2026年九年级上学期数学秋季开学学情自测卷含答案（北京专用，范围：新教材北京版）

这是一份2026年九年级上学期数学秋季开学学情自测卷含答案（北京专用，范围：新教材北京版）试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上.
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
9.
10.8
11.>
12.
13.
14.2
15.或
16.
三、解答题：共10小题，共72分．
17．（5分）
【答案】(1)，
(2)，
【详解】（1）解：

∴或
解得，．·······························2分
（2）解：
移项得
开平方得
解得，．······························5分
18．（5分）
【答案】(1)
证明：，，，
，
，
，
，
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．
（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可；
（2）利用相似三角形的性质求解．
【详解】（1）略······························2分
（2）解：△△，
，
，
．······························5分
19．（6分）
【答案】(1)
(2)见详解
(3)或
(4)
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，画二次函数的图象，化为顶点式，二次函数与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据题意，把化为顶点式，即可作答．
（2）先描点，再连线，即可作答．
（3）结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答．
（4）结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答．
【详解】（1）解：
；······························2分
（2）解：由（1）得，
则顶点坐标是，
令时，则，
令时，则，
令时，则，
令时，则，
故在平面直角坐标系中把分别描出来，依次连接，如图所示：
······························4分
（3）解：观察图象，函数的开口向上，且当时，
则当时，的取值范围是或；······························5分
（4）解：结合函数图象，当时，直接写出的取值范围为．······························6分
20．（6分）
【答案】(1)；
(2)当或时，一次函数的值大于反比例函数的值
【分析】（1）先用待定系数法求解反比例函数解析式，从而得出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据图象，即可进行解答．
【详解】（1）解：∵反比例的图象过点，即，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
又∵点在函数的图象上，
∴，，
∴
又∵一次函数过、两点，
即，
解之得．
∴一次函数的解析式为；······························4分
（2）解：由图象可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．······························6分
21．（6分）
【答案】(1)
即为所求：
(2)38米
【分析】本题考查三角形相似的实际应用：
（1）过A作，交于C，即为所求；
（2）根据写出比例关系即可求解．
【详解】（1）解：过A作，交于C．······························2分
（2）解：，
，
，，
，
，
，即，
（米），
祈年殿的实际高度为38米．······························6分
22．（8分）
【答案】(1)证明：∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
(2)．
【分析】由可得，然后证明，所以，得四边形为平行四边形，又，故有四边形为菱形；
由得四边形为菱形，则，，，由勾股定理得，所以，然后通过直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）略；······························3分
（2）解：如图，
由得四边形为菱形，
∴，，，
∴，为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，即的长为．······························8分
23．（8分）
【答案】(1)（为正整数，）
(2)购买甲种型号机器人5台，最少费用为115万元
(3)当时，购买甲型机器人5台；当时，购买甲种型号机器人台或台或台或台或台，台；当时，购买甲型机器人10台
【分析】（1）设购买甲种型号的机器人x台，则购买乙种型号的机器人台，根据费用=单价×数量，列式求解即可；
（2）根据题意，得，确定x的取值范围，再利用一次函数的性质，求解即可；
（3）设购买甲种型号机器人台，则超出数量为台，超出的机器每台单价为万元，根据题意，得，分，，三种情况，根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设购买甲种型号的机器人x台，则购买乙种型号的机器人台，
根据题意，得，
每种型号都要买，且机器台数是正整数，
故；
故且x为正整数；······························2分
（2）解：设购买甲种型号的机器人x台，则购买乙种型号的机器人台，
根据题意，所花的总费用不超过130万元，并且使这20台机器人每小时分拣快递量的总和不少于21000件．
，
解得，
，
，，
故y随x的增大而增大，
故时，y取得最小值，且为，
故购买甲种型号机器人5台，最少费用为115万元；······························5分
（3）解：设购买甲种型号机器人台，则超出数量为台，超出的机器每台单价为万元，总费用为y万元，
根据题意，得，
，
当时，，
故时，y取得最小值，且为，
故购买甲种型号机器人5台，最少费用为115万元；
当时，，与x的值无关，
故购买甲种型号机器人台或台或台或台或台或台；
当时，，
故y随x的增大而减小，
故时，y取得最小值，
故购买甲种型号机器人10台，费用最低；······························8分
24．（8分）
【答案】(1)，
(2)点的坐标为，
【分析】（1）将点分别代入反比例函数和正比例函数，可求得，，从而得到函数表达式．
（2）直线向下平移个单位长度得，与反比例函数联立，解得第一象限交点，再过点作轴，交于，由计算 的面积，
【详解】（1）解：由题意，将代入，得，解得
将 代入 ，得，解得，
∴ 反比例函数表达式为，正比例函数表达式为．······························4分
（2）由（1）得直线的解析式为．
向下平移3个单位后，新直线的解析式为．
该直线与轴相交于点，即直线的解析式为．
联立直线与反比例函数：，
消去得，化简得
解得或．
点在第一象限，，
，代入得 ，
点的坐标为．
如图，过点作轴，交于，
直线的函数解析式为： ，
点与点的横坐标相等，
点的坐标为，即，
．······························8分
25．（10分）
【答案】(1)
证明：，
，，，
∵点，分别是线段，上的中点时，
∴
∴，
，
，
∴
；
(2)8
(3)
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．
（1）先证明，即可证明；
（2）根据相似三角形性质可得，结合的面积为，得到，从而得到；
（3）当时，得，整理得，因为，得，整理得，即，故当时，，即可得，即可作答．
【详解】（1）略······························2分
（2）解：，
∴，，
由（1）得，
∴
∵
∴，
∴
的面积为，
设边上的高为，
，
，
，
故答案为：；······························5分
（3）解：∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
则
∴
则
故当时，，
此时．······························10分
26．（10分）
【答案】(1)①，；②
(2)①；②或．
【分析】（1）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，再将分别代入对应的函数中求出解，找出正确的答案即可；
②“相关函数”的图象是轴对称图形，得到当时，两个函数的值相等，从而求出答案；
（2）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，根据当时，，与原函数图像关于轴对称，当时，，与原函数一致，所以要使二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点，需的图像与四边形始终有2个公共点，根据图像找出特殊情况的值求解；
②转化为，然后根据“相关函数”的定义将分段函数表示出来，根据图像找出端点位置，根据图像判断的取值范围．
【详解】（1）解：根据题意，当时，，当时，，
在点，中，
∵，
∴当时，，
∴点符合题意；
在点，中，
∵，
∴当时，，
∴点符合题意；
故答案为：，；······························2分
②一次函数是关于“相关函数”，
∴当时，，当时，，
∴时，，，
∵“相关函数”的图象是轴对称图形，
∴当时，两个函数的值相等，即，
解得；······························4分
（2）解：①已知，，，，如图所示，
二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，，与原函数图像关于轴对称，
当时，，与原函数一致，
∴二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点，
需的图像与四边形始终有2个公共点，
结合图形得到，，
令，，
解得，，
∴如图所示，与四边形只有一个交点，
二次函数与四边形始终有2个交点，
则，解得，
∴的取值范围为；······························6分
②，
由题意得，当时，，
当时，，
作二次函数与的图像如下图，
情况一：当时的图象与线段有两个交点，时的图象与线段没有交点，如图，
∴，
解得，
情况二：当时的图象与线段有一个交点，时的图象与线段有一个交点，如图，
∴，
解得，
综上所述，的取值范围为或．······························10分
1
2
3
4
5
6
7
8
A
A
C
B
D
B
D
D