2025--2026学年江苏省南通市第二中学高二下学期6月阶段检测数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年江苏省南通市第二中学高二下学期6月阶段检测数学试题-含解析试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则整数x的值为（ ）
A. 2B. 3C. 1或2D. 2或3
3. 以下求导运算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知两个变量y与x对应关系如下表：
若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ）
A. y与x正相关B.
C. 样本数据y的第60百分位数为8D. 各组数据的残差和为0
6. 下列说法正确的有（ ）
A. 若随机变量，且，则
B. 若随机变量，则方差
C. 若从名男生、名女生中选取人，则其中至少有名女生的概率为
D. 若随机变量X的分布列为，则
7. 已知事件和相互独立，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 用0，2，3，5，7，8可以组成多少个无重复数字的六位偶数（ ）
A. 360B. 312C. 606D. 322
二、多选题
9. 已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的为（ ）
A. B. 的实部是4
C. 的共轭复数D. 在复平面上对应点在第二象限
10. 如图，正方形网格棋盘，其中，，，位于棋盘上一条对角线的4个交汇处．在棋盘M，N处的甲、乙两个质点分别要到N，M处，它们分别随机地选择一条沿网格实线走的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有（ ）
A. 甲从M到达N处的走法种数为20
B. 甲从M必须经过到达N处的走法种数为9
C. 甲、乙能在处相遇的走法种数为36
D. 甲、乙能相遇的走法种数为164
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 既有极大值又有极小值B. 当时，最大值为
C. 有三个零点D. 若且，则
三、填空题
12. 已知复数（其中为虚数单位），则__________．
13. 2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦､孙颖莎以战胜日本队组合吉村真晴､大藤沙月，连续第三次夺得世界乒乓球混双冠军. 假设2026年的一次乒乓球比赛中，中国队组合再次遇到日本队组合，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束），已知每局比赛中国队组合获胜的概率为，每局比赛互不影响，则中国队组合再次以获胜的概率为__________.
14. 若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是______________．
四、解答题
15. 已知全集，集合，集合，其中．
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要条件，求a的取值范围．
16. 若 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为.
（1）求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值；
（2）求展开式中所有的有理项；
17. 已知函数．
（1）求的极值；
（2）若对任意，都有恒成立，求实数的最小值；
（3）若过点的直线与曲线相切，求的方程．
18. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由．
19. 某工厂甲乙两条生产线生产了同一种产品，为了解产品质量与生产线的关系，现从这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了500件进行检测，检测结果（“合格”或“优良”）如下表：
（1）根据小概率值的独立性检验，能否推断产品检测结果与生产线有关联？
（2）用样本估计总体，频率估计概率.现等可能地从这两条生产线中抽取一条生产线，然后从该生产线随机抽取1件产品.
（i）求抽出的产品是优良品的概率；
（ii）已知抽出的产品是优良品，求它是从甲生产线抽出的概率.
附：；
数学
一、单选题
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：因为，，
所以.
2. 若，则整数x的值为（ ）
A. 2B. 3C. 1或2D. 2或3
答案：D
解析：
解答过程：根据组合数性质：若，则或.
已知，分两种情况：
①，解得；
②，即，解得.
且组合数上标均满足，，均成立.
3. 以下求导运算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
解答过程：选项A，，故选项A错误；
选项B，，故选项B正确；
选项C，，故选项C正确；
选项D，，故选项D正确.
4. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：由已知，正态曲线的对称轴是，由，可得，根据正态分布的对称性即可求得答案.
解答过程：因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线的对称轴是，
则，又，
所以，
所以，
故选：A.
5. 已知两个变量y与x对应关系如下表：
若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ）
A. y与x正相关B.
C. 样本数据y的第60百分位数为8D. 各组数据的残差和为0
答案：AD
解析：
思路：利用相关性的定义及线性回归直线可判定A，根据样本中心点在回归方程上可判定B，利用百分位数的计算可判定C，利用回归方程计算预测值可得残差即可判定D.
解答过程：由回归直线方程知：，所以y与x正相关，即A正确；
由表格数据及回归方程易知，即B错误；
易知，所以样本数据y的第60百分位数为，即C错误；
由回归直线方程知时对应的预测值分别为，
对应残差分别为，显然残差之和为0，即D正确.
故选：AD
6. 下列说法正确的有（ ）
A. 若随机变量，且，则
B. 若随机变量，则方差
C. 若从名男生、名女生中选取人，则其中至少有名女生的概率为
D. 若随机变量X的分布列为，则
答案：ABD
解析：
思路：由正态分布求解判断出选项A正确，由二项分布即可判断选项B正确，由超几何分布求解概率即可判断选项C错误，由概率分布列的性质求解判断选项D正确.
解答过程：对于A，，故A正确；
对于B，，，故B正确；
对于C，至少有一名女生的概率，故C错误；
对于D，，，，故D正确．
故选：ABD.
7. 已知事件和相互独立，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：利用相互独立事件概率公式计算即可.
解答过程：因为事件和相互独立，事件为和事件，则，
所以，解得；
故选：D
8. 用0，2，3，5，7，8可以组成多少个无重复数字的六位偶数（ ）
A. 360B. 312C. 606D. 322
答案：B
解析：
思路：分别按照0排在个位和0不排在个位这两类讨论求解.
解答过程：0排在个位的无重复数字的六位偶数有，
0不排在个位的无重复数字的六位偶数有.
故用0，2，3，5，7，8可以组成无重复数字的六位偶数的个数为，
故选项B正确.
二、多选题
9. 已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的为（ ）
A. B. 的实部是4
C. 的共轭复数D. 在复平面上对应点在第二象限
答案：AD
解析：
解答过程：选项A，，A正确；
选项B，的实部是，是虚部，B错误；
选项C，的共轭复数，C错误；
选项D，复平面中，对应点为，横坐标负、纵坐标正，对应点在第二象限，D正确.
10. 如图，正方形网格棋盘，其中，，，位于棋盘上一条对角线的4个交汇处．在棋盘M，N处的甲、乙两个质点分别要到N，M处，它们分别随机地选择一条沿网格实线走的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有（ ）
A. 甲从M到达N处的走法种数为20
B. 甲从M必须经过到达N处的走法种数为9
C. 甲、乙能在处相遇的走法种数为36
D. 甲、乙能相遇的走法种数为164
答案：ABD
解析：
思路：由到的最短路径需要走6格，其中向上3步，向右3步，问题为6步中任选3步向上或向右走，再根据各选项的描述，同理分析各种走法的种数，即可确定答案.
解答过程：A选项：需要走6格，其中向上3格，向右3格，
所以甲从M到达N处的走法种数为，故A正确；
B选项：甲从到达，需要走3格，其中向上1格，向右2格，有种走法，
从到达，需要走3格，其中向上2格，向右1格，有种走法，
根据分步乘法计数原理得：甲从M必须经过到达N处的走法种数为9，故B正确；
C选项：由图可知，甲走到处需要3步，且乙走到处需要3步，
又因为，甲经过的走法种数为9，乙经过的走法种数为9，
所以甲，乙两人能在处相遇的走法种数为，故C错误；
D选项：甲，乙两人沿着最短路径行走，可能在，，，处相遇，
若甲，乙两人在处相遇，甲经过处，必须向上走3格，乙经过处，必须向左走3格，所以两人在处相遇的走法有1种；
若甲，乙两人在或处相遇，各有81种走法；
若甲，乙两人在处相遇，甲经过处，必须向右走3格，乙经过处，必须向下走3格，
所以两人在处相遇的走法有1种.
根据分类加法计数原理得：甲，乙两人能相遇的走法种数为，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 既有极大值又有极小值B. 当时，最大值为
C. 有三个零点D. 若且，则
答案：AC
解析：
思路：根据题意，求导分析函数单调性，根据单调性确定极值，可判断AB，由零点存在定理可判断零点个数判断C，利用极值点偏移问题可证明判断D.
解答过程：因为，所以.
由；由或.
所以函数在和上单调递减，在上单调递增.
所以函数的极小值为：，极大值.
故A正确，B错误；
又，.
所以在，和上各有1个零点，所以函数有3个零点，故C正确；
对D：若，且，则，.
设，.
所以.
所以，
令，
，
，
，
所以在时单调递减，
则，
即，在时单调递增，
，即，
则在时单调递减，所以，
即，
又，所以，
又，，，且在上单调递减，
所以，故D错误；
故选：AC.
三、填空题
12. 已知复数（其中为虚数单位），则__________．
答案：3
解析：
解答过程：，
，
，
.
13. 2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦､孙颖莎以战胜日本队组合吉村真晴､大藤沙月，连续第三次夺得世界乒乓球混双冠军. 假设2026年的一次乒乓球比赛中，中国队组合再次遇到日本队组合，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束），已知每局比赛中国队组合获胜的概率为，每局比赛互不影响，则中国队组合再次以获胜的概率为__________.
答案：
解析：
思路：根据比分可知前三局输一局第四局胜，根据独立重复事件的概率公式求解.
解答过程：中国队以获胜，则一共打了4局比赛，且第4局一定是中国队获胜.
前3局比赛中，中国队恰好赢2局、输1局，已知每局中国队获胜概率为，输的概率为，
每局比赛独立，概率为.
14. 若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是______________．
答案：
解析：
思路：根据给定条件，利用导数结合单调性建立恒成立的不等式求解.
解答过程：函数在定义域为R，求导得，
依题意，，即恒成立，而，则，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
15. 已知全集，集合，集合，其中．
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要条件，求a的取值范围．
答案：（1）或
（2）解析：
思路：（1）由集合的并集与补集运算求解即可；
（2）由于“”是“”的必要条件，所以，分与求解a的取值范围即可.
（1）当时，，所以，
所以或.
（2）因为“”是“”的必要条件，所以，
当时，则，即，符合题意 ；
当时，则，即；
综上所述：a的取值范围.
16. 若 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为.
（1）求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值；
（2）求展开式中所有的有理项；
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）先根据题意求出的值，再求出展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和即可；
（2）求出展开式的通项公式求解，令为整数即可.
（1）由题，可得，即，即，
又，所以，
令，得，故系数和为，
各项的二项式系数和为，
故展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为.
（2）因展开式的通项公式为，，
当时，为整数，即，，，
所以展开式的有理项为.
17. 已知函数．
（1）求的极值；
（2）若对任意，都有恒成立，求实数的最小值；
（3）若过点的直线与曲线相切，求的方程．
答案：（1）的极大值为；的极小值为
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用导数研究单调性求极值即可求解；
（2）由（1）的单调性求出函数的最值即可求解；
（3）设切点，利用导数的几何意义求切线方程，代入，解出即可求解.
（1）由题意得：，令，解得或，
由有：或，由有：，
所以在单调递减，在单调递增，
所以的极大值为，
的极小值为
（2）由已知有：对任意，都有恒成立，
由（1）有在单调递增，在单调递减，
又，
所以，
所以，
所以实数的最小值为；
（3）设切点为，
所以，，
所以切线方程为：，
所以，
又切线过点，
所以，
化简整理有：，即，解得，
所以直线的方程为：，
所以直线的方程为：.
18. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由．
答案：（1）因为平面，平面，且平面平面，
根据线面平行的性质定理，可得：.
（2）取的中点，连接.如图：
因为是中点，所以是的中位线，得，且.
由题设，结合（1）中，可得 且，
因此四边形是平行四边形，得.
又平面，平面，
根据线面平行的判定定理，可得：平面.
（3）线段上存在点，当是中点时，平面.理由如下：
由，，可得且，
因此四边形是平行四边形，得.
又平面，平面，所以平面.
结合（2）的结论平面，且，平面，
根据面面平行的判定定理，可得平面平面.
因为是上动点，平面，
根据面面平行的性质，可得平面.
因此，线段上存在点，当为中点时满足平面.
解析：
思路：（1）直接由线面平行的性质定理可得；
（2）取的中点，构造平行四边形，再由线面平行的判定定理可得；
（3）取的中点，由已知条件可得四边形是平行四边形，进而可得 平面，再结合（2）的结论及面面平行的判定定理可得平面，再由面面平行的性质可得.
（1）略
（2）略
（3）略
19. 某工厂甲乙两条生产线生产了同一种产品，为了解产品质量与生产线的关系，现从这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了500件进行检测，检测结果（“合格”或“优良”）如下表：
（1）根据小概率值的独立性检验，能否推断产品检测结果与生产线有关联？
（2）用样本估计总体，频率估计概率.现等可能地从这两条生产线中抽取一条生产线，然后从该生产线随机抽取1件产品.
（i）求抽出的产品是优良品的概率；
（ii）已知抽出的产品是优良品，求它是从甲生产线抽出的概率.
附：；
答案：（1）有关联 （2）（i）；（ii）
解析：
思路：（1）计算出卡方，即可判断；
（2）（i）设事件“被选出的是甲生产线”，事件“取出的产品是优良品”，由全概率公式计算可得；
（ii）由条件概率公式计算可得.
（1）提出零假设：产品检测结果与生产线没有关联，
由，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即产品检测结果与生产线有关联，此推断犯错的概率不大于.
（2）设事件“被选出的是甲生产线”，事件“取出的产品是优良品”，
（ⅰ）依题意，，
，
由全概率公式得：.
（ⅱ）取出的产品是优良品，则它是从甲生产线取出的概率为：
．x
1
2
3
4
5
y
5
m
8
9
10.5
生产线
检测结果
合计
合格
优良
甲生产线
20
180
200
乙生产线
60
240
300
合计
80
420
500
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
x
1
2
3
4
5
y
5
m
8
9
10.5
生产线
检测结果
合计
合格
优良
甲生产线
20
180
200
乙生产线
60
240
300
合计
80
420
500
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828