2025-2026学年湖南省湘西州高一（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年湖南省湘西州高一（下）期末数学试卷试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.（i为虚数单位）的虚部为（ ）
A. -1B. 5C. -5iD. -5
2.若集合U={-1，2，3，6}，N={-1，6}，则∁UN=（ ）
A. {-1，3}B. {-1，6}C. {2，3}D. {2，6}
3.如图，向量-等于（ ）
A. -4-2B. -2-4C. -3D. 3-
4.函数f（x）=Acs（ωx+φ）（A≠0，ω≠0）的奇偶性（ ）
A. 仅取决于φ的值B. 与φ的值无关而与ω的值有关
C. 与ω和φ的值有关而与A的值无关D. 与A、ω、φ的值都有关
5.抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件A=“点数不大于4”，B=“点数大于3且小于6”，C=“点数是3的倍数”，D=“点数为奇数”，E=“点数为偶数”，则（ ）
A. A，B为互斥事件B. B，C为对立事件C. C，D为互斥事件D. D，E为对立事件
6.一个封闭的正三棱柱容器，内装水若干，水面高度为3（如图（1），底面处于水平状态）.将容器放倒（如图（2），一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则该正三棱柱容器的高为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 4.5
7.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=4，PC与平面ABCD所成角的大小为θ，且tanθ=，则四棱锥P-ABCD的外接球表面积为（ ）
A. 26π
B. 28π
C. 34π
D. 14π
8.在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,b2=c2+ac,则的最小值为（ ）
A. B. 2C. 1D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列选项中，正确的是（ ）
A. 若两个相等的非零向量的起点相同，则它们的终点可能不同
B. 若向量，则
C. 若向量，满足，则或
D. 若非零向量与共线，则A，B，C三点共线
10.有一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数、中位数、方差、极差分别记为a1，b1，c1，d1，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi=kxi+m（i=1，2，…，n且k≠0），其平均数、中位数、方差、极差分别记为a2，b2，c2，d2，则（ ）
A. b2=kb1+mB.
C. d2=kd1+mD.
11.如图1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD中点，现将△AED沿AE翻折后得到如图2的四棱锥D′-ABCE，点F是线段D′B上（不含端点）的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当F为线段D′B中点时，CF∥平面AD′E
B. D′B⊥AE
C. 不存在点F，使CF⊥平面ABD′
D. 当F为线段D′B中点时，过点A，E，F的截面交CD′于点M，则2CM=D′M
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.sin15°sin75°的值是______．
13.欧拉公式eix=csx+isinx（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.若复数，且复数z满足|z|=1，则|z+z1|的最大值为 .
14.已知非零向量，的夹角为，.对于任意的λ∈R，恒成立，则= ，的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知.
（1）若，求与夹角的余弦值；
（2）若，求的值.
16.(本小题15分)
BMI（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：.
中国成人的BMI数值参考标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖.某公司为了解公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了60名男员工，40名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的BMI值，整理得到如下的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比；
（2）估计该公司员工的BMI值的众数，中位数；
（3）已知样本中60名男员工BMI值的平均数为u1=22.4，根据频率分布直方图，估计样本中40名女员工BMI值的平均数μ2.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，△PAD是正三角形，E为线段AD的中点，F为线段PC的中点.
（1）求证：PA∥平面BDF；
（2）求证：BC⊥平面PEB；
（3）若平面PAD⊥平面ABCD，求异面直线PD与BF所成角的余弦值.
18.(本小题17分)
A、B两队进行围棋比赛，A队有甲、乙、丙三位棋手，B队只有丁一位棋手.比赛规则如下：A队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘（负一盘）或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得连胜，则两队打平.已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、、，各盘比赛相互独立，且各盘比赛没有平局.丁连胜两盘、负一盘的概率为p1，连胜三盘的概率为p2.
（1）若A队按甲、乙、丙的出场顺序与B队进行比赛，求p1-p2；
（2）若A队按甲、乙、丙的出场顺序与B队进行比赛，求A、B两队打平的概率；
（3）通过计算判断A队怎样安排出场顺序对丁最有利.
19.(本小题17分)
布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利.布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点.其定义如下：设P是△ABC内一点，若∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角.
如图，在△ABC中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下各题：
（1）若∠ABC=，AC=2，AB=1，求tanθ；
（2）已知θ=，
①若S=，求a2+b2+c2的值；
②若a=2，求S.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】BD
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】1
2

15.【答案】；
．
16.【答案】解：（1）由题，2×（0.01+0.02+0.03+0.06+0.07+0.08+a+0.13）=1，
解得：a=0.1，
由频率分布直方图可得，该公司员工为肥胖的百分比为2×（0.01+0.03）×100%=8%；
（2）由频率分布直方图可得，众数为=19，
因为2×（0.08+0.13）=0.42＜0.5，2×（0.08+0.13+0.1）=0.62＞0.5，
故中位数在[20，22），设为m,
则m=20+=20.8；
（3）设样本平均数为，
则由频率分布直方图可得=2×（17×0.08+19×0.13+21×0.1+23×0.06+25×0.07+27×0.02+29×0.01+31×0.03）=21.64，
又，即，
解得：μ2=20.5．
17.【答案】证明见解答． 证明见解答． ．
18.【答案】
A队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与B队进行比赛时对丁最有利
19.【答案】；
①12；②．