2025--2026学年安徽省太和中学高一下册实验部下册下册第2次月考数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年安徽省太和中学高一下册实验部下册下册第2次月考数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在中，，，且的面积为，则的周长为（ ）
A. 15B. 12C. 16D. 20
3. 如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形
5. 如图，在中，设，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 设，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某环保监测站对某流域的个监测点的水质指数进行抽样检测，数据按、、、分组，得到频率分布直方图如图所示.已知数值越高水质越优，且水质指数不低于的被称为“I类优质水”，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若每组数据均以中点值为代表，则估计样本水质指数的平均数为
C. 估计该流域水质指数不低于的监测点有个
D. 估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为
10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 向量与向量的夹角为D. 在的投影向量是
11. 定义一种向量运算“”：，其中是任意的两个非零向量，是与的夹角．对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C.
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，内角所对的边分别为，已知（为常数），若该三角形有两个解，则的取值范围是__________.
13. 已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为__________.
14. 已知为函数相邻的两个零点，满足且，若在上有三个实数根，则实数的取值范围是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知角以轴的非负半轴为始边，点在角的终边上，且，
（1）求及的值；
（2）求的值．
16. 如图，在中，D是线段上的点，且，O是线段的中点延长交于E点，设．
（1）求的值；
（2）若为边长等于2的正三角形，求的值．
17. 已知函数的图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的单调递增区间；
（3）求函数在区间上的值域．
18. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若是锐角三角形，且，求的周长的取值范围；
（3）若，，等边的顶点D，E，F分别在边，，上（不含端点），求的面积的最小值.
19. 已知函数在内有且仅有2个对称中心和2条对称轴.
（1）求取最大值时的值；
（2）若将的图象向右平移个单位长度，得到，且在内有且仅有一个实数根.
①求的值；
②若，，使得成立，求实数的取值范围.
数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：因为集合，
，
所以.
2. 在中，，，且的面积为，则的周长为（ ）
A. 15B. 12C. 16D. 20
答案：A
解析：
思路：由面积公式求出，由余弦定理求出，即可得解.
解答过程：因为，，且的面积为，
所以，解得，
由余弦定理，
所以，则.
故选：A
3. 如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用正弦定理和锐角三角函数定义求解即可.
解答过程：在中，由正弦定理得，则，
在中，，所以.
故选：A
4. 在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形
答案：D
解析：
思路：将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得，从而可以判断三角形的形状.
解答过程：，，
，
化简得，，
，即，
或，
，或，即或，
是直角三角形或等腰三角形.
故选：D.
5. 如图，在中，设，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：结合图形由向量的线性运算可得.
解答过程：因为，
所以，，
又因为，
所以，
所以，
故选：C.
6. 已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：设相应事件，，根据题意结合互斥事件以及独立事件可得，结合事件的运算求解即可.
解答过程：设A表示“甲独立攻克该难题”，B表示“乙独立攻克该难题”，
则，设，
由题意可得，即，
可得，解得，
所以该难题被攻克的概率．
故选：B．
7. 设，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据条件，利用平方关系和商数关系得到，利用正切的倍角公式得到，进而可得，再结合角的范围，即可求解.
解答过程：因为，，则，所以，
则，又因为，则，
又，则，
又，，则，所以，
故选：D.
8. 已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
答案：A
解析：
思路：令，由可得，，，分类讨论结合函数图象分析求解即可.
解答过程：求函数的零点个数，即求方程的不同实数根的个数，
如图，作出函数的大致图象，
令，则，解得，，．
当时，，则，此时方程无解；
当时，，则，此时方程有3个不同实数根；
当时，，则，此时方程有2个不同实数根．
综上可知，函数的零点个数为5．
故选：A．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某环保监测站对某流域的个监测点的水质指数进行抽样检测，数据按、、、分组，得到频率分布直方图如图所示.已知数值越高水质越优，且水质指数不低于的被称为“I类优质水”，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若每组数据均以中点值为代表，则估计样本水质指数的平均数为
C. 估计该流域水质指数不低于的监测点有个
D. 估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为
答案：ABD
解析：
思路：在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为，可得出关于的等式，可判断A选项；利用频率分布直方图可求出样本水质指数的平均数，可判断B选项；求出水质指数不低于的频率，再利用频数、频率和总容量的关系可判断C选项；求出水质指数不低于的频率，可判断D选项.
解答过程：对于A，在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为，
所以，解得，故A正确；
对于B，样本水质指数的平均数为
，故B正确；
对于C，由频率分布直方图可知，水质指数不低于的频率为，
则估计该流域水质指数不低于的监测点有个，故C错误；
对于D，第5组的频率为，
故水质指数不低于的频率为，
则估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为，故D正确.
10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 向量与向量的夹角为D. 在的投影向量是
答案：AC
解析：
思路：利用平面向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用平面向量的模长公式可判断B选项；利用平面向量夹角的坐标表示可判断C选项；利用投影向量的概念可判断D选项.
解答过程：对于A选项，，则，故，A对；
对于B选项，，故，B错；
对于C选项，设向量、的夹角为，则，
因为，故，C对；
对于D选项，在方向上的投影向量为，D错.
故选：AC.
11. 定义一种向量运算“”：，其中是任意的两个非零向量，是与的夹角．对于同一平面内的非零向量，给出下列结论，其中不正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C.
D. 若，则
答案：BCD
解析：
思路：利用的定义证明A选项正确，然后由可否定B和C选项，最后给出D选项的反例即可.
解答过程：对于A，若，由的定义有或.
由于是非零向量，故前者不可能成立，从而，这得到，即.
所以，故，A正确；
对于B，设有非零向量，则，，故，B错误；
对于C，由于，故，C错误；
对于D，若，，，则，D错误.
故选：BCD.
方法提示：关键点点睛：本题的关键点在于构造反例否定一个命题，需要恰当选取反例方可得到结论.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，内角所对的边分别为，已知（为常数），若该三角形有两个解，则的取值范围是__________.
答案：
解析：
解答过程：在中，，，，则asinB=2×sinπ3=3,
由该三角形有两个解，可得,
即.
13. 已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为__________.
答案：##-0.2
解析：
思路：根据向量的几何意义得到的平分线与垂直，并计算出，，建立平面直角坐标系，表达出，配方求出最小值.
解答过程：分别表示与方向的单位向量，故所在直线为的平分线所在直线，
又，故的平分线与垂直，
由三线合一得到，取的中点，
因为，故，

以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，
设，，
则，
当时，取得最小值，最小值为.
故
14. 已知为函数相邻的两个零点，满足且，若在上有三个实数根，则实数的取值范围是__________.
答案：
解析：
思路：先根据相邻零点距离求周期得，由对称性求确定函数表达式，再转化为正弦方程根的问题，最后通过分析解的个数确定的范围.
解答过程：因为是的两个相邻零点，且，
所以的半周期T2=1 ，T=2 ，即ω=2πT=2π2=π ，
所以函数为 f(x)=sin(πx+φ) ，
由fx+13=−f(−x) 可知的一个对称中心为，
所以sinπ6+φ=0 ，解得φ=−π6+kπ,k∈Z ，
又，取 ，所以，即f(x)=sinπx−π6，
因为，所以πx−π6∈−π6,πm−π6，
令z=πx−π6，则问题转化为方程sinz=12在z∈−π6,πm−π6上有三个实数根，
即y=sinz,z∈−π6,πm−π6的图象与直线有且仅有三个交点，
结合正弦函数图象可知πm−π6∈13π6,17π6，解得m∈73,3.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知角以轴的非负半轴为始边，点在角的终边上，且，
（1）求及的值；
（2）求的值．
答案：（1）；；
（2）解析：
思路：（1）根据正弦函数的定义可求的值，再根据定义可求；
（2）利用诱导公式和弦切互化法可求三角函数式的值.
（1）因为点角的终边上，且，
根据三角函数定义，则，
解得或（舍），
所以．
（2）.
16. 如图，在中，D是线段上的点，且，O是线段的中点延长交于E点，设．
（1）求的值；
（2）若为边长等于2的正三角形，求的值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据图形，利用向量的线性运算，化简求值；
（2）法一，根据平面向量基本定理的推论，确定，再以向量为基底，表示向量，利用数量积公式，即可求解；法二，首先设，以向量为基底，表示与，利用向量平行求，再利用数量积公式求的值.
（1）因为O为的中点，，
又，故
（2）法一，设，因为O为的中点，，
∴
∵B，O，E三点共线，所以，得
故
因为为边长为2的正三角形
故
（法二）设
又由（1）知与为非零的共线向量.
与为非零的共线向量，所以，得
∴
因为为边长为2的正三角形
故
.
17. 已知函数的图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的单调递增区间；
（3）求函数在区间上的值域．
答案：（1）
（2），
（3）解析：
思路：（1）根据函数图象确定函数最值与周期，再代入点坐标，可得函数解析式；
（2）利用整体代入法可得函数单调区间；
（3）可得在上的值域，再利用换元法结合二次函数性质可得值域.
（1）由图象可知，
且，即，
又，所以；
所以，
又，
解得，，
又，则，
所以；
（2）令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，，
又，
所以函数在上的单调递增区间为和；
（3）当，则，
即
设，
则，，
所以当时，取得最小值为；
当时，取得最大值为，
故在上的值域为.
18. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若是锐角三角形，且，求的周长的取值范围；
（3）若，，等边的顶点D，E，F分别在边，，上（不含端点），求的面积的最小值.
答案：（1）
（2） （3）.
解析：
思路：（1）根据的具体表达式，结合正弦定理边化角化简已知等式，建立关于角A的方程，进而求解角；
（2）先利用正弦定理将边a、c用角B、C表示，结合锐角三角形的条件确定B的取值范围；将三角形周长转化为关于B的三角函数，再根据三角函数的性质求取值范围；
（3）可设，利用三角形内角和与正弦定理，将用含的三角函数形式表示，并确定相关参数的取值范围，继而写出面积表达式，即可求最小值.
（1）因为，所以，
由正弦定理得，
而，
所以，
因为，所以，解得（舍去），
因为，所以，即.
（2）由（1）知，由正弦定理得，所以，，
又，
所以的周长
，
因为是锐角三角形，所以，所以，所以，
又，所以，
所以.
即的周长的取值范围是.
（3）设，，则，，，
在中，，所以，
在中，，所以，
因为，所以，
所以.
在中，，，所以，
所以，，
所以，
因为，
其中，，
当，即时，等号成立，
所以，
所以，即的面积的最小值为.
19. 已知函数在内有且仅有2个对称中心和2条对称轴.
（1）求取最大值时的值；
（2）若将的图象向右平移个单位长度，得到，且在内有且仅有一个实数根.
①求的值；
②若，，使得成立，求实数的取值范围.
答案：（1）
（2）①；②
解析：
思路：（1）将化简为Asin2ωx+φ形式，利用正弦函数在内对称中心和对称轴的个数，确定，再求最大值时的；
（2）①平移后得，将方程有唯一解转化为在对应区间内恰有一个解，求；
②将存在性条件转化为函数值域的包含关系，通过换元分析参数的范围.
（1）已知函数，其中，，
则函数可写为，化简可得.
设，令，
所以 ，
当时，，与条件矛盾，
令，由，，可得π6≤X≤2ωπ+π6，
因为函数在内有且仅有2个对称中心和2条对称轴，
所以2π≤2ωπ+π60，方程在上有且仅有一个解，
当时，唯一解；
当时，有两个解；
当时无解.
所以.
②当时，，，.
此时，
当时，设，则 ，
令，这是二次函数，开口向上，对称轴为，
由已知当t∈lna,0时的取值范围需包含.
令，
解得，，因为t∈lna,0，所以舍掉.
因此时，；当时，；当−1.5