2025~2026学年河北省沧州市黄骅中学高二下册第二次月考数学试题【含答案】

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第Ⅰ卷（客观题 共58分）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分．
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）

A. B. C. D.
4. 若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，，则下面正确的为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. “狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美.函数图像的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数使得不等式成立的实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分．
9. 已知为正实数，，则下列选项正确的是（ ）
A. ab的最小值为2B. 的最小值为
C. 的最小值为8D. 的最小值为2
10. 下列说法正确的是 （ ）
A. 设随机变量X服从二项分布，则
B. 已知随机变量X服从正态分布，且，则
C. ；
D. 已知随机变量满足，若，则随着的增大而减小
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 在上单调递减
C. 若，则实数的取值范围是
D. 若实数满足，则的取值范围是
第Ⅱ卷（主观题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为________.（用数字作答）
13. 已知一系列样本点（）的回归方程为，若样本点与的残差相等，则_____．
14. 设函数存在最小值，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 定义在上的函数满足，，且时，．
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）求关于t的不等式的解集．
16. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场影响力，计划改进技术生产某产品，已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为120台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为240万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
（1）写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）.
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
17. 已知展开式的二项式系数和为512，且
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求被6整除的余数.
18. 某医疗科研小组为研究某市市民患有疾病与是否具有生活习惯的关系，从该市市民中随机抽查了100人，得到如表数据．（注：用表示的对立事件）
（1）是否有超过的把握认为，该市市民患有疾病与是否具有生活习惯有关?
（2）从该市市民中任选一人，表示事件“选到的人不具有生活习惯”，表示事件“选到的人患有疾病”，试利用该调查数据，求的估计值；
（3）从该市市民中任选3人，记这3人中具有生活习惯，且未患有疾病的人数为，试利用该调查数据，求的数学期望的估计值．
附：，其中．
19. 今年立秋以后，我国西南地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论､根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，西南地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.西南地区某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了和两个套餐服务，顾客可自由选择和两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周五销售优惠券情况.
经计算可得：.
（1）已知关于的经验回归方程为，求关于的经验回归方程；
（2）若购买优惠券的顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，并且套餐包含两张优惠券，套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为张的概率为.
（i）求及；
（ii）求及的最值.
参考公式：.
数学
考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（客观题 共58分）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分．
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：先求出集合，再根据集合交集概念计算即可.
解答过程：因为，，
所以，故，
故选：A
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：
思路：解不等式，再判断“”和“”之间的逻辑推理关系，可得答案.
解答过程：由，得或，解得.
由，解得，
当时，一定成立，反之，不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）

A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据散点图中点的分布的特征，确定四个图对应的相关系数的正负以及大小关系，可得答案.
解答过程：由散点图可知第1，3图表示的正相关，且第1个图中的点比第3个图中的点分布更为集中，
故；
第2，4图表示的负相关，且第2个图中的点比第4个图中的点分布更为集中，
故，且，故，
综合可得，
故选：B
4. 若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：将命题转化为有解问题，分情况讨论的值，时，不等式为一次不等式有解；时为一元二次不等式，根据二次函数的性质确定不等式有解.
解答过程：，的否定为真命题，
即命题“”为真命题，
当时，不等式化为，即，符合题意；
，命题“”为真命题，
当时，对于抛物线，开口向下，
显然在有解，符合题意；
当时，对于抛物线，开口向上，
只需，解得或，
又，所以或，
综上实数的取值范围是或，
即．
5. 已知，，则下面正确的为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据题意结合不等式的性质逐项运算求解即可.
解答过程：因为，，
对于选项A：可得，故A错误；
对于选项B：因为，所以，故B错误；
对于选项C：因为，则，所以，故C错误；
对于选项D：因为，则，所以，故D正确；
故选：D.
6. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：由题意知函数在上单调递减，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
7. “狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：设出事件，利用全概率公式和贝叶斯公式进行求解.
解答过程：设事件表示“小孩诚实”，事件表示“小孩说谎”，
则，，，，
则，
，
故，
故.
故选：D
8. 在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美.函数图像的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数使得不等式成立的实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：由题可得关于直线对称，判断在上单调递增，由此可得，运算得解.
解答过程：，
，
所以函数关于直线对称，
当时，，
由对号函数单调性可知在时单调递增，单调递增，
所以在上单调递增，
由，可得，
，化简整理得，
解得.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分．
9. 已知为正实数，，则下列选项正确的是（ ）
A. ab的最小值为2B. 的最小值为
C. 的最小值为8D. 的最小值为2
答案：BCD
解析：
思路：根据基本不等式结合消元转化一一判定选项即可.
解答过程：由为正实数，
对于A，，解之得，
所以，当且仅当时取得最小值，故A错误；
对于B，由，
所以，
当且仅当，即时取得最小值，故B正确；
对于C，，由A知，
结合二次函数的性质知，当且仅当时取得最小值，故C正确；
对于D，，
而，即，解之得，
当且仅当时取得最小值，故D正确.
故选：BCD
10. 下列说法正确的是 （ ）
A. 设随机变量X服从二项分布，则
B. 已知随机变量X服从正态分布，且，则
C. ；
D. 已知随机变量满足，若，则随着的增大而减小
答案：AB
解析：
思路：结合正态分布的对称性和数学期望与方差计算公式和运算性质，逐项判定，即可求解.
解答过程：对于A中，由随机变量X服从二项分布，
则，所以A正确；
对于B中，由随机变量X服从正态分布，且，可得，
根据正态分布曲线的对称性，可得，所以B正确；
对于C中，根据期望和方差的性质，可得，，所以C不正确；
对于D中，由随机变量满足，
可得，
根据一次函数与二次函数的性质可知：当时，随的增大而增大，
所以D不正确.
故选：AB.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 在上单调递减
C. 若，则实数的取值范围是
D. 若实数满足，则的取值范围是
答案：ACD
解析：
思路：对A，构造函数，利用奇函数的定义可得为奇函数，再利用函数图象平移，即可判断A的正误；对B，利用导数与函数的单调性间的关系，即可求解；对C，根据选项条件，利用的对称性和单调性得，即可求解；对D，根据条件得，再通过三角换元，即可求解.
解答过程：对于A，设函数，其定义域是，关于原点对称，
又，所以函数是奇函数，关于原点对称，
又，的图象向上平移个单位得到的图象，
所以函数的图象关于点对称，故A正确；
对于B，因为，又，
当且仅当，即时等号成立，又，当且仅当时取等号，
所以恒成立，因此函数在上单调递增，故B错误；
对于C，由于函数的图象关于点对称，则，
由，得到，
又函数在上单调递增，所以，即，解得，故C正确；
对于D，由于， ，可知，又因为单调递增，所以，因此可得，
即，设，，则（其中），
所以，故D正确.
第Ⅱ卷（主观题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为________.（用数字作答）
答案：
解析：
思路：先给两个1找两个位置，再给两个3找两个位置，最后剩的一个位置排5即可.
解答过程：第一步选2个空给两个1有种选法，
第二步选剩下的3个空给两个3有种选法，
最后剩一个空排5即可，
根据分步乘法计数原理有种排法，
故答案为：.
13. 已知一系列样本点（）的回归方程为，若样本点与的残差相等，则_____．
答案：
解析：
解答过程：样本点与的残差相等，则有，
整理得.
14. 设函数存在最小值，则的取值范围是______．
答案：
解析：
思路：根据题意分四种情况，结合二次函数的性质讨论即可．
解答过程：①当时，，
当时，单调递增，且，
当时，，
因此不存在最小值；
②当时，，
当时，，故函数存在最小值；
③当时，，
当时，单调递减，，
当时，，
而，故函数存在最小值；
④当时，，
当时，单调递减，，
当时，，
因为，
所以，因此不存在最小值．
综上，的取值范围是．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 定义在上的函数满足，，且时，．
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）求关于t的不等式的解集．
答案：（1）奇函数，证明见解析
（2）解析：
思路：（1）利用赋值法整理化简等式，根据奇偶函数的定义，可得答案；
（2）利用函数单调性的定义证明函数的单调性，根据单调性以及题意化简不等式，可得答案.
（1）令，可得，所以．
令，可得，所以．
又的定义域为，图象关于原点对称，故为奇函数．
（2）任取，，且，则，
于是，
因为，所以，由题意，
又为奇函数，所以，
所以，即，在上单调递减．
因为为奇函数，所以在单调递减，所以在上单调递减．
由，可知．
所以不等式，
等价于，
所以，解得．所以，原不等式的解集为．
16. 随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场影响力，计划改进技术生产某产品，已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为120台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为240万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
（1）写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）.
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
答案：（1）
（2）该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是280万元
解析：
思路：（1）根据题意可得，结合的解析式运算求解即可；
（2）分和两种情况，结合二次函数最值以及基本不等式运算求解.
（1）由题意可知：，
当时， ；
当时，；
所以,
（2）因为，
若，则，当且仅当时，等号成立；
若，则，
当且仅当，即时，等号成立；
由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是280万元.
17. 已知展开式的二项式系数和为512，且
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求被6整除的余数.
答案：（1）144；（2）19682；（3）5.
解析：
思路：（1）根据二项式定理，由展开式的二项式系数和为512，可求出，再将代入中，变形可得，则为其展开式中的系数，由二项式定理可得答案；
（2）由（1）的结论，用赋值法，在中令，可求得的值，令，可得的值，从而可得答案；
（3）根据题意，可得，变形可得，由二项式定理展开式可得，进而由整除的性质分析可得答案
解答过程：解：（1）由二项式系数和为512知， ，即
由得
（2）令得
令得
所以
（3）由
因为能被6整除，所以23被6整除后余数为5.
18. 某医疗科研小组为研究某市市民患有疾病与是否具有生活习惯的关系，从该市市民中随机抽查了100人，得到如表数据．（注：用表示的对立事件）
（1）是否有超过的把握认为，该市市民患有疾病与是否具有生活习惯有关?
（2）从该市市民中任选一人，表示事件“选到的人不具有生活习惯”，表示事件“选到的人患有疾病”，试利用该调查数据，求的估计值；
（3）从该市市民中任选3人，记这3人中具有生活习惯，且未患有疾病的人数为，试利用该调查数据，求的数学期望的估计值．
附：，其中．
答案：（1）有 （2）
（3）解析：
思路：（1）先完善列联表，然后根据公式计算卡方，对照临界值表即可得结论；
（2）根据表中数据分别求出，然后由条件概率公式可得；
（3）由二项分布的期望公式可得.
（1）由已知得列联表如下:
根据列联表中的数据，经计算得：
故有超过的把握认为，该市市民患有疾病与是否具有生活习惯有关.
（2）由（1）数据可得:.
所以 .
（3）由（2）知，，
所以，所以的估计值为.
19. 今年立秋以后，我国西南地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论､根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，西南地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.西南地区某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了和两个套餐服务，顾客可自由选择和两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周五销售优惠券情况.
经计算可得：.
（1）已知关于的经验回归方程为，求关于的经验回归方程；
（2）若购买优惠券的顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，并且套餐包含两张优惠券，套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为张的概率为.
（i）求及；
（ii）求及的最值.
参考公式：.
答案：（1）
（2）（i），，；（ii），的最大值为，最小值为.
解析：
思路：（1）将相关数据代入和的公式，即可得经验回归方程；
（2）由题意知，，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解即可.
（1）由题意，，
则，
.
所以关于的经验回归方程为.
（2）（i）由题意，可知，
，
，
（求解另一种方法：）
（ii）当时，，即，
又，
所以当时，数列为各项都为1的常数列，
即，
所以，又，
所以数列为首项为公比为的等比数列，
所以，即.
当为偶数时，，且随的增大而减小，
因此的最大值为；
当为奇数时，，且随的增大而增大，
因此的最小值为，综上所述，的最大值为，最小值为.疾病A
生活习惯B
具有
不具有
患病
25
15
未患病
20
40
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
星期
1
2
3
4
5
销售量（张）
218
224
230
232
236
疾病A
生活习惯B
具有
不具有
患病
25
15
未患病
20
40
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
疾病A
生活习惯B
合计
具有
不具有
患病
25
15
40
未患病
20
40
60
合计
45
55
100
星期
1
2
3
4
5
销售量（张）
218
224
230
232
236