湖南省湘西州2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份湖南省湘西州2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了 本试卷主要考试内容， 要安排4名学生等内容，欢迎下载使用。
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 双曲线的焦距为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】D
【解析】因为双曲线方程为，所以，
因为，所以，所以双曲线的焦距为4.
故选：D
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】求解，得或
即或
所以集合或，
则.
故选：B
3. 虚数z满足，则z的虚部为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】解法一：设复数,
则，
化简得，
故，即①，②
此时，对于选项中的值，代入：
若，则，符合要求，
若，由②得，但不符合①，故舍去，
若，由②得，但不符合①，故舍去，
若，由②得，但不符合①，故舍去，
综上可得
故选：A
解法二：由可得，
故，故或，
由于为虚数，故，
故虚部为1，
故选：A
4. 已知,是两个平面，m，n，l是三条直线,且，，，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线垂直于这个平面，
若，且，但如果直线与不相交，
则不能得到，从而不能推出；
如果两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于交线直线垂直于另一个平面，
若，由于，，，
则，又，所以.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 已知曲线在点处的切线与圆相切，该圆的半径为（ ）
A. B. C. 或D. 或1
【答案】C
【解析】由，得，
故切线的斜率，
所以曲线在点处的切线方程为.
又因为与圆相切，
所以的半径，解得或，
所以圆的半径为或.
故选：C
6. 要安排4名学生（包括甲）到A，B两个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有1名志愿者，且甲不去A乡村，则不同的安排方法共有（ ）
A. 7种B. 8种C. 12种D. 14种
【答案】A
【解析】先把名学生分成组，
第一种情况组人数分别为、，
由于甲不去A乡村，所以从另外3人中选一人和甲一起去B村，有种，
第二种情况组人数分别为、，
则可能甲单独去B村，或者甲与另外人去B村，有种，
故共有种
故选：A.
7. 《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，由题意得
通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列，
设该数列为，公差为，则．由题意得
即解得
故选：B.
8.已知为偶函数,若函数与图象的交点为,,…，，则（ ）
A. 45B. C. 90D.
【答案】A
【解析】因为偶函数，所以，
即函数的图象关于直线对称，
又函数的图象关于直线对称，
所以函数与图象的交点关于直线对称，
由交点有9个，故两函数必都过点，即.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】随机变量X服从正态分布，
所以正态分布对称轴为 ，
根据对称性可知：，得，A正确，B错误；
则，C错误，D正确.
故选：AD
10. 把函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于点对称，则a的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】由题意可得，
由于的图象关于点对称，所以,
故，解得，
取，，
取，
故选：AC
11. 已知函数恰好有三个零点,分别为，，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.，，成等差数列
C. ，，成等比数列D.
【答案】ACD
【解析】根据题意，，
即或，所以或，
即问题转化为直线与曲线和交于三个点，
且三个点的横坐标依次为，，，且，
对于，得，
当时，，即函数单调递增，
当时，，即函数单调递减，
当时，函数取得最大值，
对于，得，
当时，，即函数单调递增，
当时，，即函数单调递减，
当时，函数取得最大值，
如图，作出函数与的图象，
由，可得，由，可得，
又，且在上单调递增，
又，所以，即，A正确；
，且在上单调递减，
又，所以，即，
故，则C正确，B错误；
因为，所以，
则，则D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知正四棱柱的底面边长为2，高为6，则该正四棱柱的外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】设外接球的半径为，则,
所以正四棱柱的外接球的表面积.
故答案为：
13. 已知数列的前n项和满足，则______.
【答案】
【解析】令，得，得，
，当时，，两式相减得，
，即，即，
所以数列是以首项，公比为2的等比数列，
所以.故答案为：
14. 已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，椭圆C的离心率为，P是C在第一象限上的一点.若，则______.
【答案】
【解析】如图，记，，
因为，则，，
由椭圆的定义可得，
所以，则，
又且，有或，
解得或，又点在第一象限，所以，
得，则.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知锐角的内角的对边分别为,向量，且．
（1）求；
（2）若的面积为，求．
解：（1）由题意得，
由正弦定理得，
又，所以，则，即．
因为，所以．
（2）由，
得，结合，得．
由余弦定理得，
得．
16. 已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4.
（1）求C的方程；
（2）若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程.
解：（1）C上一点到点F的距离为4,
由抛物线定义可得，，抛物线的方程为．
（2）设直线，，设,,,，
将方程代入方程整理得，需满足，
，
故，解得，
当时，满足，故符合题意，
故直线方程为
17. 如图，在多面体ABCDE中，平面平面ABC，四边形BCDE为等腰梯形，，，.
（1）证明：.
（2）若直线BE与平面ABC所成的角为，求二面角的正弦值.
解：（1）因为四边形为等腰梯形，，所以，
取的中点，的中点，连接，
则，，所以，，
从而四边形为平行四边形，则，，
在中，，且为的中点，所以，
因为平面平面， 且平面平面，
平面，所以平面，
又，所以平面.
又平面，所以，
，，
由，，得.
（2）由平面，，所以两两垂直，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
平面内过平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，不妨设，则，
，，
由图可知，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量，由，
令，则，，
则，
所以二面角的正弦值为.
18. 某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（三类题目知识题量占比分别为，，）.甲回答这三类问题中每道题的正确率分别为，，.
（1）若甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率.
（2）知识竞赛规则：随机从题库中抽取2n道题目，答对题目数不少于n道，即可以获得奖励.若以获得奖励的概率为依据，甲在和之中选其一，则应选择哪个？
解：（1）设所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件，，，
所选的题目回答正确为事件B，
则
，
所以该同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为；
（2）当时，X为甲答对题目的数量，则，
故当时，甲获奖励的概率，
当时，甲获奖励的情况可以分为如下情况：
①前10题答对题目的数量大于等于6，
②前10题答对题目的数量等于5，且最后2题至少答对1题，
③前10题答对题目的数量等于4，且最后2题全部答对，
故当时，甲获奖励的概率
，
，
即，
所以甲应选.
19. 若函数满足对于任意的，恒成立，则称为“反转函数”.已知函数，.
（1）当时，证明：为“反转函数”.
（2）已知有三个零点，，，且.
①求a的取值范围；
②证明：.
解：（1）当时，得，
，
得，
则在上单调递减.
当时，，当时，
所以对于任意的，，
即恒成立.
故为“反转函数”.
（2）①：由题意得，，
令，，
二次函数图像抛物线开口向上，对称轴方程为，
当时，，恒成立，有，
则在上单调递减，不符合题意，
当时，在上单调递增， ，有，
则在上单调递减，不符合题意，
当时，时，；
时，.
则在上单调递减，在上单调递增，
由，有，则，即，得，
因为，，
所以，，
设函数，得，则是增函数，
得，即，
由，得，
所以，
设函数，得，
令，则在上恒成立，
则是增函数.
因为，所以是增函数，
则，即
综上，时，，，
，
得，
由零点存在定理可知，当时，有3个零点.
所以a的取值范围为.
②证明：由①可知
由题意得，在上存在唯一零点
且，，所以，
有，
则，
得，即，
要证，即证，即
得，
即证，
设函数，
得，
令，
则
所以在上是减函数，
所以，
故不等式得证.