第44讲 立体几何中的截面问题 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

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三、典题精练 PAGEREF _Tc236392671 \h 2
考点一：截面的作法与线面关系证明 PAGEREF _Tc236392672 \h 2
考点二：截面图形的形状与几何量计算 PAGEREF _Tc236392673 \h 3
考点三：截面分割几何体的体积问题 PAGEREF _Tc236392674 \h 6
考点四：球的截面问题 PAGEREF _Tc236392675 \h 7
考点五：圆柱、圆锥的截面问题 PAGEREF _Tc236392676 \h 8
考点六：空间动点轨迹与截面个数问题 PAGEREF _Tc236392677 \h 9
一、考情分析
近三年高考全国一卷未直接或间接涉及本讲核心知识.截面问题是立体几何中综合性极强的专题，它将空间线面平行与垂直的判定性质、几何体的结构特征、平面几何图形性质以及空间向量与解析几何工具深层次融合.掌握截面的作法与计算，能够有效深化对三维空间结构的直观理解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养，是培养空间思维与解决立体几何综合压轴题的重要环节.
二、知识清单
1. 常见几何体的截面性质
（1） 球的截面性质
① 球面被平面所截得的截面是一个圆面.
② 球心和截面圆心的连线垂直于该截面.
③ 球心到截面的距离d、球的半径R与截面圆的半径r满足关系：r2=R2−d2.
④ 经过球心的平面截得的圆叫做大圆，不经过球心的平面截得的圆叫做小圆.
⑤ 球缺：球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高.球缺的体积公式为V=13πℎ2(3R−ℎ)，其中R为球的半径，ℎ为球缺的高.
（2） 旋转体的截面性质
① 圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面都是圆面.
② 经过旋转轴的截面称为轴截面.圆柱的轴截面是矩形；圆锥的轴截面是等腰三角形；圆台的轴截面是等腰梯形.
③ 圆锥的截口曲线：用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角大于母线与轴的夹角时，截口曲线是椭圆；当夹角等于母线与轴的夹角时，截口曲线是抛物线；当夹角小于母线与轴的夹角时，截口曲线是双曲线.
（3） 多面体的截面性质
① 棱柱平行于底面的截面是与底面全等的多边形.
② 棱锥平行于底面的截面是与底面相似的多边形，其相似比等于顶点到截面距离与棱锥高的比，面积比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.
2. 解决立体几何截面问题的解题策略
（1） 坐标法
所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，为解决立体几何问题增添了一种代数计算方法.
（2） 基底法
所谓基底法是不需要建立空间直角坐标系，而是利用平面向量及空间向量基本定理作为依托，其理论依据是：若四点E、F、G、H共面，P为空间任意点，则有：
① 结论1：若EG与EH不共线，那么EF=λEG+μEH.
② 结论2：PE=λPF+μPG+ηPH（λ+μ+η=1）.
（3） 几何法
从几何视角入手，借助立体几何中的线线平行、线面平行、面面平行的性质与判定定理以及平面几何相关定理、结论，通过论证，精准找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再依据题意完成所求解答或证明.
三、典题精练
考点一：截面的作法与线面关系证明
考法1：利用平行与相交关系作多面体截面
例1.（2026·广东汕头·二模）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD//BC，PB⟂AD，AD=2BC=6，AB=PA=PB=4，CD=5，点E、F分别为棱PD、AD的中点.
（2）请作出四棱锥P−ABCD过B、E、F三点的截面，并求出截面图形周长；
考法2：四点共面与三线共点证明及截面作法
例2.（2026·湖北六校·联考）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱BB1，BC，CD，DD1的中点.
（1）求证：E，F，G，H四点共面.记过这四点的平面为α，在图中画出平面α与该正方体各面的交线（不必说明画法和理由）；
（2）求证：A1E，DF，AB三线共点.
考法3：正方体中截面相关的线面平行与垂直证明
例3.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1，点E为棱CC1的中点.
（1）证明：AC1//平面BDE.
【考点一 方法总结】
1. 作截面的基本方法：利用平面的基本性质，通过寻找平行线和交点，确定截面与多面体各面的交线.对于求周长问题，通常需要证明截面形状（如平行四边形、梯形等），再利用几何关系计算各边长.
2. 共面与共点证明：证明多点共面，常利用平行的传递性证明两线平行；证明三线共点，常先证明其中两线相交于一点，再证明该点在两个平面的交线上，即第三条直线上.
3. 线面平行的证明：核心是在平面内找到一条直线与已知直线平行.常用的寻找平行线的方法有：三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理等.
考点二：截面图形的形状与几何量计算
考法4：结合线面垂直判断多面体截面形状
例4.（2026·江西九江·二模）（多选）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点P是棱AA1上的动点（不含端点），过点D1,B,P作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为V1,V2，则
A. 截面是平行四边形 B. 若A1PPA=23，则V1V2=23
C. 存在点P，使得截面为长方形 D. 截面的面积存在最小值2305
考法5：多面体截面周长与面积的常规计算
例5.（2025·江西九江·一模）在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在正方体内（包含边界）运动.若直线A1P与DC所成角为π6，则动点P所围成的图形的面积是
A. π4 B. π2 C. 3π4 D. π
考法6：利用线面平行与几何体特征求解截面面积
例6.（2026·广东深圳·二模）（多选）已知正三棱柱ABC−A1B1C1的高为2，且有内切球O（球O位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点），若过O,A,B三点的平面截该三棱柱所得截面为α，则
A. AB=3
B. 平面OAB⟂平面OA1B1
C. 截面α的面积为863
D. 该三棱柱被截面α分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为1314
考法7：空间向量法求解截面面积与周长
例7.（2026·河南郑州四中·检测）（多选）正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为4，A1E=3EB1,C1F=3FD1，下列说法中正确的有
A. 若点M在底面A1B1C1D1（含边界）内，且CM⟂EF，则M的轨迹的长度为25
B. 空间中，点N满足NA1NE=2，则N的轨迹与正方体表面的交线长度为3π
C. 平面AEF截正方体所得截面多边形是直角梯形
D. 平面AEF将正方体分成两个几何体的体积分别为V1,V2，且V1