湖南省湘西自治州2025-2026学年高一下学期期末数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省湘西自治州2025-2026学年高一下学期期末数学试卷（Word版附解析）试卷主要包含了保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 6 页，19 个小题．满分 150 分，考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“贴
条形码区”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．涂写在本试卷上无效．
3．作答非选择题时，使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，答案必须写在答题
卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准
使用铅笔和涂改液．书写在本试卷上无效．
4．保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. （ 为虚数单位）的虚部为（ ）
A. B. 5 C. D.
2. 若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 如图，向量 等于（ ）
A. B. C. D.
4. 函数 的奇偶性（ ）
A. 仅取决于 的值 B. 与 的值无关而与 的值有关
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C. 与 和 的值有关而与 A 的值无关 D. 与 A、 、 的值都有关
5. 抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件 “点数不大于 4”， “点数大于 3 且小于 6”， “点数是
3 的倍数”， “点数为奇数”， “点数为偶数”，则（ ）
A. A，B 为互斥事件 B. B，C 为对立事件
C. C，D 为互斥事件 D. D，E 为对立事件
6. 一个封闭的正三棱柱容器，内装水若干，水面高度为 3（如图（1），底面处于水平状态）．将容器放倒（如
图（2），一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点 E，F， ， 分别为所在棱的中点，则该正
三棱柱容器的高为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 4.5
7. 如图，四棱锥 中， 面 ，四边形 为正方形， ， 与平面
所成角的大小为 ，且 ，则四棱锥 的外接球表面积为（ ）
A. 26π B. 28π
C. 34π D. 14π
8. 在锐角 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ， ，则
的最小值为（ ）
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A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列选项中，正确的是（ ）
A. 若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同
B. 若向量 ，则
C. 若向量 ， 满足 ，则 或
D. 若非零向量 与 共线，则 ， ， 三点共线
10. 有一组样本数据 ， ，…， ，其平均数、中位数、方差、极差分别记为 ， ， ， ，由这组
数据得到新样本数据 ， ，…， ，其中 （ ，2，…，n 且 ），其平均数、中位
数、方差、极差分别记为 ， ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
11. 如图 1，已知矩形 中， ， ，E 为 中点，现将 沿 翻折后得到如图
2 的四棱锥 ，点 F 是线段 上（不含端点）的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 F 为线段 中点时， 平面
B.
C. 不存在点 F，使 平面
D. 当 F 为线段 中点时，过点 A，E，F 的截面交 于点 M，则
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. ________；
13. 欧拉公式 （e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公
式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．若复
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数 ，且复数 z 满足 ，则 的最大值为________；
14. 已知非零向量 ， 的夹角为 ， .对于任意的 ， 恒成立，则 ______
， 的最小值为______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 ，
（1）若 ，求 与 夹角的余弦值；
（2）若 ，求 的值.
16. （身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式
是： ．中国成人的 数值参考标准为： 为偏瘦；
为正常； 为偏胖； 为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥胖
情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了 60 名男员工，40 名女员工的身高
体重数据，通过计算男女员工的 值，整理得到如下的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中 a 的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比；
（2）估计该公司员工的 值的众数，中位数；
（3）已知样本中 60 名男员工 值的平均数为 ，根据频率分布直方图，估计样本中 40 名女员
工 值的平均数 ．
17. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形， ， 是正三角形，
E 为线段 的中点，F 为线段 的中点．
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（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）若平面 平面 ，求异面直线 与 所成角的余弦值．
18. A、B 两队进行围棋比赛，A 队有甲、乙、丙三位棋手，B 队只有丁一位棋手．比赛规则如下：A 队的三
位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘（负一盘）或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有
一队获得连胜，则两队打平．已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为 、 、 ，各盘比赛相互独
立，且各盘比赛没有平局.丁连胜两盘、负一盘的概率为 ，连胜三盘的概率为 ．
（1）若 A 队按甲、乙、丙的出场顺序与 B 队进行比赛，求 ；
（2）若 A 队按甲、乙、丙的出场顺序与 B 队进行比赛，求 A、B 两队打平的概率；
（3）通过计算判断 A 队怎样安排出场顺序对丁最有利．
19. 布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于 19 世纪提出，它通过等角条件联系
三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值
的点.其定义如下：设 是 内一点，若 ，则称点 为 的布洛卡
点，角 为 的布洛卡角.如图，在 中，记它的三个内角分别为 A，B，C，其对边分别为
的面积为 ，点 为 的布洛卡点，其布洛卡角为 ，请完成以下各题：
（1）若 ，求 ；
（2）已知 ，
①若 ，求 的值；
②若 ，求 S.
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