2026年九年级数学秋季上学期开学学情自测卷含答案（辽宁专用）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：九年级上册第25-26章一元二次方程及二次函数
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上.
1．关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．且
2．关于的一元二次方程的一根为0，则的值是（ ）
A．B．C．D．
3．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（ ）
A．B．C．D．
5．若，则的值为（ ）
A．1B．9C．9或1D．无法确定
6．若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为（ ）
A．4B．C．D．
7．如果函数是二次函数，那么m的值一定是（ ）
A．0B．3C．0或3D．1或2
8．把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）．
A．B．C．D．
9．二次函数图象的性质，下列叙述正确的是（ ）
A．抛物线与x轴没有交点B．抛物线有最低点
C．当时，y随x增大而减小D．当时，y随x增大而增大
10．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.
11．方程无实数根，则点位于第______象限．
12．已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________．
13．如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________．
（第13题） （第14题）
14．某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________．
15．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）．
三．解答题（本题共8小题，第16题10分，第17-21题每题8分，第22题12分，第23题13分）
16．解方程
(1)；
(2)．
17．已知抛物线．
(1)将配方成的形式；
(2)写出该抛物线的开口方向和对称轴；
(3)当时，求的取值范围．
18．已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值．
19．丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题．
(1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率：
(2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高；
任务3：某天，A商铺以9元每斤的价格购进一批草莓，当草莓每斤降价多少元时，A商铺的日利润可达到1450元？若设每斤草莓降价m元，则可列方程为______．
20．一名运动员在距篮下处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为．
(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式．
(2)该运动员身高，在这次跳投过程中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？
21．2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件．
(1)请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
(2)若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与抛物线：组成图象，图象与轴交于点，过点作轴交抛物线于点，点是图象上动点，设点的横坐标是．
(1)求抛物线的顶点坐标和线段的长；
(2)当点在抛物线上，过点作轴，与抛物线相交于点，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值；
(3)若图象G位于P，A两点之间部分（包括P，A两点）的最高点与最低点纵坐标之差为3，求m的取值范围．
23．定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
(1)写出一元二次方程的“友好方程”：_____．
(2)已知一元二次方程的两根为，，则它的“友好方程”的两根为，_____；根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为_____，证明你的结论．
(3)已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，写出关手的方程的两根为_____.信息及素材
素材一
在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同．
素材二
草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖．
素材三
随着草莓产量的提高，部分草莓商铺开始进行打折销售，根据A商铺的市场调查显示：若每斤草莓15元，每天可售出200斤：若每斤降低1元，则可多售出60斤．