专题01 求函数的值域或最值方法总结（考点清单）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

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01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系
02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点
▶基础梳理・自主夯基
考点01利用函数的性质求函数的值域（最值）
考点02分式型函数的最值问题
考点03换元法求最值
▶高阶思维・探究拓展
难点解读01 数形结合求函数的值域
03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养
▶考点聚焦・解法深研
题型01 利用函数性质求函数最值
题型02 利用对勾函数求分式型函数的最值
题型03 三角换元求函数的最值
题型04 利用韦达定理求函数的值域
▶重难攻坚・考法深研
重难点01 数形结合求函数最值
04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用
知识脑图·核心脉络搭建
考点深研·知能分层突破
考点01 利用函数的性质求函数的值域（最值）
1、函数的单调性直接决定了函数在区间上的增减趋势，从而可以快速找到最大值和最小值；奇偶性则可以将定义域对称区间的值域问题转化为半区间问题，简化计算。两者结合使用，尤其适用于复合函数或非基本初等函数。
2、基本步骤
（1）确定函数的定义域，判断其是否具有奇偶性或者对称性
（2）分析函数在定义域或者子区间的单调性（利用基本函数的单调性或者导数来判断）
（3）分别求出各单调区间的值域，合并后得到函数在整个定义域上的值域。
【新题对点练】（2026·广西崇左·一模）函数的值域为______.
【答案】
【详解】因为，所以，所以，故.
考点02分式型函数的最值问题
分式函数常见的形式有：
一次分式：y=ax+bcx+d
二次分式：y=ax2+bx+cdx+e 或y=ax+bcx2+dx+e 或y=ax2+bx+cdx2+ex+f
分式函数的值域常通过分离常数、配凑成对勾函数或判别式法来求解。
1、分离常数法:通过恒等变形，将分式函数化为“常数 + 简单分式”的形式，利用反比例函数（或更一般的有理函数）的性质求值域。对于一次分式y=ax+bcx+d，即可以通过分离常数法来处理。
2、配凑成对勾函数
对于二次比一次型y=ax2+bx+cdx+e，可以将式子分离后再配凑成对勾函数的形式，注意定义域问题。
而对于一次比二次型y=ax+bcx2+dx+e，可以先按照二次比一次型来处理，然后再取倒数。
对于二次比二次型y=ax2+bx+cdx2+ex+f，则先分离常数。（1）若将二次比二次的函数分离常数后，变成了“常数+常数/二次”，则直接对分母的二次进行配方，找其最值，从而可以求得分式型函数的最值。（2）若将二次比二次的函数分离常数后，变成了“常数+一次/二次”，则可以将其中的“一次/二次”的倒数进行分离配凑成对勾函数求最值。
3、判别式法求解
对于形如y=ax2+bx+cdx2+ex+f （分子分母至少有一个为二次的）的函数，则可以将其化为关于x的二次方程
dy−ax2+ey−bx+fy−c=0
关于方程有实数解，则它的判别式Δ≥0且满足分母不为零的条件，从而得到关于y的不等式，解出y的范围即为值域。
判别式法求值域，要注意以下三个问题： ①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②定义域是否属于；③闭区间的边界值也要考查达到该值时的是否存在；④分子、分母必须是既约分式（不可约分）．
【新题对点练】（2026·湖北·二模）已知函数，则该函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，
令则，则原函数的值域等价于函数的值域，
时，恒成立，即单调递增，
当时，，时，，
所以值域为.
考点03 换元法求最值
1、观察已知函数，若变量中有互相关联的部分，可化为一致形式，则可引入新元整体代换，等到新的函数。如二次/一次或一次/二次的函数中，可以将一次化成新元t，有利于化简。又或者带根式的，可将根式化成新元t。在换元的问题中，一定不要忘了新元的范围。
2、三角换元：函数中若含有a2−x2,a2+x2这样的结构，可转化为三角函数asinθ,acsθ的形式。
【新题对点练】（25-26高三上�湖北省直辖县级单位�期中）函数的最大值是_______.
【答案】
【分析】令，从而将问题转化成求二次函数在上的最大值，利用二次函数的性质，即可求解.
【详解】由，得到，所以函数的定义域为，
令，则，所以，对称轴为，其图象开口向下，
所以当时，取到最大值，最大值为，
故答案为：.
难点解读01 数形结合求函数的值域
当函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式、直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单．
许多函数并非直接给出图像，但可以通过恒等变形转化为具有明确几何意义的表达式
（1）y=x2+px+q​ 或 y=x−a2+(y−b)2​​ ，可以转成两点间的距离
（2）y=fx−mgx−n，其中(f(x),g(x))满足某种曲线方程（如圆、椭圆、直线）
（3） y=∣x−a∣+∣x−b∣表示数轴上点x到a和b的距离之和
（4）把二次函数与抛物线结合起来
难点破解（25-26高三�全国�一轮复习）求函数的值域．
【答案】
【详解】将原函数视为定点到动点的斜率，
又知动点,满足单位圆的方程，
从而问题就转化为求点到单位圆连线的斜率问题，由相切时取得最值，
解得．
素养进阶·答题技法突破
题型01 利用函数性质求函数最值
【典例1】（2026�河北保定�一模）已知函数在区间上的值域为，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】B
【分析】依题意构造函数，利用函数的奇偶性定义判断其为奇函数，即得函数的图象关于点对称，结合题意即可求得答案.
【详解】由题意，，,
令函数，
则，
所以为奇函数，图象关于对称，故的图象关于点对称，
因函数在对称区间上的值域为，故．
【典例2】（2026·云南昆明·二模）已知函数，则的最大值与最小值之差为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】根据分段函数结合指数函数单调性计算得出最值即可求解.
【详解】函数，
因为单调递增，所以；
因为单调递减，所以；
所以当时，；当时，；
则的最大值与最小值之差为.
【变式1】（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据定义域确定的范围，再结合反比例型函数得到值域即可．
【详解】函数的定义域为，
则或，
当时，，
当时，，
综上，此函数的值域为．
【变式2】（2026·广东·模拟预测）已知函数在上最大值为，且最小值为，则_____．
【答案】
【分析】结合函数是奇函数，得到满足关系式，可知图象关于点中心对称，由对称性知，故只需求的值即可.
【详解】由题意，函数的图象在连续不断，
由区间关于原点对称，且对任意，
都有
，
故，
所以函数的图象关于点中心对称，
由对称性可知，函数的图象在内的最大值点与最小值点关于中心对称，
故，所以
故答案为：.
题型02 利用对勾函数求分式型函数的最值
【典例1】（2026·河南开封·模拟预测）设，则的最小值为_____________．
【答案】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，则，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立.
故当时，的最小值为.
【典例2】（2026高三�全国�专题练习）函数的值域是______．
【答案】
【分析】根据已知函数的性质，运用换元法化简不等式，结合的值域构造不等式，解不等式求函数的值域．
【详解】令，则，原函数化为：，
整理得即，当时显然不合题意；
当时，，
，即，等价于，解得，
原函数的值域为.
【变式1】（2026高三�全国�专题练习）求函数的值域.
【答案】
【分析】令，则，利用函数的单调性求解．
【详解】令，
，
因为，由对勾函数的单调性知，所以，
则，
故函数的值域为：
【变式2】（2026高三�全国�专题练习）求函数的值域.
【答案】
【分析】令，，令，，得，利用函数的单调性求解.
【详解】令，
令，，
得
故函数的值域为：
题型03 三角换元求函数的最值
【典例1】（25-26高三上�重庆�阶段检测）函数 的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用与的平方和为定值，采用换元法，将原函数的值域转化为三角函数的值域问题，对三角函数式进行变形化简后，求出三角函数的值域，得到本题答案.
【详解】，
设，
,
，
即函数的值域为，
故选：C
【典例2】（25-26高三上�江苏镇江�阶段检测）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求出函数的定义域，令，将两边平方，求出取值范围，再由，即可求出的取值范围.
【详解】令，则，解得，
所以函数的定义域为，
则，令，
因为，所以，
所以
则，所以，
显然，所以，即该函数的值域为.
故选：D
【变式1】（25-26高三�全国�一轮复习）函数的值域为________．
【答案】
【分析】法一：利用三角换元法求解，设，则转化为，设，则转化为，利用二次函数的图像求值域；法二：设，，则转化为，利用二次函数的图形求解.
【详解】法一：因为，，
则，
由得到，
由，
则，则，
设，，
则转化为，对称轴为，
由，，，
故值域为．
法二：注意到，设，，
先分析t的范围，，时的极限，
则转化为，
由，，，故值域为．
故答案为：.
【变式2】（25-26高三下�重庆渝中�阶段检测）函数的值域是_______．
【答案】
【分析】换元令，，可知表示点与定点连线的斜率，且点的轨迹为圆，根据图象结合直线与圆的位置关系运算求解.
【详解】因为，且，，
令，，则，
可知表示点与定点连线的斜率，且点的轨迹为圆，
注意到，，三点共线，此时斜率，
若直线与圆相切，显然此时斜率存在，且小于0，
设直线，即，
则，解得或（舍去），
可得，所以函数的值域是.
题型04 利用韦达定理求函数的值域
【典例1】（25-26高三�全国�一轮复习）求下列函数的值域：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将函数化为，利用基本不等式即可求解；
（2）将函数化为，先求出的范围即可求出函数的值域.
【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以函数的值域为.
（2）由，得，
由，得，
所以，
所以函数的值域为.
【典例2】（25-26高三�全国�一轮复习）已知函数的值域为，求，的值．
【答案】
【分析】去分母，并整理成关于的一元二次方程的形式，当时，根据一元二次方程有实数根的条件列式，并结合一元二次不等式和一元二次方程的关系列方程组求解，并验证时也符合题意，从而可得最终结果.
【详解】将式子变形为；
当时，；即；
所以1，9是方程的两个根，代入得：；解得；
将代入，当时，方程化为，有实数解，故在值域内，符合题意.
综上，．
【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域是，则______，______．
【答案】 3
【分析】首先将函数变形为，这个方程组有解，则判别式大于0，再由韦达定理即可求的结果.
【详解】将函数变形为．
当时，这个关于x的方程有解，
则，即．
由题设知，是方程的两个根，
根据韦达定理，得，，
解得，．
当时，，也满足题意．
故答案为：
【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域是，求实数m，n的值．
【答案】，或，
【分析】将函数的值域问题转化为一元二次方程有解问题进行求解即可.
【详解】由可得，，即，
此方程一定有解，则，即，
因为函数的值域是，
所以不等式的解集为，
所以和是方程的两根，
所以，解得或.
重难点01 数形结合求函数最值
【典例1】（2025高三�全国�竞赛）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】变形函数解析式得到，问题转换成点到点和轴的距离之和，即可求解.
【详解】将变形可得，
设，则的轨迹方程为，设，
则表示抛物线上的点到点和轴的距离之和，
过点作轴于，过点作轴于，交抛物线于点，
故，
所以，
故选：B.
【典例2】（25-26高三上�广西崇左�期末）已知函数的值域是，则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【分析】利用数形结合，把分式看成动点到定点的斜率，然后通过代数法来求切线斜率，即可得到函数值域.
【详解】因为，且，所以函数的定义域为．
设，，则是直线的斜率．
点是半圆上的动点．如图，
设点，则．
设切线的方程为，即．
由圆心到切线的距离，解得（舍去）或．
由图可知，即的值域为，
则．
故选：A.
【变式1】（2026�安徽合肥�模拟预测）已知函数，则的最小值为______．
【答案】4
【分析】构造函数，通过配方，把问题转换成到直线和点的距离之和的倍，即可求解.
【详解】构造函数，
因为恒成立，所以，
则函数可表示点到直线和点的距离之和的倍.
构造抛物线，过点作直线的垂线，垂足为，交抛物线于两点，如图，
此时直线的方程为：，即，
联立方程得，易得交点分别为，
于是当点重合于交点或时，取得最小值.
从而的最小值为4．
【变式2】（2025高三�全国�竞赛）函数的最小值为_____.
【答案】3
【分析】过对函数解析式配方，将问题转换成抛物线上的点到直线的距离与点的距离之和，即可求解.
【详解】
其几何意义为抛物线上的点到直线的距离与点的距离之和.
过点向作垂线，垂足为，
如图，，等号成立时三点共线.
所以当时，函数的最小值为3.
故答案为：3
优题精练·专题实战通关
1．（25-26高三上�河北�期末）下列函数中，值域为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数的单调性判断A选项；分离常数后根据反比例函数的单调性判断B选项；配方后根据对数函数的单调性判断C选项；利用余弦的倍角公式展开后将式子配方，然后结合二次函数性质判断D选项.
【详解】对于A，因为，所以，所以，即的值域为；故A错误；
对于B，，因为，所以，所以，所以，即的值域为，故B正确；
对于C，因为，所以，即的值域为，故C错误；
对于D，，因为，所以，即的值域为，故D错误.
故选：B.
2．（2025高三�全国�专题练习）函数的最小值为（ ）
A．B．C．7D．3
【答案】B
【分析】根据题意，令进行三角换元化简，根据正弦型函数的值域求解即可.
【详解】原函数可得.
由，
令，，
可得.
因为，所以，
即，
所以函数的最小值为.
故选：B.
3．（2025高三�全国�专题练习）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解方程，用表示，解得的范围，即为值域.
【详解】设，则，
两边同时平方得，即，
当时，不成立，所以，所以，
所以即整理得，即，
解得或，
故选：B．
4．（多选）（2026�山东枣庄�一模）已知函数，则（ ）
A．为奇函数
B．的值域是
C．有极值
D．存在实数，，使得在上的值域为
【答案】ABD
【分析】根据函数奇偶性的定义判断A；先化简，进而结合指数函数的性质求解判断B；先判断函数的单调性，即可判断C；若在上的值域为，可得与在上有两个交点，进而结合图象判断D.
【详解】对于A，由，，
则，
所以为奇函数，故A正确；
对于B，由，
而，则，即，
则，即，
所以的值域是，故B正确；
对于C，由B知，，
因为函数在上单调递增，且，
所以函数在上单调递减，
则在上单调递增，无极值，故C错误；
对于D，由C知，函数在上单调递增，
若在上的值域为，
则，
所以方程在上有两个不相等的实根，
则与在上有两个交点，
结合为奇函数，在上单调递增，且的值域是，
且，，
可作出函数与的大致图象如下：

由图可知与在上有两个交点，
因此存在实数，，使得在上的值域为，故D正确.
故选：ABD
5．（2026高三�全国�专题练习）（1）若函数在上的值域是，则实数a的值为______．
（2）函数的最小值为______．
（3）函数的最大值为______．
【答案】
【分析】（1）利用函数在给定区间单调递增的性质，由区间端点对应值域端点列方程组，求解参数的值；
（2）通过配凑分式结构变形函数，运用基本不等式求函数最小值并确定取等条件；
（3）换元将根式函数转化为关于的函数，借助对勾函数单调性求出最值，进而得到原函数最大值.
【详解】（1）因为函数在区间上是增函数，值域为.
所以，，即，解得．
（2）.
当且仅当，即时，．
（3）令，则，所以，所以.
设，则在单调递增.
所以，所以（时取等号），即的最大值为．
6．（25-26高三上�江苏镇江�开学考试）已知函数，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用导数来判断单调性，进而求出最值可得答案.
【详解】因为，所以的定义域为.
，
令，即，得，
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
所以时取得最大值，即，
又，即最小值为.
所以的值域为.
故选：C
7．（2025高三�全国�专题练习）函数的值域为______.
【答案】
【分析】先求出函数的定义域为：,得,再由在上是单增函数进行求解即可.
【详解】依题意，因为，得，
所以函数的定义域为：，
得，
得
而
因为在上都是单增函数，
所以在上是单增函数，
故在上是单调递增函数，
得，
综上知，函数的值域为.
故答案为:
8．（2026�山西忻州�模拟预测）若函数的最小值为4，则实数的所有取值之和为__________.
【答案】4
【分析】根据多个绝对值和的最小值在绝对值零点的中位数位置取得的性质，按、、三种情况分类讨论，分别求出函数最小值并令其等于4，解出符合条件的后计算所有的取值之和.
【详解】表示数轴上动点到定点、、的距离之和，
对于奇数个绝对值相加，距离和的最小值在中间点（中位数）处取得，
分情况讨论：
当时，三个点排序为，最小距离和为，
令，解得；
当时，三个点排序为，最小距离和，不合题意，舍去；
当时，三个点排序为，最小距离和为，
令，解得；
的所有取值为和，取值之和为.
9．（25-26高三�全国�一轮复习）求函数的值域.
【答案】
【分析】表示过点的直线与单位圆有交点时直线的斜率，利用直线与圆的位置关系列式即可求出答案.
【详解】可联想直线中已知两点求直线的斜率的公式，
如下图所示，表示过点的直线与单位圆有交点时直线的斜率，
令直线方程为，原点到直线的距离为，
故，
所以函数的值域为.
10．（2025高三�全国�专题练习）求函数的最大值和最小值.
【答案】最大值，最小值为.
【分析】利用，换元，结合切化弦以及倍角公式化简得出即可求出最值.
【详解】，
令，，
则
，，
则当或，即或时，取得最大值，
当或，即或时，取得最小值为.
利用函数性质求最值，核心就是单调性定端点（单调则最值在边界），奇偶性减半域（对称区间只需看一半），有界性直接得（如三角函数、指数函数的值域）。结合定义域，灵活套用即可。
利用对勾函数求分式最值，关键是将分式通过分离常数或换元，化为t+kt​ 的形式（k>0），然后根据t的范围，直接写出最值。
三角换元求最值，适用于含a2−x2​、a2+x2​等结构：设x=asinθ 或x=acsθ，将原函数化为三角函数，利用其有界性求得最值。
利用韦达定理求值域，通常是将函数转化为关于x的二次方程，通过判别式Δ≥0得到y的不等式，解出值域。韦达定理可用于检验根的存在性（如和积关系），但核心仍是二次方程有实根的条件。注意定义域限制（如分母不为零）需单独验证。
数形结合求最值，核心是赋予函数几何意义（如斜率、距离、截距），画出图形后利用几何直观找最值点（如切线、端点、对称点）。关键在于准确转化并注意定义域对应的图形范围。