因为，所以，
即的取值范围为．
16. 树人中学积极践行“健康第一”理念，为引导学生养成良好的锻炼习惯和健康生活方式，学校举办趣味体育竞赛活动，活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮.已知甲､乙､丙三人通过第一轮的概率分别为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率均为，假设他们之间通过与否相互独立.
（1）求从甲､乙､丙三人中随机选出一人且进入第二轮的概率；
（2）记甲､乙､丙三人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望.
答案：（1）
（2）.
解析：
思路：（1）利用全概率公式求解；
（2）记甲､乙､丙通过第二轮的事件分别为分别求出，，，由题意得到的所有可能取值，分别求出每个可能取值的概率，求出的分布列和数学期望.
（1）记随机选择甲､乙､丙的事件分别为，进入第二轮的事件记为，
则，
由题意得，
所以
.
（2）记甲､乙､丙通过第二轮的事件分别为
则
由题意得的所有可能取值为
则
.
.
所以的分布列为
所以的数学期望为.
17. 已知函数图象关于点对称．
（1）求a，b；
（2）若过点存在三条直线与曲线相切，求实数m的取值范围．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据代入函数解析式，对比系数即可求解；
（2）将问题转化为与有三个交点，利用导数研究的单调性，极值和图像即可求解.
（1）因为函数图象关于对称，
所以，故，
化简可得，
所以，解得．
（2）由（1）可知，函数，所以，
设切点坐标为，
所以切线方程为，因为切线过点，
所以，即，
令，则，
令，解得，或．
当x变化时，，的变化情况如下表所示，
因此，当时，有极小值；
当时，有极大值．
过点存在3条直线与曲线相切，等价于
关于x的方程有三个不同的根，则，
所以实数m的取值范围是．
18. 如图，在平行四边形ABCD中，．现将沿着AC翻折，使点到达点的位置，形成三棱锥．线段PB上有两点M，N，满足平面平面ACM且平面平面ACN．
（1）当平面平面ACP时，求三棱锥外接球的表面积；
（2）在翻折过程中，当点为线段PB上靠近点的三等分点时，求点到平面ACP的距离；
（3）在翻折过程中，是否存在，若存在，求平面ACP与平面ABC所成角的余弦值；若不存在，请说明理由．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）先利用外心性质确定三棱锥外接球球心位置与半径，再代入球的表面积公式计算；
（2）通过建立空间直角坐标系，用二面角参数表示点坐标，利用法向量垂直条件求解二面角，再用向量投影公式求点到平面的距离；
（3）用参数表示线段上的点，结合法向量垂直条件确定，再根据向量关系列方程求解二面角的余弦值.
（1）的外心为AB中点的外心为CP中点，
取线段AC中点，则
设三棱锥外接球的球心为点，则平面平面ACP，．
（2）以点为原点，的方向为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系．
，设二面角的平面角为，则．
设平面ACP的法向量为，平面ACN的法向量为，
由，
解得．
由平面平面ACN，可得，解得．
点为线段PB上靠近点的三等分点，可得
由，解得
即二面角的平面角为
此时
点到平面ACP的距离
（3）已知，点横坐标为1．
点在yz平面上，所以点横坐标为0．
可得．
设，
由（2）得平面ACN的法向量．
由，解得
即．
根据条件，得，解得
在翻折过程中，存在，此时平面ACP与平面ABC所成角的余弦值为
19. 已知双曲线上任意一点，则过点M的切线方程为.已知焦点在x轴上的双曲线E：（，）的离心率为，且过点.
（1）求双曲线E的方程；
（2）过双曲线上点M的直线l为双曲线E的切线，l分别与直线，（）交于A，B两点，记直线，，的斜率分别为，，.
（i）求证：；
（ii）若，求t的值.
答案：（1）
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
解析：
思路：（1）根据双曲线离心率公式求出，再代点求解得到双曲线的标准方程.
（2）（i）根据题意，过双曲线E上点M的切线，利用斜率公式直接化简可得；
（ii）由，故，因为，，又因为，代入，求得.
（1）因为双曲线离心率为，
则，
又因为过点，则，得，
所以双曲线E的方程为；
（2）（i）根据题意，点，过双曲线E上点M的切线，
则，，
所以，，，
则，
则；
（ii）由，
故，
又（为点到直线l的距离），
则，
因为，，
又因为，代入，
得，又因为，
化简得，
即，
则，
可得，
因为，
所以，
即，因为点不可能为双曲线顶点，即，
又，所以.
0
1
2
3
0
1
2
3
x
1
0
0
单调递减
单调递增
0
单调递减