西师大版小学数学六上第三单元知识梳理与易错精讲

这是一份小学数学西师大版（2024）六年级上册（2024）整理与复习学案，文件包含西师大版小学数学六上第三单元知识梳理与易错精讲教师解析版docx、西师大版小学数学六上第三单元知识梳理与易错精讲学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共22页， 欢迎下载使用。
一、学习目标
1. 系统掌握倒数的意义、求法及0和1的倒数特殊性
2. 熟练运用分数除法法则进行计算，并能判断商与被除数的大小关系
3. 能区分“求一个数的几分之几”与“已知一个数的几分之几求这个数”两类问题，正确选择乘法或除法
4. 能用正数和负数表示相反意义的量，理解0既不是正数也不是负数
二、重点
• 倒数的意义与求法
• 分数除法法则：除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数
• 已知一个数的几分之几求这个数用除法
• 正数和负数表示相反意义的量
三、难点
• 除法转化为乘法时除数必须变成倒数
• 区分乘除应用题的数量关系方向
• 两步分数除法问题中中间量的确定
• 0既不是正数也不是负数
学习支架
倒数概念正误对比
商与被除数的大小关系（被除数不为0）
分数除法应用题解题步骤
1. 读题找单位“1”
2. 判断已知量与单位“1”的关系
3. 写出等量关系式
4. 选择乘法或除法列式
5. 计算并检验
正数、0与负数在数轴上的位置
四、知识要点
1. 倒数的意义
乘积是1的两个数互为倒数。例如：25 × 52 = 1，那么25与52互为倒数，也可以说25是52的倒数，或52是25的倒数。理解倒数需要注意三点：（1）倒数是两个数之间的关系，不能单独说某个数“是倒数”；（2）互为倒数的两个数乘积一定为1，可以用乘法来检验两个数是否互为倒数；（3）倒数概念建立在前学分数乘法的基础上，它为分数除法的转化提供了工具。
2. 求倒数的方法
求一个数（0除外）的倒数的方法：（1）分数：交换分子和分母的位置。如58的倒数是85。（2）整数：先把整数看作分母为1的分数，再交换分子分母。如6 = 61，倒数是16。（3）小数：先把小数化成分数，再交换分子分母。如0.3 = 310，倒数是103。（4）带分数：先化成假分数，再交换分子分母。如1又23 = 53，倒数是35。关键：不管什么形式的数，求倒数的本质都是交换分子和分母的位置。
3. 0和1的倒数
0没有倒数。因为0乘任何数都得0，不可能等于1，所以0没有倒数。判断方法：用倒数的定义检验——找不到一个数与0相乘等于1。1的倒数是1。因为1 × 1 = 1，符合倒数的定义。这两个特殊情况需要特别记住：0没有倒数不是因为操作困难，而是因为定义本身不成立；1的倒数是它本身，这是唯一个倒数等于自身的数。
4. 分数除以整数
分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。例如：45 ÷ 2 = 45 × 12 = 25。算理：45 ÷ 2 表示把45平均分成2份，每份是45的12，所以除以2等于乘12。再如：45 ÷ 3 = 45 × 13 = 415。把45平均分成3份，每份就是45的13。注意：除数不能为0，因为0没有倒数，且除以0没有意义。
5. 分数除法的一般法则
甲数除以乙数（乙数不等于0），等于甲数乘乙数的倒数。用字母表示：a ÷ b = a × 1/b（b ≠ 0）。推导方法：（1）同分母分数相除，可直接用分子相除。如89 ÷ 29 = 8 ÷ 2 = 4，因为8个19除以2个19等于4。（2）商不变规律：被除数和除数同时乘除数的倒数，使除数变为1。如65 ÷ 710 =（65 × 107）÷（710 × 107）= 127 ÷ 1 = 127。三种方法（通分法、商不变规律、逆运算法）都得出相同结论：除以一个数等于乘这个数的倒数。
6. 商与被除数的大小关系
当被除数不为0时：• 除数大于1时，商小于被除数；• 除数等于1时，商等于被除数；• 除数小于1（且大于0）时，商大于被除数。例如：34 ÷ 54 = 35，35 < 34（除数54 > 1，商变小）。12 ÷ 13 = 32，32 > 12（除数13 < 1，商变大）。这一规律可以用来估算和检验计算结果是否合理。注意前提条件是被除数不为0。
7. 分数除法应用题
已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解决。关键步骤：（1）找出单位“1”的量和已知的几分之几对应的量；（2）写出等量关系：单位“1”的量 × 几分之几 = 已知量；（3）用除法计算：已知量 ÷ 几分之几 = 单位“1”的量。例如：运来水泥24吨，水泥吨数是黄沙吨数的25。求黄沙吨数。等量关系：黄沙吨数 × 25 = 24列式：24 ÷ 25 = 24 × 52 = 60（吨）区分关键：求一个数的几分之几用乘法，已知一个数的几分之几求这个数用除法。判断方法——看单位“1”的量是已知还是未知：已知用乘法，未知用除法。
8. 两步分数除法问题
当问题中有三个量，已知一个量和两个分数关系时，需要分两步求解。解题思路：（1）整理信息，找出已知量和需要先求的中间量；（2）先求中间量，再求目标量；（3）也可以列综合算式。类型一——连除问题：河南9900万人，山东是河南的3433，山东是广东的1721，求广东人口。第一步：山东 = 9900 × 3433 = 10200（万人）第二步：广东 = 10200 ÷ 1721 = 10200 × 2117 = 12600（万人）综合算式：9900 × 3433 ÷ 1721 = 12600（万人）类型二——分数除法与加减混合：巫峡长46km，比西陵峡的12多8km。求西陵峡长。分析：巫峡长 = 西陵峡长 × 12 + 8所以：西陵峡长 × 12 = 46 - 8 = 38西陵峡长 = 38 ÷ 12 = 38 × 2 = 76（km）策略：先去掉“多出”或“补回少出”的部分，找到与分数直接对应的量，再用除法求单位“1”的量。
9. 相反意义的量与正负数
在生活中有许多具有相反意义的量：收入与支出、零上温度与零下温度、上升与下降、海平面以上与海平面以下等。正数和负数：像+4、+8848.86这样的数是正数，“+”是正号，读作“正”，正号通常可以省略；像-10、-10909这样的数是负数，“-”是负号，读作“负”，负号不能省略。用正数和负数表示相反意义的量的方法：（1）先规定一个方向为正（用正数表示）；（2）与之相反的方向就用负数表示。例如：零上4°C记作+4°C，零下10°C记作-10°C。0的特殊性：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界点。在数轴上，0右边的数都是正数，0左边的数都是负数。正负的规定是相对的：可以约定向东为正、向西为负，也可以反过来约定。关键是一旦约定了一个方向为正，相反方向就必须为负。
易错汇总
易错点 1
【错因】只记住了操作步骤（交换分子分母），没有理解倒数是两个数之间的相互关系
【自检方法】说出完整的倒数表述时，必须出现两个数，并能验证它们的乘积为1
易错点 2
【错因】类比1的倒数是1，误认为0的倒数也是0
【自检方法】用倒数的定义检验：找一个数与0相乘，看结果是否等于1
易错点 3
【错因】没有理解转化的本质是“乘除数的倒数”，只记住了变号这一表面操作
【自检方法】转化后检查：除号是否变成乘号，除数是否变成了它的倒数（分子分母是否交换）
易错点 4
【错因】受整数除法经验影响，以为除法总是让结果变小
【自检方法】先判断除数与1的大小关系，再决定商变大还是变小
易错点 5
【错因】没有判断单位“1”是已知还是未知，凭分数关键词直接选乘法
【自检方法】先找单位“1”的量，问自己“这个量是已知的还是要求的”，已知用乘法，未知用除法
易错点 6
【错因】没有理清三个量之间的传递关系，急于列式而忽略数量关系分析
【自检方法】先用文字写出每一步的等量关系，确认每一步的除数都是对应的分率
易错点 7
【错因】习惯将所有数分为正数和非正数，没有建立0的特殊地位
【自检方法】在数轴上找到0的位置，观察0左边是负数、0右边是正数，0本身不属于任何一方
五、易错精讲
【例1】
求下列各数的倒数：0.25，1又23，7。
【例2】
计算：34 ÷ 25，并说明每一步的转化依据。
【例3】
不计算，比较各组算式的商与被除数的大小，在○里填“>”“”“ a B. c < a
C. c = a D. 无法确定
13. 计算：34 ÷ 58 ÷ 310（写出完整过程）
14. 学校食堂运来大米180千克，是大面粉的35。大面粉有多少千克？
15. 修一条公路，已修了全长的25，还剩下360米没修。这条公路全长多少米？
16. 商店运来苹果45箱，苹果的箱数是梨的59，梨的箱数是橘子的34。运来橘子多少箱？
17. 一筐苹果连筐重34kg，卖出一半苹果后连筐重20kg。这筐苹果原来重多少千克？
A. 14kg B. 28kg
C. 40kg D. 54kg
综合易错
18. 已知 a ÷ 12 = b ÷ 43 = c ÷ 1（a、b、c都不为0），且三个算式的商相等。比较a、b、c的大小。
19. 一段路长480米，第一天修了全长的13，第二天修了剩下的25。第二天修了多少米？还剩多少米没修？
20. 某水库水位第一天上升了35米，第二天下降了12米，第三天又上升了14米。（1）用正负数表示三天的水位变化。（2）三天水位整体变化了多少？（3）如果初始水位为0，第三天结束时的水位是多少？
21. 小红的妈妈买了一筐橘子，连筐重18kg。第一天吃了全部橘子的13，第二天吃了剩下的12，这时连筐重10kg。这筐橘子原来有多少千克？筐重多少千克？
22. 甲、乙两车同时从A、B两地相向出发，2小时后相遇。甲车每小时行60km，乙车的速度是甲车的34。A、B两地相距多少千米？
23. 小亮说：“除以一个数等于乘这个数的倒数，0也是一个数，所以除以0等于乘0的倒数。”请评价小亮的说法，并说明分数除法法则中“乙数不等于0”这个条件的作用。错误说法
正确说法
34是倒数；0的倒数是0；单独说某个数是倒数
34与43互为倒数；0没有倒数；倒数是两个数之间的关系
除数范围
商与被除数的关系
举例
除数 > 1
商 < 被除数
34 ÷ 54 = 35，35 < 34
除数 = 1
商 = 被除数
34 ÷ 1 = 34
0 < 除数 < 1
商 > 被除数
12 ÷ 13 = 32，32 > 12
● -3
● 0
● +2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
常见错误
正确认识
单独说某个数是倒数，如“34是倒数”
倒数是两个数之间的关系，应说“34与43互为倒数”或“34是43的倒数”
常见错误
正确认识
认为0的倒数是0
0没有倒数，因为0乘任何数都得0，不可能等于1
常见错误
正确认识
分数除法转化为乘法时，只把除号变乘号，忘记把除数变成倒数
除以一个数等于乘这个数的倒数，除号变乘号的同时除数的分子分母必须交换位置
常见错误
正确认识
认为除法的结果一定比被除数小
当被除数不为0时，除数小于1（大于0）时商大于被除数
常见错误
正确认识
看到分数关系就用乘法，混淆“求一个数的几分之几”和“已知一个数的几分之几求这个数”
单位“1”已知用乘法，单位“1”未知用除法
常见错误
正确认识
在两步问题中，把不是单位“1”的量当作除数，或列式顺序颠倒
先确定中间量，再按“已知量 ÷ 对应分率 = 单位1的量”的顺序列式
常见错误
正确认识
把0归为正数或负数
0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界点