初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）3.3 二次根式的加法和减法第二课时教学设计

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课题
3.3二次根式的加法和减法（第二课时）
单元
第3单元
学科
数学
年级
八年级上册
教材分析
本节课是学习了二次根式的乘除法及加减法，以二次根式的概念、性质为基础，同时又紧密联系了整式、分式的运算的一次总结性、提高性的综合课，既运用了二次根式的化简，同时又渗透了分母有理化的方法与技巧，进一步拓宽学生的解题思路，提高了学生的解题能力。
核心素养
能力培养
使学生会熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算,培养学生的运算能力；培养学生进行类比的学习思想和理解运算律的广泛意义；通过二次根式运算中的应用，体验迁移、化归思想，使学生进一步形成符号感，提高数学应用意识.
教学目标
1.掌握二次根式混合运算的法则，合理使用运算律.
2.通过探究，灵活运用运算律、乘法公式等技巧，寻求快捷的计算方法.
教学重点
掌握二次根式混合运算的法则，明确三级运算的顺序，合理使用运算律.
教学难点
二次根式的四则运算，灵活运用多项式的乘法法则及乘法公式.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
复习回顾
（新知导入）
1.二次根式的乘法法则是什么？
a ⋅b=a ⋅ b （a≥ 0，b ≥ 0）
2.二次根式的除法法则是什么？
ba=ba（a> 0，b ≥ 0）
3.二次根式的加减实质是
合并同类二次根式（被开方数相同）.
学生回忆，思考回答。
用旧知回顾的方式设置导入，培养学生的数学知识整体性思维，加强本节课与前面所学的联系，由浅入深增强学生的学习积极性.
新知探究
做一做:
计算：
(6-38)×0. 5 ；
(2+2)(1-2).
解：（1）(6−38)×0. 5
=(6−38)×12
= 6×12 −38×12=6×12−38×12
= 3−34
= 343
你还有其他方法吗？
（1）(6−38)×0. 5 =(6−64)×12
= 364×22
= 343
（2）(2 + 2 )(1- 2)
= 2 - 22+2- 2×2
= 2 - 22 +2 - 2
=-2 .
二次根式的混合运算顺序：
先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的，与整式的混合运算顺序相同.
注意：1. 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式(或整式)的形式，并且分母中不含二次根式.
2. 进行二次根式的开方运算时，应使开出的因数(或因式)是非负的.
二次根式的四则运算是根据实数乘法对加法的分配律、实数加法的交换律和结合律、实数乘法的交换律和结合律进行的.
例3
计算：
(32+ 5)(32- 5)；
(2- 3)2.
解： （1） 由平方差公式得
(32+5)(32- 5)=(32)2 -(5)2
= 9 × 2 - 5 = 13.
（2） 由完全平方公式得
(2 - 3)2 =(2)2 - 2×2×3+(3)2
= 2 - 2 ×2 × 3 + 3
= 5 - 26.
注意：可以利用乘法公式，对某些二次根式的乘法进行简便运算.
例4
计算：(12+2)÷2 .
解:(12+2)÷2= 12+22=122+22=6+1.
例5
计算：
52+1 (2)32+3+22−3
解：（1）52+1=5(2−1)(2+1)(2−1)=5×2−5(2)2−12=5×2−52−1
=10−5
分子与分母同乘2 - 1，然后利用平方差公式把分母中的根号去掉.
解：(2)32+3+22−3=3（2−3）（2+3）（2−3）+2（2+3）（2−3）（2+3）
=3×2−3×322−（3）2+2×2−2×322−（3）2=23−34−3+22+64−3
=-3+23+22+6
分母有理化：
分母含有形如ma±nb的式子，分子、分母同乘ma∓nb 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.
学生独立思考完成，派代表板演。
学生在教师的引导下总结归纳二次根式混合运算方法。
学生独立思考完成，发现可以利用乘法公式，对某些二次根式的乘法进行简便运算.
学生思考，小组讨论后作答。
通过计算让学生发现，二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在整式运算中的运算律、运算顺序、运算法则在二次根式的运算中仍然适用.
让学生掌握二次根式混合运算方法，提高总结概括能力。
通过例题，引导学生得出在二次根式运算中，整式的乘法法则和乘法公式仍然适用.
通过例题，让学生掌握合理利用平方差公式，可以把分母化成有理数，总结分母有理化方法。
课堂练习
1.计算:
（1）5×(15- 40.6)；
（2）(80+40)÷5；
（3）(2 +3)(3-3)；
（4）(3+10)(2-5).
解：（1） 5×(15- 40.6)=3
（2）(80+40)÷5=4+22
（3）(2 +3)(3-3)=3+3
（4）(3+10)(2-5)=-22-5
2.计算：
（1）(5- 2)2； （2）(7+2)(7-2).
解：（1）(5- 2)2=5-210+2=7-210
（2）(7+2)(7-2)=7-2=5
3.计算:
（1）6+233； （2）(8-4)÷2；
（3）35−2； （4）13+5-13−5.
解：（1）6+233= 2+2
（2）(8-4)÷2=2-2
（3）35−2=15+23
（4）13+5-13−5=-52
学生利用二次根式混合运算知识计算解答，小组交流讨论，派代表板书答案。
通过练习巩固二次根式混合运算，及时发现学生掌握新知识的情况，巩固并学习新知识。
课堂小结
1.二次根式的混合运算顺序：
先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的，与整式的混合运算顺序相同.
2.分母有理化：
分母含有形如ma±nb的式子，分子、分母同乘ma∓nb 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.
学生回顾总结，教师系统归纳。
帮助学生归纳总结，巩固所学知识。
作业布置
必做题：教材习题3.3--学而时习之 3题、4题
选做题：教材习题3.3--温故而知新 5题（1）、6题、7题