江苏省如皋中学2025-2026学年高二下学期综合练习（一）数学试卷含解析（word版）

这是一份江苏省如皋中学2025-2026学年高二下学期综合练习（一）数学试卷含解析（word版），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知 X 服从两点分布,若 3PX=1=4PX=0 ，则 PX=0= ( )
A. 14 B. 13 C. 37 D. 47
【答案】C
【解析】
【分析】利用两点分布的性质及已知条件即可求解.
【详解】由两点分布的性质可知, PX=1+PX=0=1 ,
又 3PX=1=4PX=0 ,所以 PX=0=37 .
故选: C.
2. 已知离散型随机变量 X 满足 DX=0.01 ,且 3X+Y=1 ，则 DY= ( )
A. 0.07 B. 0.03 C. 0.09 D. -0.09
【答案】C
【解析】
【分析】若 Y=aX+b,DY=a2DX 即可求解.
【详解】由 3X+Y=1 有 Y=1−3X ,所以 DY=−32DX=9×0.01=0.09 , 故选: C.
3. 已知直线 l,m 是两条不同的直线，平面 α,β,γ 是三个不同的平面，下列命题正确的是( )
A. 若 m⊥α,l⊥m ,则 l//α B. 若 α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l ,则 l⊥γ
C. 若 l,m⊂β,l//α,m//α ,则 α//β D. 若 l//α,l//β ,则 α//β
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面平行可判断 A ; 根据线面垂直可判断 B ,根据面面平行可判断 CD .
【详解】对于 A ,当 m⊥α,l⊥m ,此时直线 l 可能在平面 α 内,或 l//α ,故 A 错误;
对于 B ,如图,设 α∩γ=n1,β∩γ=n1 ,点 P 是平面 γ 内一点,
过点 P 作 PM⊥n1 ,垂足为点 M ,过点 P 作 PN⊥n2 ,垂足为点 N ,
因为 α⊥γ,β⊥γ 且 α∩γ=n1,β∩γ=n2 ,
且 PM⊂γ,PN⊂γ ,
所以 PM⊥α,PN⊥β . 又 α∩β=l ,
则 PM⊥l,PN⊥l . 又 PM∩PN=P ,所以 l⊥γ ,故 B 正确;

对于 C ,当 l,m⊂β,l//α,m//α ,若 l//m ,则平面 α,β 可能平行,也可能相交,故 C 错误; 对于 D ,当 l//α,l//β ,此时平面 α,β 可能平行,也可能相交,故 D 错误.
故选: B
4. 某学校的学生中, 60% 是男生, 40% 是女生. 已知男生中有 30% 喜欢篮球，女生中有 20% 喜欢篮球. 现随机抽取一名学生, 则该学生喜欢篮球的概率是 ( )
A. 0.30 B. 0.26 C. 0.24 D. 0.20
【答案】B
【解析】
【分析】利用全概率公式进行计算即可.
【详解】利用全概率公式计算,
即现随机抽取一名学生,则该学生喜欢篮球的概率是 P=0.6×0.3+0.4×0.2=0.26 ,
故选: B.
5. 抛掷两枚质地均匀的骰子,记事件 A 为“两个点数不相同”, B 为“至少出现一个 6 点”,则 PA∣B= ( )
A. 1011 B. 13 C. 111 D. 110
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意,分别求得事件 B 和 AB 的概率,结合条件概率的计算公式,即可求解.
【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子,共有 6×6=36 种情形,
其中事件 B= “至少出现一个 6 点”的情况数为 nB=11 种,可得 PB=1136 ,
又由事件 A= “两个点数不相同”，可得 nAB=10 ，所以 PAB=1036 ，
由条件概率的公式,可得 PA∣B=PABPB=1011 .
故选: A.
6. 1515+15 被 8 除的余数为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】利用二项式定理求解.
【详解】 1515+15=16−115+15=1615−C1511614+C1521613−⋯+C151416−C1515+15 ,
显然 1615−C1511614+C1521613−⋯+C151416 中每一项都是 8 的倍数,因此代数和能被 8 整除,而 −C1515+15=14 除以 8 后余数为 6 ,
所以 1515+15 被 8 除的余数为 6 ,
故选: C.
7. 已知随机变量 X∼Nμ,σ2 ,且 Y∼B3,p,PX≥32=12 ,且 2EX=D2Y ,则 p= ( )
A. 16 B. 14 C. 13 D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据正态分布特性求出 μ 的值,再根据二项分布的方差公式求出 DY ,最后代入题中所给等式求解即可.
【详解】正态分布关于均值 μ 对称,又 PX≥μ=12 ,
可得 μ=32 ,所以 EX=μ=32 ,又 Y∼B3,p ,
所以 D2Y=4DY=4×3p1−p=12p1−p ,
由此可得 2×32=12p1−p ,解得 p=12 .
8. 一个盒子中装有 4 个白球, 3 个黑球, 现从中一次取出 3 个球, 则取出的黑球个数为( ) 时, 其概率最大.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】设 X 为取出的 3 个球中黑球的个数,分别求解
PX=0,PX=1,PX=2,PX=3 的值,比较即可得结论.
【详解】设 X 为取出的 3 个球中黑球的个数,则 X 的取值为0,1,2,3,
所以
PX=0=C43C30C73=435,PX=1=C42C31C73=1835,PX=2=C41C32C73=1235,PX=3=C40C33C73=135 故取出的黑球个数为 1 时, 其概率最大.
故选: B
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知事件 A,B 发生的概率分别为 PA=12,PB=13 ，则下列说法正确的是( )
A. 若 A 与 B 互斥,则 PA∪B=23 B. 若 A 与 B 相互独立,则 PA∪B=23
C. 若 PAB=13 ,则 A 与 B 相互独立 D. 若 PA∣B=14 ,则 PB∣A=38
【答案】BC
【解析】
【分析】由互斥事件、独立事件及条件概率的计算公式逐个判断即可.
【详解】对于 A: PA∪B=PA+PB=13+12=56 , A 错;
对于 B: PAB=12×13=16,PA∪B=PA+PB−PAB=56−16=23 , B 对,
对于 C : 由 PAB=13,PA=12,PB=23 ,可得 PAB=PAPB=13 ,所以 A 与 B 相互独立,所以 A 与 B 相互独立, C 对,
对于 D: 由 PA∣B=PABPB=14 ,可得 PAB=112 ,
所以 PB∣A=PABPA=11212=16 , D 错, 故选: BC
10. 甲、乙、丙等 5 人排成一列, 下列说法正确的有( )
A. 若甲和乙相邻，共有 48 种排法 B. 若甲不排第一个共有 96 种排法
C. 若甲与丙不相邻, 共有 36 种排法 D. 若甲在乙的前面, 共有 60 种排法
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用捆绑法可判断 A 选项; 利用特殊元素优先可判断 B 选项; 利用插空法可判断 C 选项; 利用组合法可判断 D 选项.
【详解】选项 A:若甲和乙相邻,将甲和乙捆绑，形成一个大元素，与其余四个元素排序共有 A22 A44=48 种排法, A 对;
选项 B: 若甲不排第一个，则甲有 4 种排法，其余全排，共有 A44=24 种，B 对；
选项 C，若甲与丙不相邻，将除甲和丙以外的人全排，然后将甲与丙插入人所形成的个空中的个空,所以,共有 A33 A42=72 种排法, C 错;
选项D，若甲在乙的前面，只需在 5 个位置中先选两个位置排甲、乙，且甲排在乙的前面，然后将其余 3 个人全排,共有 C52⋅A33=60 种排法, D 对.
故选: ABD.
11. 一个袋子中有 5 个大小相同的球, 其中红球 3 个, 白球 2 个, 现从中不放回地随机摸出 3 个球作为样本,用随机变量 X 表示样本中红球的个数,用随机变量 Yii=1,2,3 表示第 i 次抽到红球的个数，则下列结论中正确的是 ( )
A. X 的分布列为 PX=k=C3k35k253−k,k=1,2,3
B. X 的方差 DX=925
C. PY2=1=35
D. PY1=1∣Y2=1=12
【答案】BCD
【解析】
【分析】判断随机变量 X 服从超几何分布,然后由超几何分布的概率公式判断 A 选项,超几何分布的方差计算公式判断 B 选项,由全概率公式判断 C 选项,由条件概率公式判断 D 选项.
【详解】由题意,随机变量 X 服从超几何分布,即 X∼H5,3,3,PX=k=C3kC23−kC53,k=1 ,
2,3,故 A 错误;
根据超几何分布的方差的计算公式得, DX=n⋅MN⋅1−MN⋅N−nN−1 ,所以 DX=3×35×1−35×24=925 ,故 B 正确;
根 据 全 概 率 公 式 ,
PY2=1=PY2=1∣Y1=1PY1=1+PY2=1∣Y1=0PY1=0=35×24+25×34=35 ,故 C 正确; 根据条件概率,可得 PY1=1∣Y2=1=PY1=1,Y2=1PY2=1=35×2435=12 ,故 D 正确. 故选: BCD.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 设随机变量 X∼N0,σ2 ,且 PX≤1=0.66 ,则 PX≤1= _____.
【答案】0.83
【解析】
【分析】先求解出 P0≤X≤1=0.33 ,然后根据正态分布曲线的对称性可求解出 PX≤1 .
【详解】因为随机变量 X∼N0,σ2 ,所以其正态曲线关于 x=0 对称,
因此: PX≤0=0.5 ,
又因为 PX≤1=0.66 ,所以 P−1≤X≤1=0.66 ,
所以 P0≤X≤1=12P−1≤X≤1=0.662=0.33 ,
所以 PX≤1=PX≤0+P01 ,即 97n+1100n−1>1 ,解得 nP65 ,当 n=66 时, P67PZ1=133180 ,
因此从第 2 次起, 智能自适应调度系统能逐步提高物流提前送达的概率.X
2
3
4
P
4 9
1
2 9
X
0
1
2
3
4
P
1 36
1 6
13 36
1
1 9
ξ
0
1
2
P
7 15
7 15
115