2025~2026学年安徽省太和中学高二下册5月期中考试数学试题【含答案】

这是一份2025~2026学年安徽省太和中学高二下册5月期中考试数学试题【含答案】，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数的导函数为，若，则的值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
2. 若随机变量服从两点分布，其中，则（ ）
A. B. C. D.
3. 某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，80%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑冰，则该同学也爱好滑雪的概率为（ ）
A. 0.8B. 0.6C. 0.5D. 0.3
4. 今年我校有5名新进教师，需将这5人全部分配到高中3个不同的年级，要求每个年级至少分配1人，每名教师只能分配到一个年级，则不同的分配方案共有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
5. 已知随机变量的分布列为
则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 幼儿园有三个不同的汽车玩具和三个不同的恐龙玩具，以下说法不正确的是（ ）
A. 将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具排在一起有144种不同的排法
B. 将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具都不相邻的有144种不同的排法
C. 将这6个玩具排成一排，其中三个汽车玩具的先后顺序一定的有120种不同的排法
D. 将这6个玩具分给甲、乙两个小朋友，每人3个，一共有40种不同的分配方案
7. 已知为坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的点，直线的斜率为1，若，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知实数x，y满足且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 被16除的余数是15
10. 已知数列的前项和为，且，则（ ）
A. B. 是等差数列
C. D. 数列的前项和小于
11. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，下列结论正确的是（ ）.
A.
B. 主持人打开3号箱的概率
C. 若，且甲更改选择，则他获奖的概率为
D. 若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在的展开式中，的系数为12，则的值为______．
13. 射击中每次击中目标得2分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是__________．
14. 椭圆的左、右焦点分别为，，以右焦点为焦点的抛物线与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 一个小组九人，其中，编号分别为1，2，3，4，5的男生五人；编号分别为1，2，3，4的女生四人，现从该小组中任意选取3人．
（1）求选出的3个人中有相同编号的情况有多少种；
（2）若选出的3个人中编号的最大值为，求出的分布列和数学期望．
16. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点，为上的一点，且，为线段上不包括端点的动点．
（1）若为的中点，证明：平面；
（2）若，设直线与平面所成的角为，求的最大值．
17. 已知函数．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有两个零点，求a的取值范围．
18. 已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）已知点，设过点的直线与交于两点．
①若的斜率分别为，证明：；
②若点在线段上，且．证明：轴．
19. 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数．
（1）求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）；
（2）当时，比较与的大小，并证明；
（3）设，证明：．
数学
（满分：150分：考试时间：120分钟）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数的导函数为，若，则的值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
答案：B
解析：
解答过程：依题意，.
2. 若随机变量服从两点分布，其中，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：因为，所以，则.
3. 某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，80%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑冰，则该同学也爱好滑雪的概率为（ ）
A. 0.8B. 0.6C. 0.5D. 0.3
答案：C
解析：
解答过程：记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件，
则，
所以，
所以.
4. 今年我校有5名新进教师，需将这5人全部分配到高中3个不同的年级，要求每个年级至少分配1人，每名教师只能分配到一个年级，则不同的分配方案共有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
答案：D
解析：
解答过程：已知5名新进教师分到3个不同年级，每个年级至少1人，共两种分法：
①：；
②：；
不同的分配方案共有种．
5. 已知随机变量的分布列为
则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
解答过程：对于A，E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.4 ，故A错误；
对于B，D(X)=(1−2.4)2×0.2+(2−2.4)2×0.3+(3−2.4)2×0.4+(4−2.4)2×0.1=0.84 ，故B错误；
对于C，E(2X+7)=2E(X)+7=2×2.4+7=11.8 ，故C错误；
对于D，D(2X+7)=4D(X)=4×0.84=3.36 ，故D正确.
6. 幼儿园有三个不同的汽车玩具和三个不同的恐龙玩具，以下说法不正确的是（ ）
A. 将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具排在一起有144种不同的排法
B. 将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具都不相邻的有144种不同的排法
C. 将这6个玩具排成一排，其中三个汽车玩具的先后顺序一定的有120种不同的排法
D. 将这6个玩具分给甲、乙两个小朋友，每人3个，一共有40种不同的分配方案
答案：D
解析：
解答过程：将汽车玩具作为一个整体，共有种不同的排法，故A正确；
先排恐龙玩具，再将汽车玩具插空，共有种不同的排法，故B正确；
先将所有玩具排列，再利用定序法求解，共有种不同的排法，故C正确；
先给甲3个，再给乙3个，共有种不同的分配方案，故D错误.
7. 已知为坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的点，直线的斜率为1，若，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：求出抛物线的焦点坐标，由直线的斜率求得，可得数列是以2为首项，4为公差的等差数列，进而求得，进而求解即可.
解答过程：依题意，，
直线的斜率为，
则，又,
所以数列是以2为首项，4为公差的等差数列，
则，
则，即的坐标为.
故选：A.
8. 已知实数x，y满足且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：先分离同构，得到，设,则上式表明,利用导数研究函数单调性，并结合由已知条件得到的和的取值范围，得到,进而，然后将表示为的函数，利用导数求其最小值.
解答过程：∵，∴，∴，即，
设,则上式表明,
求导得，当时，,单调递减，
由于，∴，∴，
∴,∴，∴,令,
,当时，单调递减；当时，单调递增，
∴,
故选：D.
方法提示：本题关键难点在于将已知条件整理得到两边同构的形式，构造同构函数，然后利用函数单调区间上的函数值与自变量的一一对应关系得到.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 被16除的余数是15
答案：BC
解析：
思路：根据二项式展开式的性质，通过赋值法来求解各项系数的值，再根据余数的定义判断被16除的余数.
解答过程：已知，
令，可得，即，所以选项错误.
展开式的通项为.
当为偶数时，；当为奇数时，.
所以.
令，则，即，所以选项正确.
令，则.
又因为，所以，所以选项正确.
.根据二项式定理展开可得：
.
所以.
则被16除的余数是1，所以选项错误.
故选：BC.
10. 已知数列的前项和为，且，则（ ）
A. B. 是等差数列
C. D. 数列的前项和小于
答案：ACD
解析：
思路：对于A，利用求解；对于B，利用的关系求出的通项公式，再进行证明；对于C，求出，，进行比较；对于D，利用裂项相消法求出数列的和即可证明.
解答过程：对于A，，A正确；
对于B，当时，，
符合上式，所以，所以，
所以当时，，所以是等比数列，B错误；
对于C，，，
所以，C正确；
对于D，，
设数列的前项和为，
则
，D正确.
11. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，下列结论正确的是（ ）.
A.
B. 主持人打开3号箱的概率
C. 若，且甲更改选择，则他获奖的概率为
D. 若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大
答案：BC
解析：
解答过程：对于A，奖品在号箱里，主持人可打开号箱，故，故A错误；
对于B，奖品在号箱里，主持人可打开号箱，故，
奖品在号箱里，主持人只能打开号箱，故，
奖品在号箱里，主持人打开号箱的概率为，故，
奖品在号箱里，主持人只能打开号箱，故，
由全概率公式可得：，故B正确；
对于C、D，
（1）若甲不更改选择时，由贝叶斯公式计算
.
从而.
（2）当甲更改选择时
①若甲改选号箱，甲中奖的概率为，
②若甲改选号箱，甲中奖的概率为，
因此甲更改选择，获奖的概率为，故C正确；
而，即甲改选号箱与改选号箱的中奖概率一样，故D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在的展开式中，的系数为12，则的值为______．
答案：
解析：
思路：先写出通项公式，即可求出的值.
解答过程：解：因为的展开式的通项为：
，
又因为的系数为12，
所以当时，，
所以，
解得.
故答案为：
13. 射击中每次击中目标得2分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是__________．
答案：4.2##
解析：
解答过程：设射击3次击中目标的次数为，的可能取值为，每次射击击中目标的概率为，
且每次射击击中目标与否互不影响，则，
，
因为每次射击击中目标得2分，所以射击3次的得分的数学期望是.
14. 椭圆的左、右焦点分别为，，以右焦点为焦点的抛物线与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率__________.
答案：
解析：
思路：根据椭圆定义结合已知条件求出，利用椭圆第二定义及抛物线定义列方程求解离心率.
解答过程：
根据题意，，，
所以，，
设的横坐标为，，解得，
抛物线的焦点为右焦点，可得，
可得，椭圆的离心率.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 一个小组九人，其中，编号分别为1，2，3，4，5的男生五人；编号分别为1，2，3，4的女生四人，现从该小组中任意选取3人．
（1）求选出的3个人中有相同编号的情况有多少种；
（2）若选出的3个人中编号的最大值为，求出的分布列和数学期望．
答案：（1）
（2）分布列见解析，
解析：
思路：（1）首先从，，，这四组编号中选出一组，再从其余人中选个人，利用组合数公式计算可得；
（2）依题意的可能取值为，，，，求出相应的概率，即可得到分布列与数学期望.
（1）选出的3个人中有相同编号，则其中两人的编号相同，
首先从，，，这四组双编号组中选出一组，有种选法，
再从选过后的人中选个人，有种选法，
所以选出的3个人中有相同编号的情况有种；
（2）依题意的可能取值为，，，，
所以，，
，.
所以的分布列为
所以的数学期望.
16. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点，为上的一点，且，为线段上不包括端点的动点．
（1）若为的中点，证明：平面；
（2）若，设直线与平面所成的角为，求的最大值．
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）作辅助线，通过线线平行证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，通过求出平面的法向量，结合夹角公式进行求解.
（1）设线段的中点为，连接，，如下图所示
，
在中，为的中点，为的中点,所以，
在矩形中，且，
所以四边形是平行四边形，因此A1O//BD ，
因为，为的中点，所以为的中点，
因为为的中点，在中有，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）由题意如图建立如图所示的空间直角坐标系
，
则，，，，G4,0,2，F3,1,0，
设，且BP⃗=λBC1⃗=(0,−4λ,4λ) ，,则P0,4−4λ,4λ，CP=0,4−4λ,4λ，
设平面的法向量为，因为CF=3,1,0，CG=4,0,2，
所以a⃗⋅CF⃗=3x+y=0a⃗⋅CG⃗=4x+2z=0，故可取a=1,−3,−2，
因此sinα=|csCP→,a→|=−34−4λ−2×4λ4−4λ2+4λ2×14=114×λ−32λ2−2λ+1，
令，则sinα=114×113t2+10t+2=114×1131t+5132+113，
所以当，即，λ=25∈(0,1) 时，有最大值．
17. 已知函数．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有两个零点，求a的取值范围．
答案：（1）
（2）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；在上单调递减．
（3）解析：
思路：（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率，进而求出切线方程；
（2）求导，利用导数分析函数单调性；
（3）分类讨论确定零点个数，构造函数并求导，利用导数分析函数单调性，进而求出a的取值范围．
（1）当时，，，
求导得，则切线斜率，
切线方程为：．
（2），求导得
，
恒成立，
当时，，，在上单调递减；
当时，令，解得，
时，，单调递减；
时，，单调递增；
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；在上单调递减．
（3）当时， 在上单调递减，至多有1个零点，不符合题意；
若，由（2）知，当时，取得最小值为.
设，则，
故在上单调递增，又.
（i）当时，，故此时没有两个零点；
（ii）当时，，
又，
故在上有一个零点；
当，由可得即，得，则，
故，即，又易知
则，即
因此在上也有一个零点.
综上，若有两个零点，实数的取值范围为.
18. 已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）已知点，设过点的直线与交于两点．
①若的斜率分别为，证明：；
②若点在线段上，且．证明：轴．
答案：（1）
（2）①证明见解析；②证明见解析
解析：
思路：（1）设，则有即可求解；
（2）①设直线方程，联立椭圆方程，由韦达定理有，代入两点斜率公式化简即可证明；
②由题意，设，不妨取在轴的上方，根据坐标运算得，根据求得，代入直线的方程得，即可证明.
（1）设，动点满足直线和直线的斜率乘积为，
所以，即，即，.
所以曲线的方程为.
（2）①由题意，直线的斜率不为0，设直线，
联立直线与椭圆E的方程消去x整理得，
则，即，可得：或，则，
所以，所以
．
综上，．
②因为点在线段上，且，所以，且D为内比分点，
由题意在轴的上方或下方，根据对称性不妨取在轴的上方，如图，
所以存在实数，使得，设，
所以，化简得，
由①知，所以，
所以，即，所以轴.
19. 泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数．
（1）求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）；
（2）当时，比较与的大小，并证明；
（3）设，证明：．
答案：（1），；
（2），证明见详解；
（3）证明见解析.
解析：
思路：（1）求出，根据泰勒公式可得；
（2）构造函数，利用导数判断单调性，结合可证；
（3）利用（2）中结论令，结合裂项相消法可证，构造函数证明，令，利用裂项相消法可证.
（1）因为，
所以
所以的泰勒公式为：，
所以
（2）记，
因为，所以在上单调递增，
又，所以时有，
所以.
（3）由（2）知，，即，
所以，
即.
令，则，
所以在上单调递减，所以，故，
所以，
则，即.
综上，时，.
方法提示：关键点睛：第三问关键在于构造差函数证明，结合（2）中结论令，使用裂项相消法即可得证.
1
2
3
4
0.2
0.3
0.4
0.1
1
2
3
4
0.2
0.3
0.4
0.1
2
3
4
5