2025~2026学年安徽省阜阳市太和县第八中学高一下册期中考试数学试题【含答案】

这是一份2025~2026学年安徽省阜阳市太和县第八中学高一下册期中考试数学试题【含答案】，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 与角的终边相同的最小正角是（ ）
A. B. C. D.
2. 若是第二象限的角，则是（ ）
A. 第一或第三象限角B. 第一或第四象限角
C. 第二或第三象限角D. 第二或第四象限角
3. 下列各式中不能化简为的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 九章算术是我国古代的数学专著，卷一方田三三“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”译成现代汉语，其意思为：有一块扇形的田，弧长步，其所在圆的直径是步，问这块田的面积是多少平方步？计算可知，这块田的面积是（ ）
A. 平方步B. 平方步C. 平方步D. 平方步
5. 如图，在中，为边上靠近的三等分点，若为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 定义运算，例如，，则函数的值域为
A. B. C. D.
8. 已知函数，若在上的值域是，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 当（）时，取得最大值1
C. 函数图象的一个对称中心是
D. 将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位长度，则所得到的图象的函数解析式为
10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在−7π4,−5π4上单调递减
11. 如图，点是线段的中点，，点是平行四边形内(含边界)的一点，且，以下结论中正确的是（ ）
A. 当是线段的中点时，
B. 当时，
C. 当为定值时，点的轨迹是一条线段
D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，且与共线，则______．
13. 函数，的值域为________．
14. 已知为奇函数，则当正数取最小值时，函数的图象的对称轴方程是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点
（1）求､以及的值；
（2）若，求的值.
16. 已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线．
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标；
（3）已知，在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
17. 已知函数，．
（1）求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
18. 已知函数部分图象如图所示．
（1）求解析式；
（2）求函数在上的单调递增区间；
（3）将函数的图象上各个点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向右平移个单位长度得到的图象，若存在，使得等式成立，求实数的取值范围．
19. 某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型即（其中），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．

（1）求旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离；
（2）求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）；
（3）在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值．
数学
考试时间：120分钟，分值：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 与角的终边相同的最小正角是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：由题意，则与角的终边相同的最小正角是.
2. 若是第二象限的角，则是（ ）
A. 第一或第三象限角B. 第一或第四象限角
C. 第二或第三象限角D. 第二或第四象限角
答案：A
解析：
思路：由的范围，除以2，求出的范围，分类讨论可得到角的象限．
解答过程：解：是第二象限角，
，
，
当时，，在第一象限；
当时，，在第三象限；
是第一或三象限角．
故选：A．
3. 下列各式中不能化简为的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：利用向量加、减法运算，对四个选项一一计算即可.
解答过程：对于A：，故A能化简为；
对于B：，故B不能化简为；
对于C：，故C能化简为；
对于D：，故D能化简为.
4. 九章算术是我国古代的数学专著，卷一方田三三“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”译成现代汉语，其意思为：有一块扇形的田，弧长步，其所在圆的直径是步，问这块田的面积是多少平方步？计算可知，这块田的面积是（ ）
A. 平方步B. 平方步C. 平方步D. 平方步
答案：C
解析：
思路：根据弧长与直径计算即可
解答过程：解：因为弧长为步，所在圆的直径为步，
所以这块田的面积（平方步）
故选：C．
5. 如图，在中，为边上靠近的三等分点，若为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：根据平面向量运算法则计算即可.
解答过程：因为为边上靠近的三等分点，
所以，
所以
,
因为为的中点，
所以，
所以.
6. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：因为，，所以，，且，所以，，所以,
故选D.
7. 定义运算，例如，，则函数的值域为
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：先阅读理解题意，可得，再作出函数在一个周期内的图象，再由图像观察值域即可.
解答过程：解：根据题设中的新定义，得，作出函数在一个周期内的图象（实线部分），观察图象，可知函数的值域为，
故选:.
方法提示：本题考查了阅读能力，重点考查了分段函数的图像及其值域，属中档题.
8. 已知函数，若在上的值域是，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：用换元法转化为在上的值域为，画图观察列式可得结果.
解答过程：由题意可得，令 则 ,如图所示，
∵的值域是，，
∴，即：
∴由图可知，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 当（）时，取得最大值1
C. 函数图象的一个对称中心是
D. 将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位长度，则所得到的图象的函数解析式为
答案：AB
解析：
思路：
利用余弦函数周期公式可求周期，即可判断A；将带入解析式计算，可判断B；
解方程可判断C；利用图象的平移和伸缩变换可判断D，进而可得正确选项.
解答过程：对于选项A：的最小正周期为，故选项A正确；
对于选项B：当（）时，，
，取得最大值1，故选项B正确；
对于选项C：令，可得，不存在使得，故选项C不正确；
对于选项D：将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得，再将图象向右平移个单位长度可得，故选项D不正确.
故选：AB
方法提示：关键点点睛：本题解题的关键是掌握三角函数的周期公式，整体代入法求三角函数的对称中心，令，三角函数的平移变换注意左加右减的规律.
10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在上单调递减
答案：ABD
解析：
思路：根据图像先确定的值，根据周期得到，再代入点可得的解析式，再根据正弦型函数的性质逐项判断即可．
解答过程：由题图知，，，所以，
又函数的图象过点，
所以，所以，，
又，所以，所以，故A，B正确．
由，，得函数的对称轴为直线，，故C错误．
由，，得，，
所以函数在区间上单调递减，故D正确．
11. 如图，点是线段的中点，，点是平行四边形内(含边界)的一点，且，以下结论中正确的是（ ）
A. 当是线段的中点时，
B. 当时，
C. 当为定值时，点的轨迹是一条线段
D. 的最大值为
答案：ACD
解析：
思路：对A，根据条件，利用向量的线性运算，即可求解；对B，取线段，的中点，延长与直线交于点，利用几何关系得，从而得点的轨迹为线段，再取两个端点即可求解；对C，令，可得三点共线，利用几何关系可得点的轨迹是线段，即可求解；对D，利用向量的线性运算，可得，进而可得，即可求解．
解答过程：对于A，当是线段的中点时，
，
所以，故A正确，
对于B，当时，如图1，取线段，的中点，分别记为，
则平行于，
延长与直线交于点，则，
所以，则，
又点在平行四边形内(含边界)，所以点的轨迹为线段，
当点与重合时，，
当点与重合时，，
所以．故B不正确，
对于C，当为定值2时，，
令，可得三点共线，
分别取线段的中点，如图2，记为，
所以，即，
连接交于点，因为，且，则，
所以点的轨迹是线段，故C正确．
对于D，由于平行四边形所在区域在的左上方，且三点共线，
所以，则，所以，
即当时，取得最大值，此时点与点重合，所以D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，且与共线，则______．
答案：##
解析：
思路：先求出两个线性组合向量的坐标，再利用平面向量共线的坐标充要条件求解参数.
解答过程：由题意得，
因为与共线，则，
即，解得.
13. 函数，的值域为________．
答案：
解析：
思路：
令，由，求得，根据正切函数的单调性，即可求解.
解答过程：令，因为，可得，即，
此时函数在区间为单调递增函数，
可得，
即函数，的值域为
故答案为：
14. 已知为奇函数，则当正数取最小值时，函数的图象的对称轴方程是______．
答案：
解析：
思路：根据函数的奇偶性求出取得最小值，再根据正弦函数的对称性求解即可.
解答过程：因为为奇函数，所以，
所以，即，所以当时，正数取得最小值，
此时．令，则，
故所求函数的图象的对称轴方程是．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点
（1）求､以及的值；
（2）若，求的值.
答案：（1），.
（2）解析：
思路：（1）利用三角函数的定义即可求得结果.
（2）用诱导公式化简，进而利用齐次式弦化切即可求值.
（1）由题意，
根据三角函数定义知：，.
（2）由（1）知，
.
16. 已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线．
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标；
（3）已知，在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）根据A，E，C三点共线，得，即可列等量关系求解，
（2）根据坐标运算即可求解，
（3）根据向量相等即可列方程求解.
（1）．
因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得，
即，得．
因为，是平面内两个不共线的非零向量，所以，解得，．
（2）．
（3）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以．
设，则，
因为，所以，解得，即点A的坐标为．
17. 已知函数，．
（1）求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
答案：（1）最小正周期为，单调递减区间是，.
（2），此时；，此时.
解析：
思路：（1）由余弦函数的周期公式即可求得答案，再利用整体法即可得到单调减区间；
（2），利用余弦函数的单调性即可求得其最小值和最大值及取得最值时的值.
（1）的最小正周期，
当，即，时，单调递减，
∴的单调递减区间是，.
（2）∵，则，
故，
∴，此时，即，
，此时，即．
18. 已知函数部分图象如图所示．
（1）求解析式；
（2）求函数在上的单调递增区间；
（3）将函数的图象上各个点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向右平移个单位长度得到的图象，若存在，使得等式成立，求实数的取值范围．
答案：（1）
（2）、、
（3）解析：
思路：（1）观察图象利用最高点求出振幅，利用半周期的横坐标差求出，再代入已知特殊点的坐标即可求解；
（2）采用“整体代换”法，结合正弦型函数的单调递增区间，解出x的范围后再与限定区间 求交集；
（3）由图象变换求出，再利用换元法将方程转化为闭区间上的二次函数有解问题，分离参数后求二次函数的最值即可.
（1）设该函数的最小正周期为，且，
由函数图象可知：且，
即，
由图象可知：
，
因为，所以令，
由上可知：．
（2），由，
因为，所以令，单调递增区间为，
令，得，而，所以单调递增区间为，
当，得，而，所以单调递增区间为，
综上所述：函数在上的单调递增区间为、、．
（3）由题意可得，．
当时，．
因为存在使得等式 成立，
即方程在上有解．
令，则，方程转化为：在 上有解，
整理得：在 上有解．
令，，对称轴为，
，所以，
，因此，即实数的取值范围为 ．
19. 某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型即（其中），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．

（1）求旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离；
（2）求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）；
（3）在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值．
答案：（1）米
（2） （3）或
解析：
思路：（1）首先求出旋转的角度，再求出初始高度及旋转上升的高度，即可得解；
（2）依题意设，即可得到，，再由周期求出，最后求出即可；
（3）令，结合正弦函数的性质计算可得.
（1）因为旋转一周所需时间分钟，所以旋转分钟转过的角度为，
号座舱（点）离地面的初始高度为米，
又摩天轮的半径为30米，所以逆时针旋转时上升的高度为米，
所以旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离米；
（2）依题意1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（其中），
依题意可得，，则．
又，，
当时，，又，所以，
所以．
（3）令，即，，
，，
或，解得或，
故或时，1号座舱与地面的距离为17米．