2025-2026学年安徽省阜阳市太和中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年安徽省阜阳市太和中学高二（下）期中数学试卷，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数f（x）的导函数为f′（x），若f′（4）=-2，则的值为（ ）
A. -2B. -1C. 2D. 4
2.若随机变量X服从两点分布，其中，则D（X）=（ ）
A. B. C. D.
3.某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，80%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑冰，则该同学也爱好滑雪的概率为（ ）
A. 0.8B. 0.6C. 0.5D. 0.3
4.今年我校有5名新进教师，需将这5人全部分配到高中3个不同的年级，要求每个年级至少分配1人，每名教师只能分配到一个年级，则不同的分配方案共有（ ）
A. 50种B. 60种C. 90种D. 150种
5.已知随机变量X的分布列为
则下列正确的是（ ）
A. E（X）=2.48B. D（X）=6.6C. E（2X+7）=4.8D. D（2X+7）=3.36
6.幼儿园有三个不同的汽车玩具和三个不同的恐龙玩具，以下说法不正确的是（ ）
A. 将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具排在一起有144种不同的排法
B. 将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具都不相邻的有144种不同的排法
C. 将这6个玩具排成一排，其中三个汽车玩具的先后顺序一定的有120种不同的排法
D. 将这6个玩具分给甲、乙两个小朋友，每人3个，一共有40种不同的分配方案
7.已知O为坐标原点，F是抛物线E：y2=4x的焦点，是抛物线E上的点，直线BnAn+1的斜率为1，若A1（1，2），则A10的坐标为（ ）
A. （361，38）B. （400，40）C. （441，42）D. （484，44）
8.已知实数x，y满足x＞ey＞1且，则的最小值为（ ）
A. B. 3+3ln3C. D. 3-3ln3
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若，则下列结论正确的是（ ）
A. a0=-1
B.
C.
D. f（8）被16除的余数是15
10.已知数列{an}的前n项和为Sn，且，则（ ）
A. a1=4B. {an-2}是等差数列
C. am+n＜amanD. 数列的前n项和小于
11.在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用Ai表示i号箱有奖品（i=1，2，3，4），用Bj表示主持人打开j号箱子（j=2，3，4），下列结论正确的是（ ）
A.
B. 主持人打开3号箱的概率
C. 若j=3，且甲更改选择，则他获奖的概率为
D. 若j=3，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，x4的系数为12，则a的值为 .
13.射击中每次击中目标得2分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是 .
14.椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，以右焦点F2为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，若，则椭圆的离心率e= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
一个小组九人，其中，编号分别为1，2，3，4，5的男生五人；编号分别为1，2，3，4的女生四人，现从该小组中任意选取3人.
（1）求选出的3个人中有相同编号的情况有多少种；
（2）若选出的3个人中编号的最大值为X，求出X的分布列和数学期望.
16.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1，D，E，G分别为A1B1，C1D，AA1的中点，F为AB上的一点，且BF=3AF，P为线段BC1上不包括端点的动点.
（1）若P为BC1的中点，证明：PE∥平面CFG；
（2）设直线CP与平面CFG所成角的为α，求sinα的最大值.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.
（1）当a=3时，求f（x）在x=0处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.
18.(本小题17分)
已知A，B两点的坐标分别为（-2，0），（2，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是.
（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）已知点F（1，0），设过点T（4，0）的直线l与E交于P，Q两点.
①若PF，QF的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2=0；
②若点D在线段PQ上，且|TP||DQ|=|TQ||DP|.证明：DF⊥x轴.
19.(本小题17分)
泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式.当f（x）在x=0处的n（n∈N*）阶导数都存在时，它的公式表达式如下.注：f′（0）表示函数f（x）在原点处的一阶导数，f″（0）表示在原点处的二阶导数，以此类推，和fn（0）（n≥3）表示在原点处的n阶导数.
（1）求f（x）=ln（1+x）的泰勒公式（写到含x3的项为止即可），并估算ln1.1的值（精确到小数点后三位）；
（2）当x＞0时，比较ln（1+x）与的大小，并证明；
（3）设n∈N*，证明：.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】ACD
11.【答案】BC
12.【答案】-2
13.【答案】4.2
14.【答案】
15.【答案】28；
分布列见解析；．
16.【答案】证明见解析；
．
17.【答案】y=6x+4 当a≤0时，f（x）在R上单调递减；当a＞0时，f（x）在（-lna，+∞）上单调递增；在（-∞，-lna）上单调递减 （0，1）
18.【答案】；
①证明见解析；②证明见解析．
19.【答案】解：（1）因为，f″（x）=，f′′′（x）=，
所以f′（0）=1，f″（0）=-1，f′′′（0）=2，
又f（0）=0，所以f（x）=ln（1+x）的泰勒公式为：，
所以x=0.1时，ln1.1=0.1-+≈0.095．
（2）证明：0，
因为，
所以g（x）在（0．+∞）上单调递增，又g（0）=0，
所以x＞0时有，
所以．
（3）证明：由（2）得，，即ln（k+1）-lnk＞-，k∈N*，
所以，即，
令h（x）=ln（1+x）-x,x＞0，则h′（x）=-1=＜0，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以h（x）＜h（0）=0，故ln（1+x）＜x,
所以，
则（ln2-ln1）+（ln3-ln2）+…+（ln（n+1）-lnn）＜，即，
综上，n∈N*时，． X
1
2
3
4
P
0.2
0.3
0.4
0.1