2025~2026学年甘肃省兰州市某校高二下册第二次月考数学试题【含答案】

这是一份2025~2026学年甘肃省兰州市某校高二下册第二次月考数学试题【含答案】，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，I卷解答题，多选题，II卷解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知随机事件A、B满足，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则当h时，的极限是（ ）
A. B. C. D.
3. 曲线在处的切线如图所示，则＝（ ）

A. 0B. 2C. －2D. －1
4. 向量在向量上的投影长为（ ）
A. B. C. D.
5. 函数的图象可能是（ ）．
A. B.
C. D.
6. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ）
A. M与N是互斥事件B. M与N是相互独立事件
C. D.
7. 有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若表示取得次品的件数，则（ ）
A. B. C. D.
8. 函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
9. 已知离散型随机变量X的分布列服从参数为p的两点分布，且，则______.
10. 已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则______.
11. 已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是______．
三、I卷解答题：本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
12. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
13. 已知函数.
（1）曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值；
（2）当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围.
14. 设甲袋中有3个白球､2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球､3个红球和个黑球（），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为.
（1）求的值；
（2）若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率；
（3）若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率
II卷（50分）
四、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
15. 已知、是两个随机事件，且，，则下列说法正确的有（ ）
A. 若、相互独立，则
B. 恒成立
C. 若，则
D. 若，则、相互独立
16. 如图，平行六面体的底面ABCD是边长为1的菱形，且，平面，则（ ）
A. 平面平面B.
C. D. 平行六面体的体积为
17. 已知函数有两个零点，设其由小到大分别为，，则（ ）
A. 实数的取值范围是B.
C. D.
五、II卷解答题：本题共2小题，共32分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18. 四棱锥中，平面平面，，，，，是中点．
（1）求证：平面；
（2）若二面角的平面角的正弦值为，求出的值；
（3）在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19. 已知函数
（1）求的值．
（2）讨论的单调性．
（3）若存在3个不同的零点，，且满足，此外有两个极值点和，求证：．
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 已知随机事件A、B满足，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：因，则 .
2. 若，则当h时，的极限是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：因为，
所以当h时，的极限是2.
3. 曲线在处的切线如图所示，则＝（ ）

A. 0B. 2C. －2D. －1
答案：C
解析：
思路：设切线方程为，根据切线方程得到关于的方程组，解得，进而得出导数值计算求解.
解答过程：设曲线在处的切线方程为，
则解得
所以曲线在处的切线方程为，则切线斜率为1，
所以，
因此，．
故选：C.
4. 向量在向量上的投影长为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：先求投影向量，再求模即可.
解答过程：因为向量，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为：，
所以向量在向量上的投影长为：.
5. 函数的图象可能是（ ）．
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：判断函数的奇偶性，然后结合函数在时函数值的符号，排除法确定答案.
解答过程：定义域是，定义域关于原点对称，
且，即是奇函数，
因此函数图象关于原点对称，所以选项A，C错误．
又当时，，从而，选项B错误.
故选：D
6. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ）
A. M与N是互斥事件B. M与N是相互独立事件
C. D.
答案：B
解析：
思路：根据互斥事件与独立事件定义可判断A错误，B正确，由条件概率公式计算，可判定C错误，再由对立事件公式计算，可判定D错误.
解答过程：对于A中，当掷出2，此时事件同时发生，所以M与N不是互斥事件，所以A错误；
对于B中，由，，，满足，所以B正确；
对于C中，由B知：，所以C错误；
对于D中，由，，
所以，所以D错误．
故选：B.
7. 有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若表示取得次品的件数，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：利用超几何分布即可求解.
解答过程：由题意知的可能取值为，，，，服从超几何分布，
则.
8. 函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：令，，根据题意分析的单调性和奇偶性，分类讨论是否为0，结合函数性质解不等式即可.
解答过程：令，，
因为，可知函数为的偶函数，
又因为，
当时，，
若，则，即；
若，则，，可得，
可知在内单调递减，则在内单调递增.
对于不等式，
当，即时，可得，符合题意；
当，即时，可得，
即，可得，解得，且；
综上所述：不等式解集为.
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
9. 已知离散型随机变量X的分布列服从参数为p的两点分布，且，则______.
答案：
解析：
思路：利用两点分布的概率和性质结合给定条件求解即可.
解答过程：因为X的分布列服从参数为p的两点分布，所以，且，
所以即，∴.
故答案为：
10. 已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则______.
答案：##1.5
解析：
思路：由空间向量基本定理即可求解.
解答过程：由四点共面可知，存在唯一实数对，使得，
即，
所以，解得.
故答案为：
11. 已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是______．
答案：
解析：
思路：求出函数在上的最大值，分类讨论求出的最大值，再根据给定条件建立不等式，借助单调性求出范围.
解答过程：由对任意，总存在，使得，得函数最大值不大于在上的最大值，
由函数，求导得，
函数在上单调递增，；
函数的定义域为，
求导得，当时，，
函数在上单调递增，当时，，不符合题意；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
因此，令，函数在上单调递增，
不等式，解得，
所以实数a的取值范围是.
三、I卷解答题：本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
12. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面，即可得平面平面；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法计算可得结果.
（1）底面为矩形，
所以，
又因为平面，平面，所以，
又平面，
所以平面，又平面，
可知平面平面；
（2）由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
易知，
则，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
可得，
所以；
因此直线与平面所成角的正弦值为.
13. 已知函数.
（1）曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值；
（2）当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据切线方程为可得斜率为，以及经过点，即可求导得解，
（2）将问题转化为，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解.
（1），曲线在点处的切线方程为，
则，则
（2）当时，依题意有对于任意恒成立，则，
设，
设，
由得：，则在上单调递减，
且，则在上恒成立，即在上单调递减，
，则，则.
14. 设甲袋中有3个白球､2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球､3个红球和个黑球（），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为.
（1）求的值；
（2）若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率；
（3）若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率
答案：（1）3； （2）；
（3）.
解析：
思路：（1）利用古典概率公式列式求解.
（2）利用条件概率公式求解.
（3）利用全概率公式求解.
（1）由从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为，得，
所以.
（2）从甲袋中取出两球，事件“第一个球是白球”，事件“第二个球是红球”
则，，，
所以在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率为.
（3）从甲袋中取出一个球是白球、红球、黑球的事件分别为，从乙袋取出的是白球或黑球的事件为，
则，，
由全概率公式得，
所以从乙袋取出的是白球或黑球的概率.
II卷（50分）
四、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
15. 已知、是两个随机事件，且，，则下列说法正确的有（ ）
A. 若、相互独立，则
B. 恒成立
C. 若，则
D. 若，则、相互独立
答案：AC
解析：
思路：利用独立事件的定义以及条件概率公式可判断A选项；举例可判断B选项；根据并事件的概率公式求出的值，结合条件概率公式可判断C选项；利用条件概率的性质可判断D选项.
解答过程：对于A选项，若、相互独立，则，
由条件概率公式可得，A对；
对于B选项，抛掷一枚骰子，定义事件向上的点数为，事件向上的点数为奇数，
则，，此时，，B错；
对于C选项，若，则，
因此，，C对；
对于D选项，对任意的事件、恒成立，故、不一定独立，D错.
故选：AC.
16. 如图，平行六面体的底面ABCD是边长为1的菱形，且，平面，则（ ）
A. 平面平面B.
C. D. 平行六面体的体积为
答案：ABD
解析：
思路：A选项，由线面平行得到面面平行；B选项，由线面垂直的判定定理和性质定理可证；C选项，先根据线面垂直得到线线垂直，由空间向量相关公式得到的长度，进而求出；D选项，求出平行六面体的高，得到体积.
解答过程：A选项，因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，所以平面，
同理可知，平面，
又，平面，所以平面平面，A正确；
B选项，连接，因为底面ABCD是边长为1的菱形，所以⊥，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，B正确；
C选项，因为平面，平面，所以，
，，
则，
即，
又，，设的长度为，
故，解得，负值舍去，
又，
故
，
所以，C错误；
D选项，，
又，
故，故，
过点作⊥于点，则，
因为平面，平面，所以，
因为平面，为相交直线，
所以⊥平面，故为平行六面体的高，
菱形的面积为，
则平行六面体的体积为，D正确.
17. 已知函数有两个零点，设其由小到大分别为，，则（ ）
A. 实数的取值范围是B.
C. D.
答案：ABD
解析：
思路：通过指对同构化简，再分离参数，数形结合可得AB选项；
利用零点关系化简，再构造函数，根据单调性以及范围可判断C选项；
可利用齐次化、比值代换解决D选项极值点偏移问题.
解答过程：定义域为，有两个零点，可化为有两个解，
又由于，所以左侧恒大于0，故右侧也恒大于0，可得，
设，则，在单调递增，
原方程可化为，
由于，，都在的单调增区间里，
所以，即，
设，，，
则时，，单调递增，
时，，单调递减，且恒大于0，
极大值，
可画出如图所示，则要使有两个解，即与图像有两个交点，

由图像可得a的范围是，故A选项正确；
同样由图象可得，所以，故B选项正确；
，，
结合，可得，
设，由于，则单调递增,
所以，故C错误；
由于，
所以，
设，则,，
设，，
，
在单调递增，，
所以，
又由于，，
所以，故D正确；
故选：ABD.
五、II卷解答题：本题共2小题，共32分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18. 四棱锥中，平面平面，，，，，是中点．
（1）求证：平面；
（2）若二面角的平面角的正弦值为，求出的值；
（3）在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案：（1），是中点，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，，
，是中点，，
，，，
，，
，，
在上取点，使得，且，
四边形为矩形，，，
，，，
在中，，，，
，，
，，平面，平面，
平面；
（2）；
（3）.
解析：
思路：（1）由平面平面得到平面从而得到，
在上取点，使得，得到四边形为矩形，求出的长度，
在中，利用勾股定理的逆定理得到，从而得到平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解；
（3）假设在侧棱上存在点，使得平面，设，，利用空间向量法求解.
（1）略
（2）取中点，连接，则，
以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，
设，，，
则，，，，，，
，，设平面的法向量为，
，，取，解得，则，
，，设平面的法向量为，
，，取，解得，，
，，，，
，，
设二面角的平面角为，则，，
，，，，
（3）假设在侧棱上存在点，使得平面，
设，，，
设，，，
，，
，
，，
平面的法向量为，
，，，
存在点，使得平面，
.
19. 已知函数
（1）求的值．
（2）讨论的单调性．
（3）若存在3个不同的零点，，且满足，此外有两个极值点和，求证：．
答案：（1）0 （2）时，在单调递增；时，在上单调递减，在，上单调递增.
（3）证明见解析
解析：
思路：（1）根据解析式直接计算得解；
（2）求出函数导数，分类讨论求单调性即可；
（3）利用极值点的概念转化为证明，再由函数的零点的定义得出，转化为证明，构造函数证明即可.
（1）.
（2）定义域为，．
令，
1°时,，即，则在单调递增；
2°时，当，即时，，在单调递增；
当，即时，由可解得，
所以或时，
在，上单调递增，
时，，在上单调递减．
综上，时，在单调递增；
时，在上单调递减，
在，上单调递增.
（3）由（2）知若存在两个极值点，则，且和为的两根，
不妨令，，，且．
在上单调递增，上单调递减，上单调递增，且，
在上存在零点，上存在零点，上存在零点，
则有，
要证，
只要证，
，，，
又，
也是的零点，即，
下证
，．
只要证，
只要证：，
令，，
在上单调递增，．
即，得证．