2025~2026学年河北省唐县第一中学高二下册第二次月考数学试题【含答案】

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1. 已知集合，或，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设随机变量的概率分布列如表所示，则（ ）
A. B. C. D.
3. 下列命题是真命题的是（ ）
A. ，；
B. ，；
C. 是的充分不必要条件；
D. 是的必要不充分条件．
4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
5. 一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品.现从中随机取出4件，设取出的4件产品中有件合格品，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知点满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. 16D. 不存在
7. 已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知奇函数的定义域为，且，若对于任意的且，都有，则（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 4为函数的一个周期
C. 在区间上单调递减
D. 当且时，恒有
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法不正确的有（ ）
A. 成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数r的值越接近于1
B. 随机变量X服从正态分布，，若，则
C. 若服从两点分布，且，则
D. 已知关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小值为
B. 函数的单调递减区间为
C. 函数恒有意义，则实数的取值范围是
D. 函数（且）在区间上单调递增，则实数取值范围为
11. 设非负实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值是B. 的最小值是
C. 的最小值是D. 12x+1yx,y≠0的最小值是4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知的解集为，则的解集是_______________.
13. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是____________.
14. 江苏城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖”活动，到该城市观看比赛的球迷可抽奖获得纪念品．规则如下：抽奖3次，每次抽中纪念品的概率均为．若前2次未抽中纪念品，则第3次无论抽中与否均获得纪念品．某球迷恰好获得1个纪念品的概率是_________；记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，则x的数学期望=___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合：；集合（m为常数）．
（1）定义且，当时，求；
（2）设命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
16. 湖南雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予分的初始积分，每答对一题加分，每答错一题减分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响．
（1）求小王答3道题后积分小于6的概率；
（2）设小王答4道题后积分为，求．
17. 随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇.
（1）为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了如下列联表：
（i）记选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率为，求的估计值；
（ii）依据小概率值的独立性检验，分析选择新能源汽车是否与年龄有关.
（2）为了了解该地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为.求与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量与年份的线性相关性强弱.
附：（i）在线性回归方程中，，；
（ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性很强；
（iii），其中.
18. 中华人民共和国第十四届运动会将于2021年在陕西省举办，全运会会徽以及吉祥物已于2019年8月2日晚在西安市对外发布.某公益团队计划联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为元时，销售量可达到万套.为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润=售价-供货价格.
（1）每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？
（2）每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？
19. 已知函数，对于任意的，都有，当时，．
（1）求的值；
（2）判断的奇偶性和单调性；
（3）设函数，若方程有2个不同的解，求m的取值范围．
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，或，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：由，解得，所以，
又或，所以，故．
2. 设随机变量的概率分布列如表所示，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据分布列概率之和为1，再根据的取值可求得答案.
解答过程：因为，所以或，
所以或．
故选:D．
3. 下列命题是真命题的是（ ）
A. ，；
B. ，；
C. 是的充分不必要条件；
D. 是的必要不充分条件．
答案：B
解析：
思路：对于全称量词的命题，只需举反例即可判断A项，对于特称量词命题，只需举例说明即可判断B，利用充要条件的判断方法判断C，D两项即可.
解答过程：对于A，当，显然不成立，故A错误；
对于B，若取，则，满足，故B正确；
对于C，对于，如，但，即充分性不成立，故C错误；
对于D，由必能得到，而由不一定得到，如，
故是的充分不必要条件，即D错误.
故选：B.
4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由题意求出的定义域，结合函数列出相应不等式组，即可求得答案.
解答过程：由题意可知函数的定义域为，即，
故，则的定义域为，
则对于，需满足，
即的定义域为，
故选：C
5. 一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品.现从中随机取出4件，设取出的4件产品中有件合格品，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：由超几何分布的均值公式即可求解.
解答过程：由题可得服从超几何分布，且，
所以.
故选：D
6. 已知点满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. 16D. 不存在
答案：A
解析：
思路：根据基本不等式求解即可.
解答过程：2x+4y≥22x·4y=22x+2y=223=42，当且仅当等号成立.
7. 已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：利用相关幂函数及复合函数性质得，，在上单调递增，结合已知列不等式求参数范围.
解答过程：对于，，结合相关幂函数性质，易知其在上单调递增，故函数在R上单调递增，
所以，即.
故选：D.
8. 已知奇函数的定义域为，且，若对于任意的且，都有，则（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 4为函数的一个周期
C. 在区间上单调递减
D. 当且时，恒有
答案：ABD
解析：
思路：利用函数的对称性判断选项A；利用函数的周期性定义求出函数的周期判断选项B；利用函数单调性定义判断单调性即可知C正误；利用对称中心的性质知D正误.
解答过程：选项A：因为是定义在上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称，
由，得的图象关于直线对称，由对称性可知，
函数的图象关于点成中心对称，故A正确；
选项B：由与，得，
所以，则4为函数的一个周期，故B正确；
选项C：因为对于任意的且，都有，
所以在区间上单调递减，又函数的图象关于点中心对称，
则在上单调递减，所以在区间上单调递减，
因为的图象关于直线对称，则在区间上单调递增，故C错误；
选项D：由上可知点是的对称中心，又因为，所以，故D正确.
故选：ABD
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法不正确的有（ ）
A. 成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数r的值越接近于1
B. 随机变量X服从正态分布，，若，则
C. 若服从两点分布，且，则
D. 已知关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为
答案：ABC
解析：
解答过程：对于A, 当两个变量是正相关时，相关系数越接近于1，当两个变量是负相关时，相关系数越接近于，故A错误;
对于B，随机变量服从正态分布，，若，
则PX>1.5=PX0Δ=k2−4×2k×380是增函数，由复合函数单调性，外层lg⁡au 也需递增，故；
要保证真数在上恒正：对所有成立，u=ax+4 递增，
故最小值趋近于a⋅(−2)+4≥0⟹a≤2 .
因此a∈(1,2]≠(1,2) ，错误.
11. 设非负实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值是B. 的最小值是
C. 的最小值是D. 12x+1yx,y≠0的最小值是4
答案：ACD
解析：
思路：根据二次函数的最值以及基本不等式求解即可.
解答过程：已知非负实数满足，因此y=1−2x≥0 ，得，.
选项A.将代入得xy=x(1−2x)=−2x2+x ，开口向下，对称轴为x=14∈[0,12] ，
最大值−2⋅(14)2+14=18，正确.
选项B.将代入得y+x2=x2−2x+1=(x−1)2，函数在上单调递减，
最小值在处取得(12−1)2=14≠0 ，错误.
选项C.4x2+y2=(2x+y)2−4xy=1−4xy .由A知，因此1−4xy≥1−4⋅18=12，
等号在x=14,y=12​时成立，正确.
选项D.12x+1y=(12x+1y)(2x+y)=2+y2x+2xy.
由基本不等式y2x+2xy≥2y2x⋅2xy=2 ，因此12x+1y≥2+2=4 ，等号在x=14,y=12​时成立，正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知的解集为，则的解集是_______________.
答案：
解析：
解答过程：由题意可知是方程的两根，
∴，，
∴ax2+x+b=x2+x−6=x+3x−2>0 ，
∴.
13. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是____________.
答案：
解析：
思路：令，利用复合函数的单调性得到在区间上单调递减求解即得.
解答过程：令，
因为在上递增，且函数在区间上单调递减，
由复合函数的单调性知：在区间上单调递减，
又因为在区间上递减，
所以，
所以的取值范围是.
14. 江苏城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖”活动，到该城市观看比赛的球迷可抽奖获得纪念品．规则如下：抽奖3次，每次抽中纪念品的概率均为．若前2次未抽中纪念品，则第3次无论抽中与否均获得纪念品．某球迷恰好获得1个纪念品的概率是_________；记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，则x的数学期望=___________.
答案： ①. ## ②.
解析：
思路：第一空：记为“恰好获得1个纪念品”，列出事件包含的子事件，求出这些子事件的概率再求和即可；
第二空：据题意得到的可能值并求对应事件的概率，求的分布列，再根据期望公式计算即得．
解答过程：第一空：
设每次抽中纪念品为事件，未抽中为事件 ，
所以，，
记为“恰好获得1个纪念品”，则有以下可能情况：
第次中，第次未中，第次未中：，
第次未中，第次中，第次未中：，
第次未中，第次未中，第次必得：，
所以PB=P1+P2+P3=18+18+14=12．
第二空：
记为某球迷获得第个纪念品时的抽奖次数，则的可能取值为．
，
Px=2=PAPA=12×12=14，
Px=3=PAPA=12×12=14，
所以的分布列为
Ex=1×12+2×14+3×14=74．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合：；集合（m为常数）．
（1）定义且，当时，求；
（2）设命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
答案：（1）
（2）解析：
思路：(1)求出集合A，B再由定义求A-B即可；
(2)由题意可解得，又由因为若p是q成立的必要不充分条件，得，求解即可.
（1）解：因为，若，即时，即，解得；若，则，无解，所以的解集为．
故．由可得 即，解得，
故，
则．
（2）由，即，
解得．
因为p是q成立的必要不充分条件，所以，所以或，
解得，
故m的取值范围为．
16. 湖南雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予分的初始积分，每答对一题加分，每答错一题减分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响．
（1）求小王答3道题后积分小于6的概率；
（2）设小王答4道题后积分为，求．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）分小王3题都答错，或答对1题答错2题讨论，再利用独立事件乘法公式和加法公式即可得到答案；
（2）利用二项分布的均值公式和均值性质即可得到答案；
（1）小王答3道题后积分小于6，有两种情况：3题都答错；答对1题，答错2题．
3题都答错的概率为；答对1题，答错2题的概率为，
所以小王答3道题后积分小于6的概率为；
（2）的可能取值为，
，，
，，
，
所以．
17. 随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇.
（1）为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了如下列联表：
（i）记选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率为，求的估计值；
（ii）依据小概率值的独立性检验，分析选择新能源汽车是否与年龄有关.
（2）为了了解该地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为.求与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量与年份的线性相关性强弱.
附：（i）在线性回归方程中，，；
（ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性很强；
（iii），其中.
答案：（1）（i）（ii）可以认为选择新能源汽车与年龄有关系
（2），与线性相关性很强
解析：
思路：（1）（i）根据古典概型计算公式计算求解；（ii）计算根据临界值表判断即可；
（2）根据最小二乘法结合题中参考公式计算求解即可判断.
（1）（i）由题可知，样本中选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的频率为，
由样本估计总体可得选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率.
（ii）零假设为：选择新能源汽车与年龄无关，
由列联表中数据代入计算得：，
所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即可以认为选择新能源汽车与年龄有关系，此推断犯错误的概率不超过.
（2）因为，，
所以，
故与线性相关性很强.
18. 中华人民共和国第十四届运动会将于2021年在陕西省举办，全运会会徽以及吉祥物已于2019年8月2日晚在西安市对外发布.某公益团队计划联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为元时，销售量可达到万套.为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润=售价-供货价格.
（1）每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？
（2）每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？
答案：（1）总利润为240万元；（2）每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套利润最大，最大值80元.
解析：
思路：
（1）根据题意直接求解即可；
（2）求出单套的利润的表达式，结合基本不等式进行求解即可.
解答过程：（1）每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为(万套)，
供货单价为(元)，
总利润为(万元).
答：总利润为240万元；
（2）销售量为，供货单价为，
单套利润为，因为，所以
所以单套利润为：
当且仅当，即时取等
所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元.
19. 已知函数，对于任意的，都有，当时，．
（1）求的值；
（2）判断的奇偶性和单调性；
（3）设函数，若方程有2个不同的解，求m的取值范围．
答案：（1）
（2）为奇函数；函数是上的减函数
（3）或．
解析：
思路：（1）在已知等式中令，可得；
（2）令，可得奇偶性，再用单调性的定义证明单调性；
（3）由奇函数性质及已知变形的形式，然后在中由的单调性化简得，即，作出函数的图象，它与直线的交点个数得结论．
（1）令，代入得，所以．
（2）令，
代入，可得，
所以，可得函数为奇函数；
任取，且
又因为时，，且，所以，
所以，即，所以函数是上的减函数．
（3），即
所以
，
令，即，
因为函数是上的减函数，所以，即
令
作出的图象如图，结合图象，可得：当或时，函数有2个零点，
即实数m的取值范围为或．
2
3
4
选择新能源汽车
选择传统汽车
总计
40岁以下
70
30
100
40岁及以上
40
60
100
总计
110
90
200
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
2
3
4
选择新能源汽车
选择传统汽车
总计
40岁以下
70
30
100
40岁及以上
40
60
100
总计
110
90
200
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828