2025~2026学年安徽省阜阳市太和县第二中学高一下册期中考试数学试题【含答案】

这是一份2025~2026学年安徽省阜阳市太和县第二中学高一下册期中考试数学试题【含答案】，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列转化结果错误的是（ ）
A. 化成弧度是B. 化成弧度是
C. 化成度是D. 化成度是
2. 若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
3. 已知平面向量，，若在上的投影向量为，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
4. 已知，则（ ）
A. 4B. 2C. D.
5. 已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③
6. 如图是“二十四节气圆周”图，各节气点等分“节气圆周”，则一年内在“节气圆周”上从谷雨节气点沿顺时针方向旋转到大寒节气点，旋转的角度为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，的部分图象如图所示，则（ ）

A. B.
C. 1D.
8. 如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（ ）
A. 13B. 14C. 20D. 25
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A.
B.
C. 若，，则
D. 若，，则
10. 在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 总存在某内角，有
B. 若，则
C. 若，则为等腰三角形
D. 若为锐角三角形，且，则
11. 如图，正方形的边长为4，． 若，则的值可能为（ ）

A. 12B. 15C. 32D.
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数且，写出满足条件的的一个值_________．
13. 在中，，，则________．
14. 如图，在中，边是的三等分点，为中点，且，则_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，图象如下：
（1）若，求的值；
（2）若，讨论方程的解的个数.
16. 如图，在菱形中，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
17. 设两个向量，满足．
（1）若，求的值；
（2）若为钝角，求实数的取值范围．
18. 已知函数.
（1）求的对称中心；
（2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.设为角终边上的一点，求.
19. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设分别为正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中．
（1）若向量，求；
（2）若向量的斜坐标分别为和，，设函数，，．
①若，的根从小到大依次为，求；
②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，）
数学
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列转化结果错误的是（ ）
A. 化成弧度是B. 化成弧度是
C. 化成度是D. 化成度是
答案：B
解析：
思路：利用角度与弧度的互化逐项判断可得出合适的选项.
解答过程：，，，
.
故选：B.
2. 若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
答案：B
解析：
解答过程：因为向量，是平面内的一组基底，可得向量，为平面内不共线的向量，
对于A中，设，可得，此时方程组无解，
所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底；
对于B中，设，可得，解得，
所以向量和为共线向量，不能作为平面的一组基底；
对于C中，设，可得，此时方程组无解，
所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底；
对于D中，设，可得，此时方程组无解，
所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底.
3. 已知平面向量，，若在上的投影向量为，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
答案：D
解析：
解答过程：由题意得，，
由投影向量的计算公式得，则，即，解得．
4. 已知，则（ ）
A. 4B. 2C. D.
答案：D
解析：
解答过程：．
5. 已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③
答案：A
解析：
思路：由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，直接代入求函数值即可判断②，结合函数图象的平移可判断③．
解答过程：解：因为，
①由周期公式可得，的最小正周期，故①正确；
②，不是的最大值，故②错误；
③根据函数图象的平移法则可得，函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到，故③错误．
故选：．
6. 如图是“二十四节气圆周”图，各节气点等分“节气圆周”，则一年内在“节气圆周”上从谷雨节气点沿顺时针方向旋转到大寒节气点，旋转的角度为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：从谷雨节气点沿顺时针方向旋转到大寒节气点，共经过18个节气点，
所以旋转的角度为.
7. 已知函数，的部分图象如图所示，则（ ）

A. B.
C. 1D.
答案：D
解析：
思路：根据函数的图象，结合三角函数的性质，求得，进而求得的值，得到答案.
解答过程：由函数的图象，可得，可得，则，
所以，
又由，即，可得，
解得，因为，所以，所以，
则.
故选：D.
8. 如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（ ）
A. 13B. 14C. 20D. 25
答案：D
解析：
思路：根据向量的线性运算、向量数量积的运算及三角形外接圆的性质求解即可.
解答过程：因为为边的中点，根据向量的平行四边形法则可知，，
所以.
取边中点，连接，则，所以.
所以
.
同理可得，.
所以.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A.
B.
C. 若，，则
D. 若，，则
答案：BCD
解析：
思路：利用三角函数的诱导公式和辅助角公式即可得出答案.
解答过程：对于A，，
已知，，，代入可得：
，故A错误；
对于B，由于，由辅助角公式可得，故B正确；
对于C，已知，则，由于，根据同角三角函数基本公式可得：
，又因为，根据两角和的余弦公式，可得：
，故C正确；
对于D，已知，根据正切公式，可得，
又因为，所以，根据两角和的正弦公式，可得：
，故D正确.
10. 在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 总存在某内角，有
B. 若，则
C. 若，则为等腰三角形
D. 若为锐角三角形，且，则
答案：ABD
解析：
思路：根据内角和定理和余弦函数性质可判断A；根据正弦定理及可得到，再由三角形中大边对大角的性质可知 A > B即可判断B；由，结合两角和差的正弦公式求解可判断C；进行三角函数中的商数关系变换并结合两角和的正弦公式求解可判断D.
解答过程：对于A，若三个内角都大于，则内角和大于，故在三角形中必存在一个不大于60°的锐角，所以，故A正确；
对于B，由和正弦定理可得，再由大边对大角可得，故B正确；
对于C，由，则，
整理得，而，
所以或，即三角形为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，，故D正确.
11. 如图，正方形的边长为4，． 若，则的值可能为（ ）

A. 12B. 15C. 32D.
答案：BD
解析：
思路：建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算结合不等式的性质，求的取值范围得结果.
解答过程：如图，以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，

则，
，.
当时，，则，
由，得，当且仅当时，等号成立，
得，得，当且仅当时，等号成立.
，当且仅当时，等号成立.
由，得，即，
则，故.
故选：BD.
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数且，写出满足条件的的一个值_________．
答案：（答案不唯一，满足条件即可）
解析：
思路：根据正弦函数的图象求解即可.
解答过程：由函数且，
得，
所以或，
所以或，
所以满足条件的可以是.
故答案为：.（答案不唯一，满足条件即可）
13. 在中，，，则________．
答案：
解析：
思路：根据长度和夹角关系，结合向量数量积定义直接求解即可.
解答过程：，，
，，，
.
故答案为：.
14. 如图，在中，边是的三等分点，为中点，且，则_______.
答案：1
解析：
思路：根据数量积的运算律计算可得.
解答过程：因为为中点，，是的三等分点，则，
所以，则，即，
所以，
所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，图象如下：
（1）若，求的值；
（2）若，讨论方程的解的个数.
答案：（1）或或
（2）答案见解析
解析：
思路：（1）根据正余弦函数的图像和性质求解；
（2）的解的个数就是函数和的交点个数.
（1）的函数图象如下：
当时，，解得，
当时，，解得或，
综上，或或；
（2）方程的解的个数等价于与的图象的交点个数，
则由（1）中函数图象可得，
当或时，解的个数为0；
当或时，解的个数为1；
当时，解的个数为3.
16. 如图，在菱形中，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据向量的线性运算可求的表示形式，从而可求的值；
（2）根据数量积的运算律可求的值．
（1），
因不共线，故，故.
（2）,
故
.
17. 设两个向量，满足．
（1）若，求的值；
（2）若为钝角，求实数的取值范围．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据向量的线性坐标运算及垂直的坐标公式列式求解即可.
（2）根据向量的数量积的坐标运算以及共线的坐标公式求解即可.
（1）因为，所以.
因为，所以，解得.
（2）因为，所以.
若为钝角，所以，且不反向共线.
由，所以，解得.
设，解得（两向量同向舍去）.
所以实数的取值范围为.
18. 已知函数.
（1）求的对称中心；
（2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.设为角终边上的一点，求.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）先对函数进行化简，再根据正弦函数的对称中心性质求解.
（2）先根据函数图象的变换规律求出的表达式，再根据三角函数的定义求出和的值，最后代入进行计算.
（1）根据二倍角公式可得：，
即，根据正弦函数的对称中心性质可得：
， 解得，
所以的对称中心为.
（2）因为为角终边上的一点，
根据三角函数的定义可得：，
所以，，
又因为函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
由三角函数的图象变换性质可得，
，
又因为，，
所以，
.
19. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设分别为正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中．
（1）若向量，求；
（2）若向量的斜坐标分别为和，，设函数，，．
①若，的根从小到大依次为，求；
②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，）
答案：（1）
（2）①；②，理由见解析
解析：
思路：（1）根据题意，得到，，结合向量的运算公式，即可求解；
（2）①求得，得到，转化为的根，画出两个函数的图象，得到一个周期内方程根的个数为3，进而得到答案；②令，得到，根据，得到，结合函数的单调性，即可求解.
（1）解：因为向量，所以，
又因为，为单位向量，且夹角为，可得，，
所以，所以.
（2）解：①因为向量，，所以，，
所以，
化简得，
又因为的斜坐标分别为和，
可得
所以，
则方程的根等价于的根，
如图所示，在和的一个周期内，方程根的个数为3，
因为，则当，根的个数；
②，理由如下：
令，，则，
又因为，，所以，
又因为，所以，由零点存在定理可得，
由①可知在上单调递减，
所以，即，所以．