2025--2026学年安徽省太和第一中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年安徽省太和第一中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知函数，则的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知为等差数列，为等比数列，，则（ ）
A. 4B. 7C. 8D. 15
4. 数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，9，14，20，27，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
5. 将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“两次出现的点数和为”，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 与相互独立
6. 的展开式中，的系数为（ ）．
A. B. C. 6D.
7. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A. B. eC. D.
8. 下列说法错误的为（ ）
A. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲只能站最左端，丙和丁相邻的不同排列方式有12种
B. 从分别标有数字1､2､3､…7的7张卡片中一次性抽取2张，则抽到的2张卡片上数字之和小于8的情况有9种
C. 有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，则他们所得的球数的不同情况有16种
D. 在7道题中有5道数学题和2道物理题，如果不放回地依次抽取两道题，则在第一次抽到数学题的前提下，第二次也抽到数学题的概率是
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（）
A. B.
C. 若，则D. 若，则
10. 数列的前项和为，且，，则（ ）
A. 数列是等差数列B. 数列是等比数列
C. D. 数列的前项和等于
11. 定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（ ）
A. 在上是“弱减函数”
B. 在上是“弱减函数”
C. 若在上是“弱减函数”，则
D. 若在上是“弱减函数”，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知数列是由实数构成的等比数列，，且成等差数列，则的公比为___．
13. 将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为______（用分数表示）.
14. 若，不等式恒成立，则正数的取值范围为______.
四、解答题（本题共5小题，共77分，第15题13分，第16∼17 题每题15分，第18∼19 题每题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 设甲袋中有3个白球､2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球､3个红球和个黑球（），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为.
（1）求的值；
（2）若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率；
（3）若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率
16. 在①，；②公差为1，且，，成等比数列；③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：已知等差数列的前项和为，且满足______．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，其中表示不超过的最大整数，求．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
17. 在 的展开式中，
（1）求展开式中所有项的系数和；
（2）求二项式系数最大的项；
（3）系数的绝对值最大的项是第几项?
18. 已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明
19. 已知，直线与曲线和都相切．
（1）求的值；
（2）若，其中．
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：．
数学
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知函数，则的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：求导，根据导函数的符号确定的减区间.
解答过程：解：函数的定义域为，
，
当时，单调递增，当时，单调递减；
的减区间是．
2. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据导数得函数在上单调递增，由单调性可得，再解一元二次不等式即可.
解答过程：由题意可得函数的定义域为，，
因为，，当且仅当，即时等号成立，
因为，所以恒成立，函数在上单调递增，
则不等式，解得，
所以不等式的解集为.
3. 已知为等差数列，为等比数列，，则（ ）
A. 4B. 7C. 8D. 15
答案：B
解析：
思路：设出公差与公比，由题中所给条件列方程组即可求出公差与公比，即可得解.
解答过程：设的公差为，的公比为，
则由题可知，有，解得或（舍去），则，
因此.
故选：B.
4. 数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，9，14，20，27，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
答案：C
解析：
思路：根据概念，先写出等差数列的前几项，得到通项公式，再求数列的第8项.
解答过程：由题意，数列的前几项为：，且数列为等差数列，所以：，故.
故选：C
5. 将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“两次出现的点数和为”，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 与相互独立
答案：D
解析：
思路：由古典概型计算可判断A错误；由及可得B错误；应用条件概率公式计算判断C,由独立事件的乘法公式可以判断D.
解答过程：对于A：将一枚均匀的骰子掷两次基本事件共有个，
事件包括，2个基本事件，所以，故A错误；
对于B：因为不互斥，，，
所以，故B错误；
对于C：事件包括4个基本事件，所以，
，故C错误；
对于D：事件为“第一次出现偶数点”， ，，
，与相互独立，故D正确；
故选：D.
6. 的展开式中，的系数为（ ）．
A. B. C. 6D.
答案：D
解析：
解答过程：的展开式的通项为，
令，得，
的系数为．
7. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A. B. eC. D.
答案：C
解析：
思路：根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
解答过程：依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
8. 下列说法错误的为（ ）
A. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲只能站最左端，丙和丁相邻的不同排列方式有12种
B. 从分别标有数字1､2､3､…7的7张卡片中一次性抽取2张，则抽到的2张卡片上数字之和小于8的情况有9种
C. 有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，则他们所得的球数的不同情况有16种
D. 在7道题中有5道数学题和2道物理题，如果不放回地依次抽取两道题，则在第一次抽到数学题的前提下，第二次也抽到数学题的概率是
答案：C
解析：
思路：由排列组合的方法性质及条件概率进行求解．
解答过程：A.丙和丁相邻的排法有种，然后将乙、戊与（丙丁）整体进行排列，排法有种，
因为甲站在最左端，所以不同的排列方法有种.故A正确.
B.两张卡片和小于8的情况有：1与2；1与3；1与4；1与5；1与6；2与3；2与4；2与5；3与4共9种情况.故B正确.
C.有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，故首先分给甲1个球，乙2个球，丙3个球，还剩下4个球，
①4个球分给一人，有3种分法；
②4个球分给两个人，又有两种情况，一人3个一人1个有种分法；两人都是2个有3种分法；③4个球分给3个人，只有1、1、2这种情况，有3种分法，
按照分类加法计数原理可得一共有种；故C错误.
D.记第一次抽到数学题的事件为A，第二次抽到数学题的事件为B，
于是得，，由条件概率公式得，
所以在第一次抽到数学题的前提下，第二次也抽到数学题的概率是.故D正确.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（）
A. B.
C. 若，则D. 若，则
答案：ACD
解析：
思路：本题依次利用排列数、组合数的计算公式与组合数取值约束、组合数方程化简、组合数对称性质，分别代入验算A选项数值，由定义域求出再估值判断B选项，展开整理排列组合方程求解验证C选项，借助求并计算组合数判定D选项，最终确定正确选项为ACD.
解答过程：选项A，根据组合数公式，排列数公式，代入得，选项A正确.
选项B，根据组合数定义，下标大于等于上标且均为非负整数，可得不等式组0≤3n≤13+n0≤17−n≤2n，解得，又，故，原式转化为，选项B错误.
选项C，由排列组合定义知且，公式展开得，即.
化简得x3−6x2+8x=0,xx−2x−4=0 ，由题可知，所以，选项C正确.
选项D，根据组合数性质，得或，解得或，当时，当时，选项D正确.
10. 数列的前项和为，且，，则（ ）
A. 数列是等差数列B. 数列是等比数列
C. D. 数列的前项和等于
答案：ABD
解析：
思路：根据与之间的关系分析可得，即可判断A；进而可得，，即可判断BC；整理可得，利用裂项相消法运算求解，即可判断D.
解答过程：对于A，由数列满足，
当时，，所以，
可得，
因为，可得，所以，
则，所以，所以，
所以数列是以首项为，公差的等差数列，所以A正确；
对于B，由A项可得，所以，
当时，，
当时，，适合上式，所以，
又由，可得，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以B正确；
对于C，由B项知：数列的通项公式为，所以C错误；
对于D，由，
可得的前项和为：
，所以D正确.
11. 定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（ ）
A. 在上是“弱减函数”
B. 在上是“弱减函数”
C. 若在上是“弱减函数”，则
D. 若在上是“弱减函数”，则
答案：BD
解析：
思路：根据在上的单调性可判断A；根据“弱减函数”的概念，利用导数判断单调性即可判断BC;由“弱减函数”的概念可得在上单调递减，在上单调递增，求导，分离参数，利用导数求最值即可判断D.
解答过程：对于A选项，因为函数在上不是增函数，故A不满足条件；
对于B选项，，当时，，故函数在上是减函数.
令，则，
故函数在上为增函数，故B满足条件；
对于C选项，若在上单调递减，由，得，
故的单调递减区间为.
若在上单调递增，则.
故若在上是“弱减函数”，则，故C错误；
对于D选项，若在上单调递减，
则在上恒成立，即.
令，
则，令，
则，
则在上单调递减，故.
故，在上单调递减，.
所以，解得.
若在上单调递增，
则在上恒成立，
所以.
令，
则，
所以在上单调递增，.
所以，解得.
综上，，故D正确.
故选:BD.
方法提示：总结点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知数列是由实数构成的等比数列，，且成等差数列，则的公比为___．
答案：2
解析：
思路：由已知条件数列是由实数构成的等比数列，且成等差数列，列出等式求出公比
解答过程：数列是由实数构成的等比数列，且成等差数列，
，
，
则
,
化简可得
为实数
则
故答案为2
方法提示：本题主要考查了等比数列、等差数列的综合知识，只需按照题目条件列出等式即可求出结果，本题较为基础．
13. 将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为______（用分数表示）.
答案：
解析：
思路：利用分组分配法与古典概型概率公式计算即得.
解答过程：4个不同的小球依次随机投入3个篮子，每个小球均有3种投法，故总投法数为种；
要求每个篮子不空，需使其中一个篮子放2个球，另两个篮子各放1个球，故有投法数为种.
由古典概型概率公式，可得概率为.
14. 若，不等式恒成立，则正数的取值范围为______.
答案：12e,+∞
解析：
思路：当时，条件显然成立，所以只需处理的情况即可，此时，令，求导，利用函数的单调性转换求解即可.
解答过程：，
又，所以，
当时，上式显然成立，
所以只需处理的情况即可，
此时2λe2λx≥lnx⇔2λxe2λx≥xlnx⇔2λxe2λx≥lnxelnx，
令，
恒成立，所以严格递增，
在恒成立即可，
令，则，
令，
当时，，严格递增，
当时，，严格递减，
所以，所以，
故答案为.
四、解答题（本题共5小题，共77分，第15题13分，第16∼17 题每题15分，第18∼19 题每题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 设甲袋中有3个白球､2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球､3个红球和个黑球（），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为.
（1）求的值；
（2）若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率；
（3）若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率
答案：（1）3； （2）；
（3）.
解析：
思路：（1）利用古典概率公式列式求解.
（2）利用条件概率公式求解.
（3）利用全概率公式求解.
（1）由从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为，得，
所以.
（2）从甲袋中取出两球，事件“第一个球是白球”，事件“第二个球是红球”
则，，，
所以在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率为.
（3）从甲袋中取出一个球是白球、红球、黑球的事件分别为，从乙袋取出的是白球或黑球的事件为，
则，，
由全概率公式得，
所以从乙袋取出的是白球或黑球的概率.
16. 在①，；②公差为1，且，，成等比数列；③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：已知等差数列的前项和为，且满足______．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，其中表示不超过的最大整数，求．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据条件求出等差数列的基本项，求出数列的通项公式；
（2）由（1）求出，求出、、和，求出当时，当时，当时，求出.
（1）设等差数列的公差为，
若选①，
因为，，
所以解得，
所以；
若选②，
因为等差数列的公差为1，且成等比数列，
所以，即，
解得，所以；
若选③，
因为等差数列中，，，
所以，即，
解得，所以；
（2）由（1）知，
因为，，，，
所以当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以．
17. 在 的展开式中，
（1）求展开式中所有项的系数和；
（2）求二项式系数最大的项；
（3）系数的绝对值最大的项是第几项?
答案：（1）1 （2）
（3）第6项和第7项
解析：
思路：（1）借助赋值法令即可得；
（2）结合二项式系数的性质与二项式的展开式的通项公式计算即可得；
（3）解不等式组即可得.
（1）令，可得展开式中所有项的系数和为；
（2）二项式系数最大的项为中间项，即第5项，
的展开式的通项为：
，
故；
（3）由的展开式的通项为：
，
设第项系数的绝对值最大，显然，则，
整理得，即，
解得，而，则或，
所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
18. 已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明
答案：（1）答案见解析
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）求导得，进而分和两种情况讨论求解即可；
（2）根据题意证明，进而令，再结合（1）得，研究函数的性质得，进而得时， ，即不等式成立.
（1）解：函数的定义域为，
，
∴当时，在上恒成立，故函数在区间上单调递增；
当时，由得，由得，即函数在区间上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在上单调递减；
（2）证明：因为时，证明，只需证明，
由（1）知，当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减；
所以.
令，则，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以.
所以时， ，
所以当时，
19. 已知，直线与曲线和都相切．
（1）求的值；
（2）若，其中．
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：．
答案：（1），；
（2）（i）；（ii）证明见解析.
解析：
思路：（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算进行求解即可；
（2）（i）根据导数的正负性与函数单调性的关系，运用转化法，结合数形结合思想进行求解即可；
（ii）对所证明不等式进行变形，利用构造函数法，结合导数的性质进行运算证明即可.
（1）．
设与的切点为，
则，解得，所以．
由与相切，同理得，
所以．
（2）（i）由得直线与有两个不同的交点，与有两个不同的交点，
由（1）知，，，
在上单调递减，在上单调递增；
，，
在上单调递减，在上单调递增，
又，且；
，且，
作出函数和的图象，
由图象知的取值范围为．
（ii）不妨设，
由（i）知，，
显然，且，所以，
同理，．
要证，只需证，
只需证．
又，只需证．
令函数，则，
所以函数在（0，1）上单调递增，
由得，所以显然成立，
综上，．