2025~2026学年河北省唐山市第二中学高一下册6月月考数学试题【含答案】

这是一份2025~2026学年河北省唐山市第二中学高一下册6月月考数学试题【含答案】，文件包含417火山喷发教学课件科学冀人版五年级上册新教材pptx、417火山喷发教学设计科学冀人版五年级上册新教材docx、417火山喷发分层作业科学冀人版五年级上册新教材docx、火山喷发知识闯关html等4份课件配套教学资源，其中PPT共25页， 欢迎下载使用。
1. 若复数z=i+i2+i3+i4+i5，则的虚部为（ ）
A. B. C. 1 D.
2. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为件，为检验产品的质量，现用分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取90件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件数为（ ）
A. 15B. 18C. 27D. 30
3. 已知向量，若反向共线，则实数的值为（ ）
A. −7 B. 3C. 3或−7 D. 或7
4. 已知事件互斥，它们都不发生的概率为13，且，则（ ）
A. 13B. C. D.
5. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=23，，，则A= （ ）
A. 30° B. C. 或D. 30° 或150°
6. 某地区某村的前三年的经济收入分别为万元，其统计数据的中位数为，平均数为；经过今年政府新农村建设后，该村经济收入在上年基础上翻番，则在这年里收入的统计数据中，下列说法正确的是
A. 中位数为，平均数为B. 中位数为，平均数为
C. 中位数为，平均数为D. 中位数为，平均数为
7. 已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，其外接球的表面积为40π，则该正四棱台的高为（ ）
A. B. C. 或D. 或
8. 在空间中，为两个定点，且AB=3 ，动点到直线 的距离为，动点到直线 的距离为，若二面角C−AB−D 为135°，当，时，异面直线 和CD 所成角正切值为（ ）
A. 36B. C. 156D. 153
二、多选题
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 正四棱柱的侧面都是正方形
B. 棱台的侧棱延长后交于一点
C. 正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形
D. 四面体的每个侧面都是等边三角形
10. 已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，O为的外心，b=4 ，，的面积S满足.若，则下列结论正确的是（ ）
A. A=π3B. C. D.
11. 如图，在正三棱锥中，，分别是棱的中点，是棱上的任意一点，则下列结论中正确的是（ ）

A.
B. 异面直线与所成角的余弦值为13
C. 的最小值为
D. 三棱锥内切球的半径是
三、填空题
12. 已知一组样本数据7，9，10，5，6，11，8，12，4，10，则该组数据的下四分位数为________.
13. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则______．
14. 已知复数、分别满足：，，其中i为虚数单位，则的取值范围为________.
四、解答题
15. 已知向量，且与的夹角为.
（1）求；
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
16. 出口“新三样”指的是电动载人汽车、锂离子蓄电池和太阳能电池，这些产品在中国外贸出口中扮演着重要角色，成为展现中国制造迈向高端化、智能化、绿色化的崭新名片．某学校组织了400名学生参加新能源知识竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，，整理得到频率分布直方图如图所示．
（1）由频率分布直方图估计样本中学生分数的中位数；
（2）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；
（3）已知样本中男生与女生的比例是3∶1，男生样本的平均数为70，方差为10，女生样本的平均数为80，方差为12，请计算出总体的方差．
17. 如图1，在菱形中，△ABD 是边长为2的等边三角形，将△ABD 沿对角线翻折至△PBD 的位置，得到图2所示的三棱锥.

（1）证明：；
（2）若二面角的平面角为，求直线与平面所成角的正弦值.
18. 已知正三棱柱的棱长均为，为的中点．
（1）求证：BC1// 平面AB1M ；
（2）求证：平面AB1M⊥ 平面
（3）求点B 到平面AB1M 的距离 ．
19. 如图，内角的对边分别为，为边BC 上一点，且，.

（1）已知.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若BD=5，求的面积；
（2）求的最小值.
数学
一、单选题
1. 若复数z=i+i2+i3+i4+i5，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：由于i2=−1,i3=−i,i4=1,i5=i ，
故z=i−1−i+1+i=i ，z=−i ，即的虚部为−1 .
2. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为件，为检验产品的质量，现用分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取90件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件数为（ ）
A. 15B. 18C. 27D. 30
答案：A
解析：
思路：利用分层抽样的方法计算即可.
解答过程：由题意可知丙产量占全部的比重为，
所以抽取90件有丙产品件.
故选：A
3. 已知向量，若反向共线，则实数的值为（ ）
A. −7 B. 3C. 3或−7 D. 或7
答案：A
解析：
思路：利用平面向量的坐标运算以及共线的坐标表示计算即可.
解答过程：因为，所以.
因为共线，所以，解得或.
又反向共线，代入验证可知时为同向，舍去.
而满足条件，所以.
故选：.
4. 已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（ ）
A. B. 49C. D.
答案：C
解析：
思路：根据互斥事件，对立事件的概率关系即可计算求解.
解答过程：由事件互斥，且都不发生为，则，
又，所以，解得，，
所以.
故选：C.
5. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=23，，，则A= （ ）
A. 30° B. C. 或D. 30° 或150°
答案：C
解析：
解答过程：由正弦定理可得，
且，则 ,故 或 .
6. 某地区某村的前三年的经济收入分别为万元，其统计数据的中位数为，平均数为；经过今年政府新农村建设后，该村经济收入在上年基础上翻番，则在这年里收入的统计数据中，下列说法正确的是
A. 中位数为，平均数为B. 中位数为，平均数为
C. 中位数为，平均数为D. 中位数为，平均数为
答案：C
解析：
思路：先求得前三年的中位数和平均数，求得第四年的收入，然后求得新的中位数和平均数，由此得出正确选项.
解答过程：依题意，前三年中位数，平均数，第四年收入为万元，故中位数为，平均数为，故选C.
方法提示：本小题主要考查中位数和平均数的计算，考查实际生活的数学案例，属于基础题.
7. 已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，其外接球的表面积为40π，则该正四棱台的高为（ ）
A. B. C. 或D. 或
答案：D
解析：
思路：由正四棱台的结构与正方形的性质，可得上下底面的外接圆半径，由球的表面积公式求得外接球的半径，根据勾股定律，可得答案.
解答过程：易知正四棱台上下底面为正方形，则外接圆的半径分别为，，
设外接球的半径为，正四棱台的高为，可得，解得，
易知或.
故选：D.
8. 在空间中，为两个定点，且AB=3 ，动点到直线 的距离为，动点到直线 的距离为，若二面角C−AB−D 为135°，当，时，异面直线 和所成角正切值为（ ）
A. 36B. C. 156D. 153
答案：D
解析：
思路：过，分别作，AB 的平行线，使之交于点，根据余弦定理求出DE,CE ，再证明CE⊥DE ，进而利用异面直线所成角的定义求解即可.
解答过程：如图，
过，分别作，AB 的平行线，使之交于点，
因为，所以BE⊥AB ，而，二面角C−AB−D 为135°，
则∠DBE=135°，而BE=AC=6,BD=3，CE=AB=3 ，
DE2=BD2+BE2−2BD⋅BEcs∠DBE=3+6−2×3×6×−22=15 ，
即DE=15，又AB⊥BD,AB⊥BE,BD,BE⊂ 平面，所以平面，
由CE//AB ，可得平面，又平面，
则CE⊥DE ，又为异面直线 和所成角或其补角，
所以tan∠DCE=DECE=153.
二、多选题
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 正四棱柱的侧面都是正方形
B. 棱台的侧棱延长后交于一点
C. 正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形
D. 四面体的每个侧面都是等边三角形
答案：BC
解析：
思路：根据棱锥，棱柱，棱台的定义和性质判断选项.
解答过程：正四棱柱的底面为正方形，侧棱垂直于底面，则其侧面为矩形，不一定为正方形，A错误；
用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台，所以棱台的侧棱延长后交于一点，B正确；
正六棱锥的底面为正六边形，侧棱都相等，所以侧面都是全等的等腰三角形，C正确；
四面体的每个侧面都是三角形，不一定为等边三角形，D错误.
10. 已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，O为的外心，b=4 ，，的面积S满足.若，则下列结论正确的是（ ）
A. A=π3B. C. D.
答案：AC
解析：
思路：利用余弦定理与三角形的面积公式判断AB，利用平面向量的数量积运算和外心的性质判断CD．
解答过程：对于A，由余弦定理知，，
，，
，即，，
A∈0,π，，， A选项正确；
对于B，， B选项错误；
对于D，为的外心，为AB 中点，则OD⊥AB ，如图所示，

所以，同理
，
①，
②，
由①②得，，，，D选项错误；
对于C，，C选项正确.
11. 如图，在正三棱锥中，，分别是棱的中点，是棱上的任意一点，则下列结论中正确的是（ ）

A.
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 的最小值为
D. 三棱锥内切球的半径是
答案：ACD
解析：
思路：对于A，易知，，可证平面，再由线面垂直的性质定理即可得证；对于B，取中点F ，连接，EF ，由，知∠EDF 即为异面直线DE 和AB 所成角，由PC⊥AB ，可推出，再由三角函数的知识即可求解；对于C，将平面和平面平铺展开，形成四边形，连接AB ，交于点，此时是最小值，再结合二倍角公式与余弦定理即可求解；对于D，设内切球的球心为，点在平面内的投影为，为的重心，球与平面相切于点，设三棱锥内切球的半径为，由 相似于，即可求解.
解答过程：对于A，如图1所示，连接，，
由正三棱锥的性质可知，，
因为为中点，
所以，，
又因为，平面，
所以平面，
又因为PB⊂ 平面
所以，故A正确；
对于B，如图①，取中点F ，连接，EF ，
因为、F 分别为，的中点，
所以，，
所以∠EDF 即为异面直线DE 和AB 所成角或其补角，
因为、F 分别为，的中点，
所以，
由选项A知，，同理可得PC⊥AB ，
所以，
所以,
所以DE=3 ，
所以，
即异面直线DE 和AB 所成角的余弦值为，故B错误；
对于C，将平面和平面平铺展开，形成四边形，
如图②所示，连接AB ，交于点，此时是最小值，
连接，则，
所以，
在中，由余弦定理知，
，
所以，
即的最小值是，故C正确；
对于D，如图③所示，设内切球的球心为，点在平面内的投影为，为的重心，
球与平面相切于点，则在上，且，
在中，，
在中，,
因为为的重心，所以，
在中，，
设三棱锥内切球的半径为，
由 相似于，得,
即，解得，故D正确；
故选：ACD.
方法提示：关键点点睛：本题考查了异面直线所成角、最短距离及内切球，解题关键是作出异面直线所成角、平面展开求最值以及通过相似三角形求内切球的半径.
三、填空题
12. 已知一组样本数据7，9，10，5，6，11，8，12，4，10，则该组数据的下四分位数为________.
答案：6
解析：
解答过程：数据排序为4，5，6，7，8，9，10，10，11，12，项数，
下四分位数位置，向上取整为第3项，
下四分位数为6，
13. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则______．
答案：74
解析：
思路：利用正弦定理进行角换边，再利用余弦定理和同角三角函数关系即可得到答案.
解答过程：由正弦定理知，所以，
则，又，所以.
故答案为：74.
14. 已知复数、分别满足：，，其中i为虚数单位，则的取值范围为________.
答案：
解析：
思路：设复数、在复平面内对应的点为，，利用复数的几何意义得出点，的轨迹，将问题转化为两圆上动点间距离的最值
解答过程：设复数、在复平面内对应的点为，，
表示点与复数对应点的距离为2，
因此点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆；
表示点与复数对应点的距离为1，
因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆.
又因为，表示点，之间的距离，

所以 ，即.
四、解答题
15. 已知向量，且与的夹角为.
（1）求；
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
答案：（1）25；
（2）.
解析：
思路：（1）根据给定条件，利用向量的坐标运算，结合夹角公式求出m ，进而求出及模.
（2）由（1）的信息，利用向量线性运算的坐标表示，结合夹角公式及共线向量列式求解.
（1）由向量，得，且，
由与的夹角为，得，解得，则 ，
于是，所以.
（2）由（1）知向量，
则，
由与的夹角为锐角，得且与不共线，
由，解得且，
所以实数的取值范围为.
16. 出口“新三样”指的是电动载人汽车、锂离子蓄电池和太阳能电池，这些产品在中国外贸出口中扮演着重要角色，成为展现中国制造迈向高端化、智能化、绿色化的崭新名片．某学校组织了400名学生参加新能源知识竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，，整理得到频率分布直方图如图所示．
（1）由频率分布直方图估计样本中学生分数的中位数；
（2）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；
（3）已知样本中男生与女生的比例是3∶1，男生样本的平均数为70，方差为10，女生样本的平均数为80，方差为12，请计算出总体的方差．
答案：（1）72.5
（2）20人 （3）29.25
解析：
思路：（1）在频率分布直方图，根据中位数左边和右边的直方图面积应该相等，即可求解；
（2）先求分数在的频率，从而可求样本中分数在的人数，进而可知样本中分数在的人数，从而可求解；
（3）根据分层总体的方差公式即可求解.
（1）在频率分布直方图，中位数左边和右边的直方图面积应该相等，
由于，．因此中位数落在之间．
设中位数为x，则有，解得，
所以样本中学生分数的中位数约为72.5．
（2）由频率分布直方图知，
分数在的频率为，
样本中分数在的人数为（人），
样本中分数在的人数为95人，
所以估计总体中分数在的人数为（人），
总体中分数小于40的人数为人；
（3）总样本的均值为，
所以总样本的方差为．
17. 如图1，在菱形中，是边长为2的等边三角形，将沿对角线翻折至△PBD 的位置，得到图2所示的三棱锥.

（1）证明：；
（2）若二面角的平面角为，求直线与平面所成角的正弦值.
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）取的中点为，连接、，即可证明平面，从而得证；
（2）过点作于点，连接，即可证明平面，则为直线与平面所成角，再由（1）可知为二面角的平面角，求出相应线段的长度，再由锐角三角函数计算可得.
（1）取的中点为，连接、，由为菱形，所以，，
又，平面，
所以平面，
又平面，所以；
（2）过点作于点，连接，
由（1）平面，又平面，所以，
又，平面，所以平面，
所以为直线与平面所成角，
由（1）可知，，
所以为二面角的平面角，
所以，
在Rt△POH 中，，，所以，
又，所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18. 已知正三棱柱的棱长均为，为的中点．
（1）求证：BC1// 平面AB1M ；
（2）求证：平面AB1M⊥ 平面
（3）求点到平面AB1M 的距离 ．
答案：（1）连接交于点，连接MN ，
则正三棱柱中是平行四边形，
所以为的中点，又为的中点，
所以MN//BC1，平面AB1M ，MN⊂ 平面AB1M ，
所以BC1// 平面AB1M .
（2）因为为正三角形，为的中点，所以B1M⊥ ．
又平面，B1M⊂ 平面，所以B1M⊥ ，
因为A1C1∩AA1=A1，A1C1,AA1⊂ 平面，
所以B1M⊥ 平面，
又B1M⊂ 平面AB1M ，所以平面AB1M⊥ 平面.
（3）255解析：
思路：（1）连接交于点，连接MN ，利用平行四边形性质可得MN//BC1，然后利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）结合棱柱的性质，利用线面垂直的判定定理证明B1M⊥ 平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可；
（3）过作MH⊥A1B1，垂足为，利用勾股定理得B1M⊥AM ，利用面面垂直的性质定理得所以MH⊥ 平面，即可得到平面的距离，进而利用等体积法求解即可.
（1）略
（2）略
（3）过作MH⊥A1B1，垂足为，
由题意可得B1M=3，AM=5，AB1=22，
所以B1M2+AM2=AB12，所以B1M⊥AM ，
所以△AB1M 的面积S△AB1M=12×3×5=152，
因为正三棱柱中，平面A1B1C1⊥ 平面，
又平面A1B1C1∩ 平面A1B1BA=A1B1，MH⊂ 平面A1B1C1，且MH⊥A1B1，
所以MH⊥ 平面，
即到平面的距离为MH=MA1sinπ3=32，
又△ABB1的面积S△ABB1=12AB⋅BB1=2 ，
所以VM−ABB1=13MH⋅S△ABB1=13×32×2=33，
又VM−ABB1=VB−MAB1，
所以13S△AB1M⋅d=33，解得，
所以点到平面AB1M 的距离为255.
19. 如图，内角的对边分别为，为边上一点，且，.

（1）已知.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若BD=5，求的面积；
（2）求的最小值.
答案：（1）（ⅰ）；（ⅱ）
（2）解析：
思路：（1）（ⅰ）根据化简，结合角的关系及倍角公式即可得解；
（ⅱ）先求出，进而可求出，即可求出，再结合（ⅰ）中结论即可得解；
（2）先利用正弦定理化边为角，再根据化简，结合基本不等式即可得解.
（1）（ⅰ）由题意得，
，
因为，，
所以，
，
所以，
所以；
（ⅱ）由（ⅰ）得，
在中，，
所以，
又，所以，
所以；
（2）由正弦定理得，
由（1）得，
故，
令，
因为，所以，所以，
则
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
方法提示：方法点睛：解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理实现“边化角”；
（2）利用余弦定理实现“角化边”.
求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.