2025-2026学年安徽省阜阳市太和中学高二（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年安徽省阜阳市太和中学高二（下）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2-10x≤0}，，则A∩B=（ ）
A. [-1，10]B. （0，1]C. （-∞，0）D. [1，10]
2.已知，则|z|的值为（ ）
A. 5B. C. D.
3.某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲、乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为X，Y，且X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ）
A. Y的数据较X更集中
B. P（X≤c）＜P（Y≤c）
C. 甲种茶青每500克的红茶产量超过μ2的概率大于
D. P（X＞c）+P（Y≤c）=1
4.已知数列{an}的前n项和为Sn，且，则“”是“数列{an}为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.过点P（-1，1）的直线l与圆C：x2+y2+4x-1=0交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A. B. C. D. 2
6.“City不City”是一个今年在网络上迅速走红的流行语，这句流行语也成为了外国游客表达对中国城市深刻印象的一种新颖方式.现将一对C，一对i,一对t,一对y重新组合排成一行，若至多有2对相同的字母相邻（如CCiityty,CCitiyty等），则不同的排法有（ ）
A. 2124种B. 2148种C. 2352种D. 2420种
7.已知函数的最小正周期为T，且，若f（x）在上有且只有三个最值点，则ω的取值范围是（ ）
A. （7，10）B. [7，10）C. [7，10]D. （7，10]
8.双曲线C1：的左焦点为F1，点F1在抛物线C2：y2=2px（p＞0）的准线上，过点F1作双曲线C1的渐近线的垂线，垂足为M，延长F1M交抛物线C2于点N，|NF1|=2|MN|，则双曲线C1的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在2026年央视春节联欢晚会上，宇树科技旗下UnitreeG1机器人带来的表演节目《武Bt》凭借精彩表现赢得全国观众广泛赞誉.宇树科技是一家专注于高性能四足机器人研发与生产的中国科技企业，UnitreeG1机器人具备轻量化、高敏捷性与高爆发力等特性.现对该机器人在某地区2025年2月至6月期间的销售量统计数据整理如下表所示：
用最小二乘法得到UnitreeG1的销售量y（单位：台）关于月份x的经验回归方程为，则（ ）
A. m=80
B. 经验回归方程经过点（5，80）
C. 预测机器人UnitreeG1产品9月份的销量约为151台
D. 5月销售量的残差6.1
10.已知三棱锥A-BCD的各顶点都在球O上，点M，N分别是AC，CD的中点，AB⊥平面BCD，CD=2AB=2BC=4，AD=2，则下列说法中正确的是（ ）
A. CD⊥平面ABCB. 球O的体积是
C. 直线BD与平面ABC所成角的正弦值是D. 平面BMN被球O所截的截面面积是
11.某公益组织一直关注青少年的成长，该组织的会标设计灵感便来源于“成长”一词的拼音首字母C、Z.该会标的大致轮廓为如图所示的一个以O为圆心、AB为直径的半圆，和一段Z形折线ACBD组成，其中AB⊥AC，AB⊥BD，AB=2，AC=BD=1.现有两动点P，Q在圆弧和线段BC、AC（包含端点）上运动，则下列说法正确的有（ ）
A. 的最大值为
B. 若，则
C. 最大值为2
D. 若，则在上的投影向量模长的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的展开式中含x3的项的系数为 .
13.已知函数f（x）是定义在区间（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且满足，则不等式的解集为 .
14.甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜.每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量X，则D（X）的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,记△ABC的面积为S，且满足.
（1）证明：b=c；
（2）若，且，求S.
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，点O是AB的中点.
（Ⅰ）求证：PO⊥CD；
（Ⅱ）求直线CP与平面POD所成角的正弦值.
17.(本小题15分)
小明玩摸球游戏，袋子里面装有形状和大小相同的红球、白球和绿球若干个，每次都是有放回地摸一个球，若首次摸到的是红球，爸爸就奖励小明2元，并规定：若连续摸到红球，则下次摸到红球的奖励是上次的两倍；若某次摸到其他球，则该次无奖励，且下次奖金重置为2元.已知小明每次摸到红球的概率是，且每次能否摸到红球相互独立.
（1）试问至少要摸几次球，才能使摸到红球的概率不小于？
（2）若小明连续摸球3次，记获得的总奖金为X元，求E（X）.
18.(本小题17分)
已知椭圆C：的离心率为，短轴长为，正△Q1Q2Q3的三边分别与C相切于P1，P2，P3三点，O为坐标原点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线Q1Q2的斜率不存在，求△Q1Q2Q3的中心坐标；
（3）求证：点O不是△Q1Q2Q3的中心.
19.(本小题17分)
设函数f（x）定义在区间I上，若对任意x1，x2，⋯，xn∈I，有，则称f（x）为I上的下凸函数，等号成立当且仅当x1=x2=⋯=xn.若函数f（x）在区间I上存在二阶可导函数，则f（x）为区间I上的下凸函数的充要条件是f″（x）≥0.
（1）若f（x）=lnx+ax2是[1，2]上的下凸函数，求实数a的取值范围；
（2）在锐角三角形ABC中，求sinA+sinB+sinC最大值；
（3）已知正实数x1，x2，⋯，xn满足x1+x2+⋯+xn=1，求的最小值.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】-120
13.【答案】{x|-2026＜x＜-2025}
14.【答案】
15.【答案】由，得，
因为sinA≠0，所以，
化简得（4b+3c）（b-c）=0，故b=c
16.【答案】解：（Ⅰ）证明：在四棱锥P-ABCD中，由PA=PB，点O是AB的中点，得PO⊥AB，
而平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD=AB，
POC平面PAB，
则PO⊥平面ABCD，又CD⊂平面ABCD，
所以PO⊥CD．
（Ⅱ）在平面ABCD内过点O作Oy⊥AB，
由（1）知直线OB，Oy,OP两两垂直，
以点O为原点，直线OB，Oy,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

由AD∥BC，，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，
得，
则O（0，0，0），，C（1，1，0），D（-1，3，0），
，，，
设平面POD的一个法向量，
则，
令y=1，得，
所以直线CP与平面POD所成角的正弦值为．
17.【答案】解：（1）设要摸n次球，才能使摸到红球的概率不小于，
此时，
解得，
所以n≥4，
即至少要摸4次球，才能使摸到红球的概率不小于；
（2）若小明连续摸球3次，
此时X的所有可能取值为0，2，4，6，14，
可得，，
，
，，
所以X的分布列为：
则．
18.【答案】解：（1）由题意得，椭圆的离心率，短轴长，故，
根据椭圆的基本关系，代入，得：
，
化简得，解得，
因此，椭圆的方程为：；
（2）直线斜率不存在，故设其方程为，
由于是椭圆的切线，代入椭圆方程得，相切时，故，取，对称情况同理，
正三角形的另外两边与成角，由夹角公式得斜率，
设斜率为的切线方程为，
联立，消去y可得，
,
则，
解得；
同理斜率为的切线方程为（），
取、，两条切线方程为：
与交于；
与交于；
与交于（联立方程解得），
正三角形的重心坐标为三顶点坐标的平均值：
，
同理，当时，中心坐标为；
（3）用反证法证明：假设点是的中心（重心），则重心坐标为，
故，即，，
由于、、是椭圆切线的交点，满足切线条件：
在切线、上，故，,
在切线、上，故，，
将，代入在上的条件：
，
展开得：，
由于、均在上，上式化为，矛盾，
故假设不成立，点不是的中心.
19.【答案】
月份x
2
3
4
5
6
销量y
42
53
66
m
109
X
0
2
4
6
14
P